2024年辽宁省营口市老边区实验中学中考数学模拟预测题（一）（原卷版+解析版）

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1．全卷满分 120分． 考试时间为120分钟． 考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法，绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，n为整数位数减1，据此即可解答．
【详解】解：可表示为．
故选：A．
2. 如图，已知，数轴上点所表示的数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理应用，在直角三角形中根据勾股定理求得的值，即的值，进而求出数轴上点表示的数，熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴点所表示的数为，
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的四则混合运算法则即可求解．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误．
故选：B
【点睛】本题考查整式的四则混合运算．掌握相关运算法则即可．
4. 如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A. ∠α+∠β-∠γ=90°B. ∠α+∠γ-∠β=180°
C. ∠γ+∠β-∠α=180°D. ∠α+∠β+∠γ=180°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
故答案选：B．
【点睛】此题考查平行线性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．
5. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
故选：D．
6. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．
【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．
7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【详解】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于2×=3，小于3+1=4，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．
8. 如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．
故选A．
点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
9. 如图，正方形的边长为6，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，在上取一点F使得，连接，先证明得到，，进而可以证明得到，设，则，，，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，在上取一点F使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E为线段上一动点．若，当最小时，的面积是（ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】如图：过D作,由垂线段最短的性质可得当时，DE最短，根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．
【详解】解：如图：过D作
∵点E为线段上的一个动点，最短，
∴，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等性质，正确作出辅助线和利用角平分线的性质成为解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称的点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，解题的关键是正确记忆横纵坐标关系．
12. 不透明的袋子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，现从袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】解：因为袋中装有3个红球和2个白球，一共是5个球，
所以从袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是明确概率的意义，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可．
【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min），
追及的路程为（km），
时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min），
时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min），
所以乙车的速度v的取值范围是．
故答案为：．
14. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，由菱形的性质与折叠可得，，过点E作于点G，设，则，，易证，得到，代入即可求出x的值，从而得到的长，进而在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】∵，，
∴，
由翻折可得：，
∴在菱形中，，
∵，
∴
∴在中，，
∵在菱形中，，
∴，
又由折叠有，且，
∴
过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵在菱形中，，
又，
∴，
∴，即
解得：，
∴，，
∴在中，．
故答案为：
【点睛】本题考查菱形性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时，点运动的距离为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点运动额的距离．
【详解】解：分两种情况：
①当点落在对角线上时，连接，如图1所示：
∵将矩形沿折叠，点的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
根据折叠的性质可知：，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴点是的中点，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴点运动的距离为；
②当点落在对角线上时，作于，则，四边形为矩形，如图2所示：
在矩形中，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴点 运动的距离为；
综上所述：点运动的距离为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角形函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质、熟记翻折变换的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．）
16. （1）计算：
（2）先化简，再求代数式的值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先分别计算二次根式乘法，特殊角的三角函数值，再相加即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后将代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
17. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为． 某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为，
根据题意可得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
18. 某中学决定在学生中开展足球、乒乓球、篮球、排球、羽毛球五种项目的活动，为了解学生对五种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五种活动项目的一种），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”所对应的扇形的圆心角度数是________度；
（4）请你估计该校2000名学生中共有多少名学生最喜欢打羽毛球和篮球．
【答案】（1）；；
（2）画图见解析 （3）36；
（4）1300人．
【解析】
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
（1）根据排球人数和排球占总人数的百分比求出总共的人数；再用百分之百减去其余四项百分比，得到乒乓球的百分比；
（2）用总人数乘以篮球的百分比，乒乓球的百分比得出他们各自的人数从而补全条形图；
（3）用去乘上篮球的百分比即可得到篮球的圆心角；
（4）用2000乘以喜欢打乒乓球与打篮球的百分比之和即可估算到打羽毛球的人数
【小问1详解】
解：；
；
∴；
【小问2详解】
∵喜欢篮球的有（人），
喜欢乒乓球的有：（人），
∴补全图形如下：
【小问3详解】
圆心角度数为；
【小问4详解】
喜欢打羽毛球与篮球的人数约为：（名）．
19. 某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元，餐桌零售价270元/张，餐椅零售价70元/张．已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，售价500元/套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
【解析】
【分析】（1）设每张餐桌的价格为a元，则每张餐椅的价格为（a-110）元，根据用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同可得等量关系列出方程；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元，根据题意将W用x表示出来，根据餐桌和餐椅的总数量不超过200张得出x的取值范围，从而可得结果.
【详解】解：（1）设每张餐桌的价格为a元，则每张餐椅的价格为（a-110）元，
由题意得，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解 ，
此时a﹣110=40，
答：该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20⩽200，
解得：x⩽30
W=12x·（500−150−4×40）+12x·（270−150）+（5x+20−12x⋅4）·（70−40）=245x+600
∵k=245>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
此时a﹣110=40，
答：购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和表达式．
20. 如图，一海伦位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）．

【答案】海里
【解析】
【详解】试题分析：过P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AC与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出CB的长，由AC+CB求出AB的长即可．
试题解析：

过P作PC⊥AB于点C，
在Rt△ACP中,PA=海里,∠APC=45°,sin∠APC=,cs∠APC=，
∴AC=AP⋅sin45°=×=40(海里),PC=AP⋅cs45°=×=40(海里)，
在Rt△BCP中,∠BPC=60°,tan∠BPC=，
∴BC=PC⋅tan60°= (海里)，
则AB=AC+BC=(40+)海里．
21. 如图，内接于⊙O，是⊙O的直径，点P在半径延长线上，连接，．
（1）若，求证：是⊙O的切线；
（2）在（1）的基础上，若cm，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）cm
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理证明，根据切线的判定证明即可；
（2）证明为等边三角形，根据正切的定义计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
【点睛】本题考查的是切线的性质、三角形的外角的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握切线的性质定理是解题的关键．
22. 【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．

【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
【答案】线段长为．
【解析】
【分析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；
方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解．
【详解】解：方案一：连接，如图2．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，，
∴，，又，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，
∴共线，
由翻折的不变性，知，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值．
【答案】（1），；
（2）①当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或；②当，，三点成为“共谐点”时的值为0.5或或．
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①由点坐标可表示、的坐标，从而可表示出、、、的长，分和两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值；
②用可表示出、、的坐标，由题意可知有为线段的中点、为线段的中点或为线段的中点，可分别得到关于的方程，可求得的值．
【小问1详解】
解：与轴交于点，与轴交于点，
，解得，
，
抛物线经过点，，
，解得，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：①由（1）可知直线解析式为，
为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，，
，，
，，，
和相似，且，
或，
当时，则有，
点的纵坐标为2，
，解得（舍去）或，
；
当时，过点作轴于点，
则，，，
，
，
，
，
，
，解得（舍去）或，
；
综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或；
②由①可知，，，
，，三点为“共谐点”，
有为线段的中点、为线段的中点或为线段的中点，
当为线段的中点时，则有，
解得（舍去）或；
当为线段的中点时，则有，
解得（舍去）或；
当为线段的中点时，则有，
解得（舍去）或；
综上可知当，，三点成为“共谐点”时的值为0.5或或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到的方程是解题的关键，注意分情况讨论．
x
0
1
3
y
1
3
1
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．