安徽省合肥市第四十八中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份安徽省合肥市第四十八中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为( )
A. B. C. 0D. 1
4.如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得，，那么AB等于( )
A. B. C. D.
5.已知，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，x过点A作轴，垂足为点B，C为x轴上一点，连接AC，BC，若的面积为3，则k的值为( )
A. 3B. C. 6D.
7.如图所示，AB为的直径，点C在上，且，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足，连接AD，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知关于x的二次函数的图象上有两点，，，且，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足，连接EF，则EF的最小值为( )
A.
B. 1
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，若，则______结果保留根号
12.如图，已知，AD是的中线，E是AD的中点，则AF：______.
13.已知：如图，AB是的直径，弦CD交AB于E点，，，，则CD的长为______.
14.如图，在等腰三角形ABC中，，延长BC到点D，菱形CDEF的边CF在边AC上，过点F作交BE于点G，点G是BE的中点，如果，则线段EF和BC的数量关系为______，如果，，则CD的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
计算：
16.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题.
画出关于y轴的轴对称图形；
以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为1：
17.本小题8分
如图，一次函数的图象交y轴于点，与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点坐标为
确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
直接写出不等式的解集.
18.本小题8分
如图，在中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果，
求证：∽
若，，，求ED的长.
19.本小题10分
如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡AF的坡比为1：
求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
大树BC的高度约为多少米？
参考数据：，，
20.本小题10分
如图，AB为的直径，交于点C，D为OB上一点，延长CD交于点E，延长OB至F，使，连接
求证：EF为的切线；
若且，求的半径.
21.本小题12分
某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为20元，设销售这种商品的日销售利润为y元.
求y与x的函数关系式；
第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
22.本小题12分
如图，的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，抛物线经过B点，且顶点在直线上．
求抛物线对应的函数关系式；
若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．
在的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．
23.本小题14分
如图，矩形ABCD中，，点P是对角线AC上的一个动点不包含A、C两点，过点P作分别交射线AB、射线AD于点E、
求证：∽；
连接BP，若，且F为AD中点，求的值；
若，移动点P，使与相似，直接写出的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：，
函数图象顶点坐标为，
故选：
由函数解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：反比例函数的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
，
解得：
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：
根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
根据已知角的正切值表示即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
【解答】
解：，，在直角中，
故选：
5.【答案】D
【解析】解：，
，
故选：
根据，可得，所以，即可得出答案．
本题考查了比例的性质，关键是熟练掌握比例的性质．
6.【答案】D
【解析】解：连结OA，如图，
轴，
，
，
而，
，
，
故选：
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值
7.【答案】A
【解析】解：连接OD，
，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：
连接OD，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据圆周角定理求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：，
，，
，A正确；
，
，B错误；
，
，C错误；
，
，D错误，
故选
9.【答案】B
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，且，
，
，
，
点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
故选：
求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断与的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在和中，
，
，
，
∽，
，
，
如图，取BC中点Q，则，
为AB中点，
，
当且仅当E、F、Q三点共线时，EF可以取到，
最小值为
故选：
先证明通过∽说明，取BC中点Q，则，，再由E、F、Q三点共线时，EF可以取到，即可得到答案，
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明，取BC中点Q，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半．
11.【答案】
【解析】解：为线段AB的黄金分割点，，且，
故答案为：
根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段，则，代入数据即可得出BP的长．
本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的
12.【答案】1：2
【解析】解：过点D作，交AC于H，
则，，
是的中线，E是AD的中点，
，，
，，
：：2，
故答案为：1：
过点D作，交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，，得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
过O作于F，连接OC，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，OF过圆心O，
，
，
故答案为：
过O作于F，连接OC，求出，根据垂直定义得出，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
14.【答案】
【解析】解：如图，延长FG交BC于点M，
四边形CDEF为菱形，
，
，
，，
≌，
，
设菱形CDEF的边长为a，则，
在等腰三角形ABC中，，如果，则为等边三角形，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
在等腰三角形ABC中，，如果，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：，
延长FG交BC于点M，利用ASA证明≌，当时，证明和为等边三角形，再利用菱形的性质，即可得到EF和BC的数量关系；当，时，先证明和为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边角关系即可得到菱形的边长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
15.【答案】解：

【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：如图1所示，即为所求．
如图2所示，即为所求．

【解析】分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
由及位似的性质进行作图即可．
本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键．
17.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
，
，在上，
，
解得，
；
联立，
解得：，，
，
根据图象可知的解集为：或
【解析】根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得m的值，即可求得反比例函数的解析式；
先求得B的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的x的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，，
，
，
∽，
解：在中已证明∽，
，，
，，，
，

【解析】根据，可得，即有，结合，可得∽；
根据∽，可得，即，问题随之得解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：作于H，如图1所示：
在中，，
，
，
，
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
如图2所示：延长BD交AE于点G，设，
由题意得，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：
答：大树的高度约为：米．
【解析】作于H，解，即可求出DH；
延长BD交AE于点G，解、，求出GH、AH，得到AG；设米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
20.【答案】解：证明：如图，连接OE，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
是半径，
为的切线；
解：设的半径，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，或舍去，
的半径为
【解析】连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：当时，
，
当时，
，
；
当时，
，
当时，有最大值2450；
当时，
，
随x的增大而减小．
当时，，
综上，在第25天时，最大日销售利润为2450元．
【解析】依据题意，利用“利润=每千克的利润销售量”列出函数关系式；
依据题意，可配方求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果．
本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．
22.【答案】解：的顶点在直线上，
可设所求抛物线对应的函数关系式为，
点在此抛物线上，
，
，
所求函数关系式为：；
在中，，，
四边形ABCD是菱形，
，
、B两点的坐标分别为、，
、D两点的坐标分别是、；
当时，，
当时，，
点C和点D在所求抛物线上；
设直线CD对应的函数关系式为，
则，
解得：；
轴，M点的横坐标为t，
点的横坐标也为t；
则，，
，
，
当时，，此时
此时点M的坐标为
【解析】已知抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；
根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线CD与抛物线的函数值的差，可将代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为s的表达式，由此可求出s、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出m取最大值时，点M的坐标．
此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，且，
∽；
解：，
，
，
，
，
设BC交FE与点G，
矩形ABCD，
，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
；
解：矩形ABCD，
，，，
①当∽时，则：，
点P为AC的中点，
，
，
，即：，
设，则：，
，
，
，
；
②当∽时，则：，
，
设，，则：，，
，
，
解得：，
由①知：，
，
，
，
或；
综上：或或
【解析】矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设BC交FE与点G，证明∽，得到，证明∽，列出比例式求解即可；
分∽，∽两种情况进行讨论求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．时间天
售价
60
日销售量