2022-2023学年广东省深圳科学高中高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳科学高中高一（下）期中数学试卷，共56页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2023•射洪市校级模拟）已知集合，，则
A．，B．C．，5，D．，
2．（5分）（2023•梅河口市校级三模）已知，则
A．B．C．D．
3．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为
A．1B．C．2D．
4．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
5．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知函数，则
A．B．0C．4D．6
6．（5分）（2023春•琼海校级期中）已知，，则在上的投影向量为
A．B．C．D．
7．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）对任意的实数，，不等式恒成立，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．
8．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知是偶函数且在，上单调递增，则满足的一个值的区间可以是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023•蚌埠模拟）关于平面向量，下列说法不正确的是
A．若，则B．
C．若，则D．
10．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）将正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，从而得到函数的图象，则下列说法正确的是
A．的最小正周期是
B．若为奇函数，则的一个可取值是
C．的一条对称轴可以是直线
D．在上的最大值是1
11．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法正确的是
A．直线平面
B．存在点，使得直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值
D．平面与底面的交线平行于直线
12．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知函数，则下列说法正确的是
A．当时，函数有两个不同的零点
B．存在实数，使得函数的图象与轴没有交点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数有四个不同的零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023秋•泗水县期中）已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 ．
14．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知直线与函数，的图象交点的横坐标分别为，，则 ．
15．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为 ．
16．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在等腰三角形中，底边，底角平分线交于点，求的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围．
18．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）设函数，．
（1）求函数的单调递增区间，并写出对称轴；
（2）设为锐角，若，求的值．
19．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元．
（1）写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
（2）当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？
20．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
21．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）刍甍是几何体中的一种特殊的五面体．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形．
（1）求证：；
（2）若已知，求该五面体的体积．
22．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．
（1）若，，求函数与的“偏差”；
（2）若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．
2022-2023学年广东省深圳科学高中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2023•射洪市校级模拟）已知集合，，则
A．，B．C．，5，D．，
【答案】
【考点】交集及其运算
【专题】数学运算；综合法；集合思想；集合
【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可．
【解答】解：因为，，，
所以，．
故选：．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）（2023•梅河口市校级三模）已知，则
A．B．C．D．
【答案】
【考点】共轭复数；复数的运算
【专题】转化法；数系的扩充和复数；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：，
则，
．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为
A．1B．C．2D．
【答案】
【考点】扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】设圆锥的母线长为，根据底面圆的半径为1以及圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，列出关于母线的方程，求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面圆的半径为1，所以底面积为，
由题意，圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，
所以圆锥的侧面积为，
所以，
解得，即圆锥的母线长为2．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算和扇形的面积公式的应用，属于基础题．
4．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】指数式与对数式的互化；对数值大小的比较；对数的运算性质
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；函数思想
【分析】先把指数式化为对数式，得到，，利用对数的运算性质可判断，利用基本不等式可判断．
【解答】解：，，，
，
，故错误；
，故正确，
，，故错误；
，，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，以及基本不等式的应用，属于基础题．
5．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知函数，则
A．B．0C．4D．6
【答案】
【考点】函数的值
【专题】综合法；数学运算；函数的性质及应用；转化思想
【分析】由题意，先求出的值，可得的值．
【解答】解：函数，（1），
则（1）．
故选：．
【点评】本题主要考查求函数的值，分段函数的应用，属于基础题．
6．（5分）（2023春•琼海校级期中）已知，，则在上的投影向量为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；投影向量；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】定义法；对应思想；平面向量及应用；数学运算
【分析】根据投影向量的定义计算即可．
【解答】解：因为，，
所以在上的投影向量为，，．
故选：．
【点评】本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
7．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）对任意的实数，，不等式恒成立，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．
【答案】
【考点】函数恒成立问题
【专题】数学运算；函数思想；不等式的解法及应用；分类法
【分析】构造，讨论的正负，通过探究的增减性，求的取值范围．
【解答】解：构造，
当时，，不符合，
当时，是增函数，
因为对任意的实数，，不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，解得或，因为，所以．
当时，是减函数，因为对任意的实数，，恒成立，
（2）恒成立，
解得或，因为，所以．
综上所述或．
故选：．
【点评】本题主要考查构造函数解决不等式恒成立问题，属于简单易错题，解题时一定要注意哪个字母才是构造函数中的变量．
8．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知是偶函数且在，上单调递增，则满足的一个值的区间可以是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】抽象函数及其应用
【专题】综合法；三角函数的求值；函数的性质及应用；数学运算；计算题；转化思想；方程思想
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性，分析可得原不等式等价于，变形可得，由此分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，是偶函数且在，上单调递增，
则，
必有，则原不等式变形可得，
分析选项：，符合．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及三角函数的性质，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023•蚌埠模拟）关于平面向量，下列说法不正确的是
A．若，则B．
C．若，则D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理
【分析】由数量积性质可判断，由分配律可判断，由相反向量可判断，由向量垂直可以判断．
【解答】解：对于，若，则不一定有，错误；
对于，根据分配律即可得到，正确；
对于，若，则可能，那么，错误；
对于，若，则有，那么就不一定有，错误．
故选：．
【点评】本题考查向量数量积的运算性质，属基础题．
10．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）将正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，从而得到函数的图象，则下列说法正确的是
A．的最小正周期是
B．若为奇函数，则的一个可取值是
C．的一条对称轴可以是直线
D．在上的最大值是1
【答案】
【考点】函数的图象变换
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】先根据图像变换求出函数的解析式，然后根据周期公式即可判断选项；根据函数的奇偶性即可判断选项；根据正弦函数的对称性即可判断选项；根据的范围以及正弦函数的性质求出值域即可判断选项．
【解答】解：由题意可得函数，
则函数的最小正周期为，故正确；
若函数为奇函数，则，解得
令，解得不是整数，故错误；
当时，为最大值，故正确；
当时，，则当时，，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了正弦函数的图象性质，涉及到函数的周期，值域以及奇偶性，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
11．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法正确的是
A．直线平面
B．存在点，使得直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值
D．平面与底面的交线平行于直线
【答案】
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直；异面直线及其所成的角
【专题】综合题；空间位置关系与距离；综合法；转化思想；逻辑推理
【分析】由直线与平面垂直的判定及性质得到，，得到直线平面，判定正确；求出异面直线所成角的范围判断错误；由直线与平面平行说明到平面的距离为定值判断正确；由直线与平面平行的性质判断正确．
【解答】解：，，，
平面，则，同理，
，直线平面，故正确；
当在时，平面，又平面，
所以直线与所成角为，
异面直线与所成角为直线与直线的夹角．
当在处时，，
是直线与所成的角，易得，
故异面直线与所成角的取值范围是，．
不存在点，使得直线与所成角为，故错误；
，平面，平面，平面．
可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故正确；
平面，平面，设平面与底面的交线为，
由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，
又，平面与底面的交线平行于，故正确．
故选：．
【点评】本题考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查空间角及多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
12．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知函数，则下列说法正确的是
A．当时，函数有两个不同的零点
B．存在实数，使得函数的图象与轴没有交点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数有四个不同的零点，则
【答案】
【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系
【专题】数形结合法；数形结合；逻辑推理；函数的性质及应用
【分析】．当时，作出函数和的图象，利用数形结合进行判断即可，
．当时，（1），进行判断即可．
．函数的定义域，，，关于不对称，进行判断即可．
．利用函数与方程的关系，转化为当当时，有两个不同的零点即可，构造函数，利用导数研究函数的极值进行判断即可．
【解答】解：当时（1），即恒有一个零点1，故错误，
由得，
设，当时，，
当时，，
作出函数的图象如图：
设，当时，，作出的图象，由图象知，与有且只有两个交点，即函数有两个不同的零点．故正确，
的定义域为，，，
（2）无意义，而存在，即的图象关于直线对称不成立，故错误，
当时，和不可能有4个交点，故不满足条件，
当时，当时，和没有交点，
当时，和只有2个不同的交点，要使有4个不同的零点，
则只需要当时，有两个不同的零点即可，
当时，，
得，
即，
设，
则，由得，此时函数为增函数，
由得，此时函数为减函数，
即当时，取得极大值，极大值为，
作出的图象如图：
当时，与在上有两个不同的交点，
综上要使函数有四个不同的零点，则，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合进行判断是解决本题的关键，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023秋•泗水县期中）已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 ．
【答案】．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；函数思想
【分析】由幂函数的定义可得，再结合的单调性确定的值即可．
【解答】解：由幂函数的定义可知，，
解得，
又在上为单调增函数，
，即，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
14．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知直线与函数，的图象交点的横坐标分别为，，则 1 ．
【答案】1．
【考点】对数函数的图象与性质
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；函数思想
【分析】直线与函数的图象交点的横坐标，等价于函数与的交点的横坐标，同理，直线与函数的图象交点的横坐标，等价于函数与的交点的横坐标，再结合指数函数和对数函数的图象求解即可．
【解答】解：直线与函数的图象交点的横坐标，即为方程的解，
等价于方程的解，
等价于函数与的交点的横坐标，
同理，直线与函数的图象交点的横坐标，即为方程的解，
等价于方程的解，
等价于函数与的交点的横坐标，
因为函数与互为反函数，图象关于直线对称，
所以函数与的交点坐标为，函数与的交点坐标为，
即，，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于中档题．
15．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为 ．
【答案】．
【考点】球的体积和表面积
【专题】对应思想；定义法；球；数学运算
【分析】取中点，过点作交于，说明为三棱锥外接球球心，再根据基本不等式和体积公式得，进而得其外接球半径即可得答案．
【解答】解：如图，取中点，过点作交于，
则，
因为平面，所以平面，
因为，
所以，
所以，即为三棱锥外接球球心，为球的半径，
因为，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以球的半径，
所以，
所以三棱锥外接球体积的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积相关知识，属于中档题．
16．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在等腰三角形中，底边，底角平分线交于点，求的取值范围是 ， ．
【考点】：平行线分线段成比例定理
【专题】：立体几何；17：选作题
【分析】利用角平分线的性质，结合，即可确定的取值范围．
【解答】解：底角的角平分线交于点
设，，则：
，
由题得：，，
，，
，
．
故答案为：，．
【点评】本题考查角平分线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）2或10；
（2），，．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；
（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果．
【解答】解：（1），
，解得：或，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述：或10
（2）若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，
则，解得：且，
故的取值范围为，，．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题．
18．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）设函数，．
（1）求函数的单调递增区间，并写出对称轴；
（2）设为锐角，若，求的值．
【答案】（1），；．．
（2）．
【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性
【专题】综合法；三角函数的求值；转化思想；数学运算
【分析】（1）首先利用倍角公式化简函数，然后利用整体代换思想求出函数递增区间和对称轴；
（2）由已知得到角的余弦值，分析所求角和已知角的关系，利用倍角公式与两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（1），
当，时，单调递增，
解得，
故的单调递增区间为，．
令，，可得的对称轴为．
（2）由（1）得，又为锐角，
，故，
所以，
，
故
．
【点评】本题考查三角恒等变换，条件求值及正弦函数的性质，属基础题．
19．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元．
（1）写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
（2）当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？
【答案】（1）；
（2）当万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为8万元．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）根据题目中等量关系，列出函数关系式；
（2）对函数进行变形，利用基本不等式求解最值．
【解答】解：（1）；
（2），
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
，
当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）利用，结合已知可求的值；
（2）由已知可得，进而可得，可得时，，进而可求的面积．
【解答】解：（1），，
，
，，，
；
（2），，
，
当且仅当时取等号，可得，，
，
，，，可得，又．是等边三角形，
．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，属中档题．
21．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）刍甍是几何体中的一种特殊的五面体．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形．
（1）求证：；
（2）若已知，求该五面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】逻辑推理；转化思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可证明；
（2）过点作，作，过点作，作，利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得．
【解答】证明：（1）五面体中，因为平面，平面，平面平面，
所以．
解：（2）过点作，作，垂足分别为，，
过点作，作，垂足分别为，，
连接，，如图，
取中点，连接，由知，，
因为，，且，是平面内两相交直线，
所以平面，
因为平面，
所以，又，是平面内两相交直线，
所以平面，
在中，，，可得，
所以，四棱锥和的体积均为，
三棱柱的体积，
所以，该五面体的体积为．
【点评】本题考查线面平行的性质定理，多面体的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
22．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．
（1）若，，求函数与的“偏差”；
（2）若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．
【答案】（1）3．
（2）或或2．
【考点】函数的最值及其几何意义
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）计算出，结合，，求出，，得到“偏差”；
（2）令，，，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”，即可得出结论．
【解答】解：（1），，，因为，，
由二次函数的性质可得，，
故函数与的“偏差”为3；
（2）令，，，
因为，，（1），
令，，，
因为，，，，，，
当，即时，此时，
则的“偏差”为，由于，有最小值，满足要求；
当，即时，此时，
则的“偏差”为，由于，无最小值，不满足要求；
当，且，即时，
则的“偏差”为，由于，无最小值，不满足要求；
当，且，即时，
则的“偏差”为，由于，无最小值，不满足要求；
当，且，即时，
则的“偏差”为，由于，有最小值，满足要求；
当，，即时，
则的“偏差”为，由于，无最小值，不满足要求；
当，，即时，
则的“偏差”为，由于，有最小值，满足要求；
综上，或或2时，满足要求．
【点评】本题属于新概念题，考查了二次函数的性质，也考查了分类讨论思想，理解概念是关键，属于难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
6．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
7．幂函数的性质
【知识点的认识】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
8．指数式与对数式的互化
【知识点的认识】
ab＝N⇔lgaN＝b；
algaN＝N；lgaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝lgab；lgaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；lgaf（x）＝lgag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）lgma＝g（x）lgmb；（两边取对数法）
（4）lgaf（x）＝lgbg（x）⇔lgaf（x）＝；（换底法）
（5）\;Alg4{a}^{2}$x+Blgax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝lgax或t＝ax）（换元法）
9．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
10．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
11．对数函数的图象与性质
【知识点的认识】
12．扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝ rα ，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
【命题方向】
扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
分析：设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则，解得α＝1或α＝4．
选C．
点评：本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．
13．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
14．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
15．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
16．函数零点的判定定理
【知识点的认识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
【解题方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
17．函数的零点与方程根的关系
【知识点的认识】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【命题方向】
直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
18．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
19．平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
20．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
21．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
22．投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
23．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
24．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
25．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
26．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
27．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
28．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
29．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
30．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
31．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
32．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
33．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
34．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
35．平行线分线段成比例定理
【知识点的认识】
平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/10 23:55:14；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α