2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数，为虚数单位，则
A．B．C．D．
2．（5分）已知集合，集合，则
A．，B．，C．，D．，1，
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是
A．B．C．D．
4．（5分）已知，则
A．B．C．D．
5．（5分）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
6．（5分）已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是
A．B．C．D．
7．（5分）已知正方形的边长为2，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
8．（5分）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，（1），则不等式的解集为
A．，，B．
C．，，D．，，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知，则下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称
11．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是
A．的外接圆的半径为
B．若只有一个解，则的取值范围为或
C．若为锐角，则的取值范围为
D．面积的最大值为
12．（5分）已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
14．（5分）如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，则的长度为 ．
15．（5分）中，角、、所对的边分别为、、．若，且，则周长的最大值为 ．
16．（5分）函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求和．
18．（12分）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
（1）用，表示，；
（2）如果，且，求．
19．（12分）如图，在中，，，点在边上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，求的长．
20．（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面，，，分别为，，上的点，且．已知，．
（1）设平面平面，证明：平面；
（2）求五面体的体积．
21．（12分）如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求角；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．
22．（12分）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数且，若函数与的图像有两个公共点，求实数的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，为虚数单位，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据复数的运算法则，复数模的运算公式，即可解出．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，复数模的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
2．（5分）已知集合，集合，则
A．，B．，C．，D．，1，
【答案】
【分析】根据题意，先将集合，化简，然后根据交集的运算即可得到结果．
【解答】解：因为，0，1，，
，
所以，．
故选：．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是
A．B．C．D．
【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可．
【解答】解：对于、选项为偶函数，排除，
选项是奇函数，但在上不是单调递增函数．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性知识．
4．（5分）已知，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用公式变形化弦为切求出，，代入求值．
【解答】解：因为，
所以，
，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及同角商的关系的应用，属于基础题．
5．（5分）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：若，，则或，故错误；
若，，，则或与相交，故错误；
若，则与无公共点，又，则与无公共点，即，故正确；
若，，，则或与异面，故错误．
故选：．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6．（5分）已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意结合数量积的运算律以及投影向量运算求解．
【解答】解：，
，即，
向量在向量方向的投影向量是，
则向量在向量方向的投影向量，
，即，且，则，即向量与的夹角是．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
7．（5分）已知正方形的边长为2，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算及三角函数值域的求法求解即可．
【解答】解：已知正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，
，，
则，，，
又，，
则．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属基础题．
8．（5分）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，（1），则不等式的解集为
A．，，B．
C．，，D．，，
【答案】
【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可．
【解答】解：因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以（1），
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是，，上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即（1），
所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为，，．
故选：．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知，则下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由对数函数的性质得，再结合不等式性质、指对数函数的性质判断各项的正误．
【解答】解：由题设，则，错误；，正确；
由，正确；由于与1的大小未知，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查对数函数、指数函数的性质，属于基础题．
10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称
【答案】
【分析】对选项，根据两角和公式得到，即可判断正确，
对选项，根据，即可判断错误，
对选项，根据周期公式即可判断正确，
对选项，根据三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断正确．
【解答】解：，故正确；，故错误；
，正确；
将的图象向左平移个单位后得，
定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
11．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是
A．的外接圆的半径为
B．若只有一个解，则的取值范围为或
C．若为锐角，则的取值范围为
D．面积的最大值为
【答案】
【分析】首先利用三角恒等变换求，再根据正弦定理判断；
根据三角形的个数，建立不等式，判断；
求角的范围，利用正弦定理求，并求的取值范围，判断；
利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，即可判断．
【解答】解：因为，
所以，，所以，
因为，所以，解得：，故正确；
．若只有一个解，则或，
得或，故错误；
．因为角为锐角，，所以，
所以，，
所以，故错误；
．，当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
【答案】
【分析】根据线面平行的判定定理，运动变化思想，函数思想，即可分别求解．
【解答】解：对选项，当与点重合时，
平面截正方体的截面为△，选项错误；
对选项，，又平面，平面，
平面，又点为线段（含端点）上的动点，
到平面的距离为定值，又△的面积也为定值，
三棱锥的体积为定值，选项正确；
对选项，根据运动变化思想可得：
由移动到，截面面积由小变大，
当与重合时，截面面积最大，
此时截面为矩形，其面积为，选项正确；
对选项，如图，分别取左右侧面的中心，，则垂直于左右侧面，
根据对称性易知：三棱锥的外接球的球心在线段上，
设到的距离为，则，，
设，则，又易知，外接球的半径，
则在△与中，由勾股定理可得：
，两式相减可得：，
，
令，又，，，，
，，，
设函数，，，
则的对称轴为，又一元二次函数的开口向上，
在，上单调递增，
的最小值为（1），的最大值为（2），
，
三棱锥的外接球表面积，，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积问题，正方体的截面问题，三棱锥的外接球问题，化归转化思想与函数思想的应用，属难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得到，解之即可得解．
【解答】解：与在上都单调递增，
在上单调递增，
在区间上有零点，
，，
，
实数的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查零点存在性定理的应用，化归转化思想，属中档题．
14．（5分）如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，则的长度为 ．
【答案】．
【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出的长度．
【解答】解：把直观图△还原为，如图所示：
根据直观图画法规则知，，，
所以的长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直观图画法规则应用问题，是基础题．
15．（5分）中，角、、所对的边分别为、、．若，且，则周长的最大值为 ．
【答案】．
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．
【解答】解：因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，所以，，故，
由余弦定理可得，
所以，，即，故，
当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
16．（5分）函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的最小值为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据新定义，作出的图象，结合图象即可求解．
【解答】解：根据新定义，作出的图象如下：
要使的图象上恰有3对点关于原点对称，
则与的图象恰有3个交点，
由图象可得，解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求和．
【答案】（1）1；
（2），．
【分析】（1）根据解析式直接求出答案；
（2）由条件可得，然后求出，的值，然后根据和差公式和倍角公式可得答案．
【解答】解：（1）因为，所以；
（2）因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
．
【点评】本题考查了诱导公式，同角基本关系，和差角及二倍角公式的应用，属于基础题．
18．（12分）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
（1）用，表示，；
（2）如果，且，求．
【答案】（1），；（2）3．
【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可．
（2）利用向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：（1），点为中点，点为上的三等分点，
，
；
（2）由（1）可知，，
，，
即．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，数量积运算，属于中档题．
19．（12分）如图，在中，，，点在边上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，求的长．
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）3．
【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可求的值，利用诱导公式可求的值，根据余弦定理可求的值．
【解答】解：（Ⅰ），，且，
，
根据正弦定理，
可得；
（Ⅱ），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．
20．（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面，，，分别为，，上的点，且．已知，．
（1）设平面平面，证明：平面；
（2）求五面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）首先证明，则有平面，再根据线面平行的性质定理得到，则得到线面平行；
（2）根据相似得，则，再利用分割体积法求出五面体的体积即可．
【解答】证明：（1）因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面，
解：（2）因为，所以，
所以，
所以五面体的体积，
因为，
所以．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了分割法求不规则几何体的体积，属于中档题．
21．（12分）如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求角；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．
【答案】（1），
（2）．
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）结合余弦定理和面积公式得，进而得，再根据三角函数性质得时，有最大值，结合余弦定理求解即可．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：，，
所以．
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以．
（2）解：设四边形的面积为，
则，
又，
所以，即，
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即有最大值．
此时，，代入得．
又，
所以，
在中，可得：，
即，
所以对角线的长为．
【点评】本题主要考查解三角形的考点，考查转化能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数且，若函数与的图像有两个公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）实数的取值范围为，．
（3）实数的取值范围为，．
【分析】（1）根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可；
（2）由题意可得在，时有解，求解可得实数的取值范围；
（3）由已知可得关于的方程有两解，进而可得有两解，利用换元法可求实数的取值范围．
【解答】解：（1）
，
故，解得：，
（2），
当时，函数存在零点，
即在，时有解，
设，
，．，，，，，，
即实数的取值范围为，．
（3）若函数与的图象有两个公共点，
则关于的方程有两解，
有两解，即，显然，
，令，
显得关于的方程，
记，
①当时，函数图象开口向上，又函数图象恒过定点，
方程有一正一负的根，不符合题意，
②当时，，所以只需△，
解得或，又，，方程有两个不相等的正实根，符合题意，
综上所述：实数的取值范围为，．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根，考查运算求解能力，属中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/16 0:05:15；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565