2022-2023学年广东省深圳市龙华中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙华中学高一（下）期中数学试卷，共53页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2019秋•慈溪市期中）已知向量，，则
A．B．C．D．
2．（5分）（2019秋•兴庆区校级期末）已知复数的模等于2，则实数的值为
A．1或3B．1C．3D．2
3．（5分）（2023春•宝安区校级期中），是不同的直线，，是不重合的平面，下列说法正确的是
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．，是异面直线，若，，，，则
D．若，，则
4．（5分）（2015•长沙县模拟）如图，在中，为线段上的一点，，且，则
A．，B．，C．，D．，
5．（5分）（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2B．C．4D．
6．（5分）（2021春•泾川县期末）已知向量满足，若，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
7．（5分）（2020秋•蚌埠期末）阿基米德，公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为
A．B．C．D．
8．（5分）（2021秋•蓝田县期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为瞥臑．已知在瞥臑中，满足平面，且，，，则此瞥臑外接球的表面积为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）（2021春•武汉期末）下列命题错误的是
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
10．（5分）（2023春•宝安区校级期中）下列命题正确的是
A．
B．单位向量，，满足
C．对于向量，，有恒成立
D．向量，不能作为所在平面内的一组基底
11．（5分）（2023春•洛阳期中）一艘轮船航行到处时看灯塔在的北偏东方向上，距离为海里，灯塔在的北偏西方向上，距离为海里，该轮船从处沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向上，下面结论正确的有

A．
B．
C．或
D．灯塔在的南偏西方向上
12．（5分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在四面体中，点，，，分别是棱，，，的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是
A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13．（5分）（2023春•宝安区校级期中）已知为虚数单位，复数满足，则复数的实部为 ．
14．（5分）（2018•洛阳一模）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 ．
15．（5分）（2022•广州一模）已知菱形的边长为2，，点在边上（包括端点），则的取值范围是 ．
16．（5分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在正四棱锥（顶点在底面上的射影是正方形的中心）中，底边长2，高，是的中点，点在表面上运动，并且总是保持．则动点的轨迹的长度
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2023春•宝安区校级期中）已知，为单位向量，且，的夹角为，向量，．
（1）求；
（2）求与的夹角．
18．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
19．（12分）（2020秋•重庆期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，的周长为12，求的面积．
20．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图1是半圆（以为直径）与组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与所在平面垂直，点是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的平面角的正切值．
21．（12分）（2023春•宝安区校级期中）山顶有一座石塔，已知石塔的高度为．
（1）如图（1），若以，为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，求山的高度．
（2）如图（2），若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的正投影，当观测点在上满足时，看的视角（即点与点仰角的差最大，求山的高度．
22．（12分）（2022•杭州模拟）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
2022-2023学年广东省深圳市龙华中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。每小题只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2019秋•慈溪市期中）已知向量，，则
A．B．C．D．
【考点】：平面向量的坐标运算
【专题】：平面向量及应用；36：整体思想；49：综合法；65：数学运算
【分析】利用点的坐标得到向量的坐标，再进行向量的四则运算．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．
2．（5分）（2019秋•兴庆区校级期末）已知复数的模等于2，则实数的值为
A．1或3B．1C．3D．2
【答案】
【考点】复数的模
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】利用复数模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数的模等于2，
，
化为：，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）（2023春•宝安区校级期中），是不同的直线，，是不重合的平面，下列说法正确的是
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．，是异面直线，若，，，，则
D．若，，则
【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系；：平面与平面之间的位置关系；：平面与平面平行
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离
【分析】利用反例判断，，的正误，利用平面平行的判定定理判断的正误即可．
【解答】解：对于，若，，，则，也可能，是异面直线，所以不正确；
对于，若，，，，则，当时，可能有．所以不正确；
对于，过作，，直线，是相交直线，确定平面，由题意可得，，，，所以正确；
对于，若，，则，也可能，所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查直线与平面，直线与直线，平面与平面的位置关系的应用，考查基本知识，以及定理的应用．
4．（5分）（2015•长沙县模拟）如图，在中，为线段上的一点，，且，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考点】：平面向量的基本定理
【专题】：平面向量及应用
【分析】由，利用向量三角形法则可得，化为，又，利用平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：，
，
化为，
又，
，．
故选：．
【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2B．C．4D．
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【专题】转化思想；定义法；立体几何；逻辑推理；数学运算
【分析】设母线长为，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意，设母线长为，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有，解得，
所以该圆锥的母线长为．
故选：．
【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力和空间思维能力，属于基础题．
6．（5分）（2021春•泾川县期末）已知向量满足，若，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】根据向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：由已知，
又，，
解得：，
向量与的夹角为．
故选：．
【点评】本题考查向量的夹角，是基础题．
7．（5分）（2020秋•蚌埠期末）阿基米德，公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【专题】转化思想；定义法；球；数学运算
【分析】先设球的半径为，根据体积求出的值，再由题意得出圆柱的底面圆半径以及圆柱的高，利用圆柱的表面积公式即可得到答案．
【解答】解：因为球的体积为，设球的半径为，
则有，解得，
又圆柱的底面直径与高都等于球的直径，
所以圆柱的底面圆半径为3，高为，
所以圆柱的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了球的体积公式、圆柱的表面积公式的应用，要熟练掌握基本的空间几何体的体积和表面积计算公式，属于基础题．
8．（5分）（2021秋•蓝田县期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为瞥臑．已知在瞥臑中，满足平面，且，，，则此瞥臑外接球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
【解答】解：由，，，，即有，
又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：
图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线，也是外接球的直径，
设外接球半径为，则，
所以瞥臑的外接球表面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查多面体外接球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）（2021春•武汉期末）下列命题错误的是
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】
【考点】棱台的结构特征；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；命题的真假判断与应用
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用棱柱的定义和棱锥的定义，和棱台的性质的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定都全等，故错误；
对于：用一个平行于底面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故错误；
对于：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，利用线面垂直得到结论，故正确；
对于：棱台的侧棱延长后交于一点，侧面不一定都是等腰梯形，故错误；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：棱柱的定义和棱锥的定义，棱台的形成，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
10．（5分）（2023春•宝安区校级期中）下列命题正确的是
A．
B．单位向量，，满足
C．对于向量，，有恒成立
D．向量，不能作为所在平面内的一组基底
【答案】
【考点】平面向量的基本定理；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模
【专题】数学抽象；平面向量及应用；对应思想；综合法
【分析】由已知结合向量的基本运算及基本概念检验各选项即可判断．
【解答】解：，错误；
根据单位向量的定义可知，显然正确；
因为，为，的夹角），
因为，显然正确；
因为，即，不共线，可以作为一组基底．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量基本概念的应用，属于基础题．
11．（5分）（2023春•洛阳期中）一艘轮船航行到处时看灯塔在的北偏东方向上，距离为海里，灯塔在的北偏西方向上，距离为海里，该轮船从处沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向上，下面结论正确的有

A．
B．
C．或
D．灯塔在的南偏西方向上
【答案】
【考点】解三角形；正弦定理
【专题】综合法；整体思想；计算题；解三角形；数学运算
【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案．
【解答】解：如图：在中，，
由正弦定理有，故正确；
在中，由余弦定理得，
因为，所以，故正确；
由正弦定理得，
所以，故或者，
因为，故为锐角，所以，此时灯塔在的南偏西方向上，故不正确，正确．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题．
12．（5分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在四面体中，点，，，分别是棱，，，的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是
A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为
【答案】
【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算
【分析】由三角形中位线定理结合，可得，所以正确，由，可得截面，所以正确，由已知条件只能证得，不能证明，所以错误，由可得异面直线与所成的角为，所以正确．
【解答】解：对于选项：由，，，可得，故选项正确，
对于选项：由，可得截面，故选项正确，
对于选项：由已知可得，，
因为，所以，不能证明，故选项错误，
对于选项：因为，所以异面直线与所成的角为，
又因为截面是正方形，所以，故选项正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了线面平行的判定和异面直线所成的角，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13．（5分）（2023春•宝安区校级期中）已知为虚数单位，复数满足，则复数的实部为 ．
【答案】．
【考点】复数的运算
【专题】数学运算；对应思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】设，根据复数的运算得到关于，的方程组，解出即可．
【解答】解：设，
，
，
，
，解得，
故的实部是．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是基础题．
14．（5分）（2018•洛阳一模）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 13 ．
【考点】：多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【专题】11：计算题
【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．
【解答】解：将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得矩形的长等于，宽等于5，由勾股定理
故答案为：13．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．
15．（5分）（2022•广州一模）已知菱形的边长为2，，点在边上（包括端点），则的取值范围是 ， ．
【答案】，．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】建立坐标系，设出点的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
当点在上时，设，，，，，
则，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．
16．（5分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在正四棱锥（顶点在底面上的射影是正方形的中心）中，底边长2，高，是的中点，点在表面上运动，并且总是保持．则动点的轨迹的长度
【考点】：棱锥的结构特征
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；49：综合法；35：转化思想
【分析】由动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，故点落在过点且于垂直的平面上，根据线面平行的判定定理，找到满足条件的点轨迹，解三角形可得答案．
【解答】解：连接，交于点，连接，则平面
由平面，故
取中点和中点，连接交于
则为的中点，故，
则
又由，得
，，平面
平面
故当平面时，总有，
故动点的轨迹即为的周长
又正四棱锥的底面边长为2，高为，
故，，则，，则
故的周长为
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定及性质，其中根据已知分析出点落在过点且于垂直的平面上，进而给出添加辅助线的方法是解答的关键．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2023春•宝安区校级期中）已知，为单位向量，且，的夹角为，向量，．
（1）求；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；
（2）先求得，再利用夹角公式求解．
【解答】解：（1），为单位向量，且，的夹角为，
．
．
（2）设与的夹角为．
，，
．
又，，
，
与的夹角为．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【考点】直线与平面平行；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】数形结合；等体积法；计算题；逻辑推理；空间位置关系与距离；数学运算
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，即可证明；
（2）由平面，可得，然后结合已知得答案．
【解答】（1）证明：连结交于，连结，
为的中点，是中点，
，又平面，平面平面，
平面；
（2）解：平面，
且底面是等边三角形，，
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19．（12分）（2020秋•重庆期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，的周长为12，求的面积．
【考点】余弦定理
【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）利用余弦定理，二倍角公式对已知等式进行化简，可得，再由特殊角的三角函数值即可得解；
（2）由（1）及，得，由三角形的周长求得，再由余弦定理可解得的值，进而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）由余弦定理知，，
因为，
所以，即．
又，
所以或，
所以或．
（2）由（1）及，得，
因为，且，
所以，
由余弦定理知，，即，
所以，
所以的面积．
【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用三角形面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图1是半圆（以为直径）与组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与所在平面垂直，点是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的平面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）二面角的平面角的正切值为2．
【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质，即可证明答案；
（2）由题意得平面，过点作于点，连接，由二面角的定义得为二面角的平面角，即可得出答案．
【解答】解：（1）是半圆的直径，，
，即，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
；
（2）为直径且点是的中点，
为等腰直角三角形，
又点为的中点，
，
又平面与平面，平面与平面，
平面，
则过点作于点，连接，如图所示：
，则平面，
又平面，
，
则为二面角的平面角，
又在中，，，
，
故二面角的平面角的正切值为2．
【点评】本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
21．（12分）（2023春•宝安区校级期中）山顶有一座石塔，已知石塔的高度为．
（1）如图（1），若以，为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，求山的高度．
（2）如图（2），若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的正投影，当观测点在上满足时，看的视角（即点与点仰角的差最大，求山的高度．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】解三角形
【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）设山底为点，由直角三角形的性质可得，与的关系，两式相比可得的大小，即求出山高；
（2）由直角三角形的性质可得，的表达式，进而求出的表达式，由均值不等式可得最大时山高的大小．
【解答】解：（1）设山底为点，设山高，由题意及图可得，
，
所以，即，
而，
解得；
（2），，
所以，
当且仅当时取等号，且最大，此时最大，
可得，，，
即，
解得或（舍，
综上所述，山高为．
【点评】本题考查直角三角形的性质的应用及均值不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）（2022•杭州模拟）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）3．
【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【专题】对应思想；分析法；立体几何；数学运算
【分析】（1）先证得平面，再证，根据线线垂直即可证明线面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量求解线面角，
（3）求出平面的法向量，利用向量法求解点到平面距离．
【解答】解：（1），，，，平面，平面，
平面平面，平面，平面，
所以为二面角的平面角，
则，平面，平面，则．
又，，
则是等边三角形，则，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）由于平面，建立如图所示的空间直角坐标系；
于是，，，，，0，，，0，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值．
（3）由（2）知，，，，，0，，，0，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
故点到平面的距离．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及点到平面的距离，属于中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．向量的概念与向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
4．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．平面向量的坐标运算
【知识点的认识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为＝（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d＝．若＝（m，n），则+＝（x+m，y+n），则﹣＝（x﹣m，y﹣n）；•＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．
【解题方法点拨】
例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根据题意，设＝（x，y），
若，有＝0，则﹣x+2y＝0，①，
若，x2+y2＝20，②，
联立①②，可得，
解可得或，
则＝（4，2）或（﹣4，﹣2）；
故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设＝（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法．
【命题方向】
这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数．
6．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
7．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
8．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
9．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
10．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
11．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
12．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
13．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥＝Sh．
14．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台＝．
15．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
16．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
17．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
18．多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【知识点的认识】
多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：
求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．
19．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
20．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
21．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
22．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
23．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
25．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/10 23:55:15；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α