广东省佛山市2023-2024学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题及参考答案

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本试卷共4页，19小题。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的渐近线方程是（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ）
A.B.C.D.
4.劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（ ）
A.12种B.24种C.36种D.48种
5.已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（ ）
A.B.C.5D.20
6.已知角满足，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，满足，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知平面平面，A，且A，，C，且C，，E，，且，，下列说法正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则几何体是柱体
C.若，，则几何体是台体
D.若，且，则直线，与所成角的大小相等
11.在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A.B.
C.D.若，则B与C互斥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.其中第14题第一空2分.第二空3分.
12.已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为______.
13.统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______.
14.近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则______秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
16.（15分）
如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，的中点O在平面内的射影恰好是的重心G，G到平面的距离为1，.
（1）证明：平面；
（2）证明：是直角三角形；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.
（1）求；
（2）求；
（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由.
18.（17分）
已知.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，，证明：.
19.（17分）
两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，.
（1）求p；
（2）若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积.