大同市第一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份大同市第一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为( )
A.3B.6C.10D.15
2．从集合中任取两个不同的数,和为2的倍数的概率为( )
A.B.C.D.
3．有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,且相邻的两个格子颜色不能相同,若最多使用3种颜色,则不同的涂色方法种数为( )
A.462B.630C.672D.882
4．为了深化教育改革,坚持“五育并举”融合育人.某学校准备组建书法,音乐,美术,体育4个不同的社团.现将甲,乙,丙,丁,戊5名同学分配到这4个社团进行培训,每名同学只能分配到1个社团,每个社团至少分配1名同学,且甲乙两名同学不能在同一个社团培训,则不同的分配方案共有( )
A.192种B.216种C.240种D.432种
5．某同学参加学校组织的数学知识竞赛,在5道四选一的单选题中有3道有思路,有2道完全没有思路,有思路的题目每道做对的概率为,没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题,则该同学2道题目都做对的概率为( )
A.B.C.D.
6．乒乓球是我国的国球,乒乓球运动在我国十分普及,深受国人喜爱,在民间经常开展各种乒乓球比赛.现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军,根据以往比赛记录统计的数据,可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为,若比赛为“五局三胜”制,各局比赛结果相互独立且没有平局,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了四局的概率为( )
A.B.C.D.
7．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为:个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式,千位再用横式,以此类推;遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示,例如:10记为“”,62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数,则取到的数字为质数的概率为( )
A.B.C.D.
8．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示,去除所有为1的项,依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,...,则此数列的前45项的和为( )
A.2026B.2025C.2024D.2023
二、多项选择题
9．已知A,B为随机事件,,,则下列结论正确的有( )
A.若A,B为互斥事件,则
B.若A,B为互斥事件,则
C.若A,B相互独立,则
D.若若,则
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”,“乐”,“射”,“御”,“书”,“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是( )
A.某学生从中选2门课程学习,共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有144种排法
D.课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有480种排法
11．如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐方格形道路网,其中,,,,是道路网中的5个指定交汇处,今在道路网M,N处的甲,乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的是( )
A.甲从M到达N处的方法有15种
B.甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C.甲,乙两人在处相遇的概率为
D.甲,乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
三、填空题
12．在二项式的展开式中,常数项为__________.
13．点关于直线的对称点在圆内,则实数a的取值范围是________.
14．已知实数,满足,,则______.
四、解答题
15．（1）求除以15的余数;
（2）若,求的值;
（3）求展开式中系数最大的项.
16．中国传统文化中,过春节吃饺子,饺子是我国的传统美食,不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲,乙两个箱子装有大小,外观均相同的速冻饺子,已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”,2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”,3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问:
（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少?
（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”,求第一盒是肉馅的条件下,第二盒是三鲜馅的概率;
（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱,再从乙箱中随机取出一盒“饺子”,从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
17．某校组织围棋比赛,每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜,比赛结束),比赛采用积分制.积分规则如下:每场比赛中,如果四局及四局以内结束比赛,取胜的一方积3分,负者积0分;五局结束比赛,取胜的一方积2分,负者积1分.已知甲,乙两人比赛,甲每局获胜的概率为.
（1）在一场比赛中,甲的积分为X,求X的概率分布列;
（2）已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分,求这三场比赛甲得分都不同的概率.
18．已知函数.
（1）当时,求的单调区间
（2）讨论的单调性;
（3）当时,证明.
19．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动,每位顾客只用一个会员号登陆,每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为;从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为,若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为.
（1）求的值,并探究数列的通项公式;
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大,请给出证明过程.
参考答案
1．答案：B
解析:依题意,每个盒子放入2个球,余下2个球可以放入一个盒子有种方法,放入两个盒子有种方法,
所以不同放法的种数为.
故选:B
2．答案：D
解析:由题知和为2的倍数的有,,,,,,,,,,,共12种可能,
.
故选:D.
3．答案：C
解析:根据题意,分两种情况讨论:
若用两种颜色涂色,有种涂色方法;
若用三种颜色涂色,有种涂色方法;
所以有种不同的涂色方法.
故选:C.
4．答案：B
解析:由题意可得,将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团,
每个社团至少分配1名同学,则不同的分配方案共有种,
当甲乙两名同学在同一个社团培训,则不同的分配方案有种,
综上可得,不同的分配方案共有种.
故选:B
5．答案：D
解析:设事件A表示“两道题全做对”,
若两个题目都有思路,则;
若两个题目中一个有思路一个没有思路,则;
若两个题目都没有思路,则;
故.
故选:D.
6．答案：D
解析:由题意可设甲获得冠军为事件A,比赛进行了四局为事件B,
则,
,
故,
故选:D
7．答案：A
解析:由题意可知,共有4根算筹,
当十位1根,个位3根,共有2个两位数13,17;
当十位2根,个位2根,共有4个两位数22,26,62,66;
当十位3根,个位1根,共有2个两位数31,71;
当十位4根,个位0根,共有2个两位数40,80;
其中质数有13,17,31,71,
所以取到的数字为质数的概率为,
故选:A
8．答案：A
解析:由题意可知,n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行
则“杨辉三角”第行各项之和为:
第行去掉所有为1的项的各项之和为:
从第行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为:
则:,即至第行结束,数列共有45项
第45项为第11行最后1个不为1的数,即为:
前45项的和为:
故选:A
9．答案：ACD
解析:对于A,若A,B为互斥事件,则,即可得A正确;
对于B,由可得,
又A,B为互斥事件,则,又,即B错误;
对于C,若A,B相互独立,则,
所以,即C正确;
对于D,若,所以;
可得,
所以,即D正确.
故选:ACD
10．答案：ABC
解析:A:6门中选2门共有种选法,故A正确;
B:课程“乐”“射”排在相邻的两周时,把这两个看成一个整体,有种排法,然后全排列有种排法,根据分步乘法计数原理,“乐”“射”相邻的排法共有种,故B正确;
C:课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,先排剩下的三门课程有种排法,然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法,根据分步乘法计数原理,得共有种排法,故C正确;
D:分2种情况讨论:若先把“礼”排在最后一周,再排“数”,有种排法,若先把“礼”不排在最后一周,再排“数”,有种排法,所以,共有种排法,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：ACD
解析:对于A,甲从M到N的最短路程,只能向上或者向右走,
需要走6步,2步向上,4步向右,共有种,故A正确;
对于B,第一步,甲从M到,有种走法,
第二步,从到N,有种走法,所以共有种走法,故B错误;
对于C,由B可知甲,乙经过的走法都有9种,所以在处相遇共有种走法,
而甲,乙两人的总走法有种,所以两人在处相遇的概率为,故C正确;
对于D,因为甲,乙两人以相同的速度同时出发,因而相遇时走过的路程相等,故两人只能在处相遇,由C可知D对.
故选:ACD.
12．答案：210
解析:对,有,
令,则,则有.
故答案为:210.
13．答案：
解析:设点关于直线的对称点为,
则,得,
又题意可知,,解得:.
故答案为:
14．答案：4
解析:由,可得,故,
由,可得,可得,故,
令,,由,解得,由,得解,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
由,则有,所以,
因,所以.
故答案为:4
15．答案：（1）4;
（2）;
（3）
解析:（1）
,
除以15的余数为4.
（2）由已知得,
令,得,①
令,得,②
联立①②得,.
令,得,所以.
（3）的展开式通项为,
则项的系数.
设项的系数最大,则由不等式组,
即,化简,
即,解得.
因为,所以.
因此,展开式中系数最大的项为.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析:（1）设事件“取出饺子是肉馅”,,
（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”,
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”,
（3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件,,分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”,三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”,
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析:（1）由题意得,随机变量X可能取值为0,1,2,3,
当时,则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输,
则;
当时,前四场比赛赢两场且第五场比赛输,
则;
当时,前四场比赛赢两场且第五场比赛赢,
则;
当时,前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢,
则,
所以X的概率分布列如下:
（2）设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件A,设这三场比赛甲得分都不同为事件,
则甲的三场比赛积分分别为1,1,3或者0,2,3或者1,2,2,
所以,
且,,
故甲在参加三场比赛后,积分之和为5分的概率分别为.
18．答案：（1）单调递增,在单调递减
（2）答案见解析
（3）证明见解析
解析:（1）当时,,的定义域为,
则,
故当时,;当时,.
故在单调递增,在单调递减;
（2）定义域为,.
若,则当时,,故在单调递增,
若,则当时,;当时,.
故在单调递增,在单调递减;
（3）由（1）知,当时,在取得最大值,最大值为,
所以等价于,即,
设,则,当时,,当时,
所以在单调递增,在单调递减,
故当时,取得最大值,最大值为,所以当时,,
从而当时,,即.
19．答案：（1）,
（2）第二次,证明见解析
解析:（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A,依题意,,
.
因为,,,
所以,
所以,
所以,
又因为,则,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
故.
（2）证明:当n为奇数时,,
当n为偶数时,,则随着n的增大而减小,
所以,.
综上,该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
X
0
1
2
3
P