东北三省三校2024届高三下学期第二次联合模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份东北三省三校2024届高三下学期第二次联合模拟考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知i是虚数单位,a,,,则复数的模为( )
A.5B.C.2D.4
2．在公差不为0的等差数列中,,,是公比为2的等比数列,则( )
A.11B.13C.15D.17
3．1.按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法为( )
A.B.C.D.
4．已知,为两个不重合平面,l,m为两条不同直线,则的充分条件是( )
A.,B.,
C.,D.,,
5．已知,,在上的投影向量为,则向量与夹角余弦值为( )
A.B.C.D.
6．“不以规矩,不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,是古人用来测量、画圆和方形图案的工具,今有一块圆形木板,按图中数据,以“矩”量之,若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角满足,则这块四边形木板周长的最大值为( )
A.B.
C.D.
7．若关于x的方程有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．双曲线的右焦点为F,双曲线C上有两点A,B关于直线对称,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1,下列命题正确的是( )
A.平面
B.四面体的体积是正方体的体积的三分之一
C.与正方体所有棱都相切的球的体积为
D.与平面所成的角等于
10．函数的部分图象如图所示,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.的图象的一个对称中心为
D.设函数,则在上的最小值为
11．定义在R上的偶函数满足,当时,.设函数,则下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的图象在处的切线方程为
C.
D.的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10
三、填空题
12．已知,则_______________．
13．洛卡斯是十九世纪法国数学家,他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名,洛卡斯数列为：1,3,4,7,11,18,29,47,76,…,即,,且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为,则_____________.
14．已知抛物线,经过焦点F斜率为的直线交抛物线于A,B两点,线段的垂直平分线交y轴于点C,则的值为______________.
四、解答题
15．某兴趣小组,对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查,在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩,整理数据如下表（单位：人）
（1）估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值;
（2）求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表,结果四舍五入到整数）;
（3）把成绩在称为及格,成绩在为不及格,根据所有数据完成下面列联表,试根据小概率值的独立性检验,分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？
附：
16．如图,在直角梯形ABCD中,,,,于E,沿DE将折起,使得点A到点P位置,,N是棱BC上的动点（与点B,C不重合）.
（1）判断在棱PB上是否存在一点M,使平面平面,若存在,求;若不存在,说明理由;
（2）当点F,N分别是PB,BC的中点时,求平面和平面的夹角的余弦值.
17．已知等比数列的前n项和为,且,其中.
（1）求数列的通项公式;
（2）在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,在数列中是否存在不同三项,,（其中成等差数列）成等比数列？若存在,求出这样的三项;若不存在,请说明理由.
18．已知a为常数,函数.
（1）当时,求的图象在处切线方程;
（2）讨论函数的零点个数;
（3）若函数有两个极值点,（）,求证.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为,,B为上顶点,离心率为,直线与圆相切.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过作直线l与椭圆C交于M,N两点,
（i）若,求面积的取值范围;
（ii）若l斜率存在,是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点,使四边形为菱形？若存在,求,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题设有,而a,,故,
故的模为,
故选：B.
2．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,则,
因为,,是公比为2的等比数列,
所以,由前者得到,代入后者可得,
故,
故选：B.
3．答案：C
解析：按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出个球,
其中有红球,黑球,
由于红球、黑球是完全相同的,则有1种抽取方法,
进而将4个黑球安排在10个位置中的4个,有种方法,
由分步计数原理,可得共有种不同方法,
故选：C.
4．答案：B
解析：对于A,若,,则或,故A中条件不是充分条件,故A错误;
对于B,若,,由面面平行的定义可得,
故B中条件是的充分条件,故B正确;
对于C,若,,则或,C中条件不是充分条件,故C错误;
对于D,,,,则或,D中条件不是充分条件,
故D错误;
故选：B.
5．答案：A
解析：在上的投影向量为,故,
而,故,故,
故即,
故选：A.
6．答案：A
解析：因为四边形木板的一个内角满足,如图,
设,由题设可得圆的直径为,
故,因,为三角形内角,故,
故,
故,
故,
故,当且仅当时等号成立,
同理,当且仅当等号成立,
故四边形周长的最大值为,
故选：A.
7．答案：B
解析：方程有两个不相等的实数根等价于有两个实数根,
设,,,
故,的图象与的图象有两个不同的交点,
又,,可化为,
故,的图象为如图所示的半圆,
半圆的圆心为,半径为2,故圆心到直线的距离,故,
而直线需在x轴的上方或与轴重合,故,
故,
故选：B.
8．答案：B
解析：,,设的中点为S,连接,
因为l为线段的垂直平分线,故可设,,,
由可得（*）,
故,故,
故的中点为,
因的中点在直线上,故,
故,此时,且,
故,
故选：B.
9．答案：AB
解析：对A,由正方体性质可得平面,平面,
所以,易知, ,,平面,
故平面,又平面,故,
同理可证平面,又平面,故,
又,,,平面,故平面,A正确;
对B,四面体的体积为正方体的体积减去4个三棱锥的体积,即,
故四面体的体积是正方体的体积的三分之一,故B正确;
对C, 与正方体所有棱都相切的球的直径长度为面对角线的长度,
故球的体积为,故C错误;
对D,以为原点建立如图所示的坐标系,,,,
由A可知,为平面的法向量,,
设与平面所成的角为,,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：由图象可知,,
所以,即,
又因为,所以,故A正确;
所以的解析式为,
,,
所以,解得,故B正确;
所以,故点不是的图象的一个对称中心,故C错误;
,
因为,所以,
当,即时,取的最小值为,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A,因为为偶函数,故,
故,所以,故的图象关于直线对称,
故A正确.
对于B,由A中分析可得是周期函数且周期为2,
故当时,,故,
故当时,,故,
故切线方程为：,故B错误.
对于C,由是周期函数且周期为2可得：,
故C正确.
对于D,因为,故的图象关于对称,
而,且时,此时在上为增函数,
故,图象如图所示：
由图可得的图象与的图象共有10个交点,所有交点的横坐标之和为10.
故选：ACD.
12．答案：
解析： , .
故答案为：.
13．答案：3
解析：的各项除以4的余数分别为1,3,0,3,3,2,1,3,0,,
故可得的周期为6,且前6项分别为1,3,0,3,3,2,
而,
故答案为：3.
14．答案：2
解析：抛物线的焦点F的坐标为,故.
设,,的中点为M,
则由可得,,
又,
所以,
又,所以,
故的中垂线的方程为：,
令,则,故,所以.
故答案为：2.
15．答案：（1）
（2）72
（3）答案见解析
解析：（1）由表中数据可知,男生共有,
女生共有,
由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为.
（2）A班共有：人
A班物理平均成绩的估计值为
（3）由表中数据可知,列联表如下：
零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关,
根据表格中数据计算得到
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,即认为该校考生的物理成绩与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.01．
16．答案：（1）存,
（2）
解析：（1）存在,;
理由如下：由,,,,平面,
所以平面,又平面,
故,又,平面,故平面,
又平面,故平面平面,又平面平面,
平面,作,则平面,又平面,
故平面平面,由题意,不妨设,
则中,,,,由等面积得,所以,
则,所以.
（2）以E为原点,,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
由（1）,,,,
,,
设平面的法向量为,
由,取,
易知平面PDE的法向量为,
设平面和平面的夹角为,故.
17．答案：（1）
（2）不存在,理由见解析
解析：（1）因为,故,故,
而为等比数列,故其公比为,
又,故,故,
故.
（2）由题设可得,
若数列中存在不同三项,,（其中m,k,p成等差数列）成等比数列,
则,因m,k,p为等差数列,
故即,故,
故即,这样m,k,p不同矛盾,
故数列中不存在不同三项,,（其中m,k,p成等差数列）成等比数列.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）证明见解析
解析：（1）当时,,故,
而,故,
故的图象在处切线方程为即.
（2）的定义域为,
的零点等价于的解即的解,
令,,故,
当时,,故在上为增函数,
而,,
故在上有且只有一个实数解,即有且只有一个零点,
当时,当时,;当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,
故,
若即,此时,故无零点,故无零点.
若即,此时,
故有且只有一个零点,故有且只有一个零点.
若即,此时.
而,,故在有且只有一个零点;
又,
设,,则,故在上为减函数,
故,
因为,故,而,
故在有且只有一个零点;
故此时有且只有两个不同的零点即有且只有两个不同的零点.
综上,当时,无零点;
当或时,有且只有一个零点;
当时,有且只有两个不同的零点.
（3）的定义域为,而,
由题设可得有两个变号零点,,
设,,故在上有两个变号零点,
而,
若,则在上为增函数,在上至多一个零点,舍;
若,
当时,;当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,
故,
所以即,而,且,故.
又,而,
故,
因为,故,故,
要证：,即证,
即证：在上恒成立.
设,,则,
故在上为减函数,故即成立.
综上,.
19．答案：（1）
（2）（i）;（ii）不存在,理由见解析
解析：（1）由已知,
而直线即,
该直线与圆与相切,则,解得,,
故椭圆C的标准方程为.
（2）（i）由已知,直线的斜率存在且不为0,
设l方程为：,
由得,,
设,,则,.
故,
而到直线距离,
所以.
由,知,所以,
所以,所以,
因为在上为增函数,故,
所以,故,
设,则,故,
因为在上为增函数,,故.
（ii）由题设可设l方程为,,
由,
因为在椭圆内部,故恒成立,
设,,的中点为S,则为的垂直平分线,
而,,
故,故,
故的直线方程为：,
令,则,故,,
而Q在椭圆上,故,
整理得,该方程无解,所以不存在满足条件的点.
A班男生
2
8
15
8
B班男生
3
10
20
4
A班女生
3
4
2
1
B班女生
10
6
4
0
性别
成绩
合计
及格
不及格
男生
女生
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
性别
成绩
合计
及格
不及格
男生
65
5
70
女生
17
13
30
合计
82
18
100