2024年福建省三明市大田县部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列算式计算结果不是1的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂，算术平方根，有理数的加法，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、（，故符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转度数至少是（ ）
A. 10°B. 20°C. 50°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数.
【详解】解：∵要使木条a与b平行，
∴∠1=∠2，
∴当∠1需变为50 º，
∴木条a至少旋转：70º-50º=20º.
故选B.
【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
3. 据研究表明，感冒病毒的平均直径约为到之间，已知，将用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据，将表示为用作单位的量，再将用科学记数法表示即可．
【详解】解：，
．
故选：．
4. 若某公司名员工年薪的情况如下表，则该公司全体员工年薪的众数是（ ）
A. 30万元B. 6万元C. 4万元D. 3.5万元
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可找出答案．
【详解】解：在这一组数据中万元是出现次数最多的，众数是万元；
故选：D．
【点睛】本题考查了众数意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，掌握判断众数的方法是解题关键.
5. 如图在数轴上对应的点可能是（ ）

A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】A
【解析】
【分析】估算出的取值范围即可判断在数轴上对应的点．
【详解】解：∵，
∴，
∴在数轴上对应的点可能是点A．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确估算出的取值范围是解答本题的关键．
6. 若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正、反比例函数的对称性结合一个交点的坐标找出另一交点的坐标是解题的关键．由正比例和反比例函数的对称性结合一个交点的坐标即可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为
∴另一个交点坐标为．
故选：A．
7. 如图，点在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆的性质，连接，根据等边对等角得出，，由此即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
同理：，
∴．
故选：B．
8. 如图，要将一个底面半径为的圆柱体改成一个四棱柱，先把圆柱体展开，做成四棱柱的底，把展开的侧面围成四棱柱的四个面，则围成侧面时多出的长度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，展开图折叠成几何体，掌握圆柱体、四棱柱的形体特征是正确解答的关键．求出圆柱体侧面展开图的长，再求出四棱柱的底面周长即可．
【详解】解：由于圆柱底面半径为，
则圆柱侧面展开图的长为，
∵正方形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
把圆柱体的侧面围成四棱柱的四个侧面，则围成侧面时多出的长度约为，
故选：D．
9. 《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案：
①设井深为x尺，列方程为；
②设绳长为y尺；
③设绳长、井深分别为a尺，b尺，
其中正确的是（ ）
A ①B. ①②C. ②③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．用代数式表示绳长或井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：①设井深尺，两次测量绳长不变，可列方程．
②设绳长为尺，两次测量井深不变，可列方程；
③设绳长、井深分别为尺，尺，列方程组为，
其中正确的是②③，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案．
【详解】解：∵A在直线上，
∴设，
∵轴，
∴，
解得：，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
故选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 分解因式=____________．
【答案】．
【解析】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
12. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得.已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，那么他本学期数学学期综合成绩是_________分.
【答案】82
【解析】
【分析】直接利用平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算，进而利用平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，代入求出答案．
【详解】解：∵学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得，某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，
∴他本学期数学学期综合成绩是：
（分）．
故答案为：82．
【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解权的意义是解题关键．
13. 若a是方程的根，则代数式的值是 _________．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到是解题的关键；根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵a是方程的根，
，
当时，不成立，
，
，即，
∴，
故答案为：2023．
14. 如图，以正六边形的为边，在内部作正五边形，则的度数为 ________．
【答案】84°
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，等腰三角形的性质，熟知正多边形的各角相等，各边相等是解题的关键．根据正六边形的每个内角为，正五边形的每个内角为，求出的度数，再根据即可求出的度数．
【详解】解：正六边形的每个内角为，正五边形的每个内角为，
，，
，
由题意知，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、求角的正弦值，由勾股定理以及勾股定理逆定理得出，证明，得出，从而求出的长，再根据正弦的定义计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，取格点，
，
由勾股定理得出：，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 已知抛物线过点，，，，，若，则的取值范围为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，两点坐标可得出抛物线的对称轴，再根据，结合抛物线的对称性即可解决问题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：，两点坐标为和，
抛物线的对称轴为直线．
又，，且，，
抛物线对称轴右侧的部分，随的增大而减小，
抛物线的开口向下．
又，且，
点在抛物线上的和之间，
．
故答案为：．
三、解答题（共86分）
17. 解不等式组：．
【答案】＜＜
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式解集的公共部分即可得到答案．
详解】解：
由①得：＜
＞
由②得：＞
＞
＜
所以不等式组的解集为：＜＜
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18. 如图，在菱形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质，由菱形的性质得出，利用证明即可得证．
【详解】证明：∵为菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 小明想把学校新发的本课本用封皮包好，通过测量发现课本的长为，宽为，而厚度都不一样，且都不超过，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本，要将封皮纸在封面和封底处各折进去．
（1）如图，若一本课本的厚度为，计算包这本书所用封皮纸的面积是多少？（用含，的代数式表示）
（2）商店里有规格为和的两种长方形封皮纸，从节约材料的角度，请直接写出该选用哪一种规格的封皮纸．
【答案】（1）这本书所用封皮纸的面积是．
（2）选用规格为
【解析】
【分析】本题考查的是列代数式，熟练掌握图形中长度的数量关系是解题的关键．
（1）用含有、表示出封皮纸的长和宽，再用长方表面积公式即可解答；
（2）取的最大值，再计算出规格的封皮纸是否合适，即可从节约材料的角度求出答案．
【小问1详解】
解：由题意可知：
封皮纸的长：；
封皮纸的宽：．
封皮纸的面积：．
答：这本书所用封皮纸的面积是．
【小问2详解】
10本课本，厚度都不超过，即，
为适用于所有课本，则考虑取最大，
即．
长，宽，
则当时，，
此时，
选用规格为即可．
20. 某公司为解决24位中午没有回家员工的午餐，要求快餐公司每天送餐到公司，为了了解员工的用餐情况（其中当天有外出跑业务的员工没有在公司用餐）
（1）若在这60天中随机抽查一天在公司员工的用餐情况，则这天用餐人数超过20人的概率是多少？
（2）公司准备开办食堂让没有回家的员工一起用午餐，经过测算，如果只准备20人用餐，每天需要费用500元，当天用餐人数超出20人，公司需另给超出员工每人每次配送30元的快餐，每天需要540元，请以每天用餐的平均费用为依据，判断公式准备20人用餐，还是准备24人用餐比较省钱？
【答案】（1）
（2）公司准备20人用餐比较省钱
【解析】
【分析】本题考查了公式法求概率，加权平均数，解题的关键是掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比；
（1）根据用餐人数超过20人的天数占总天数的比即可求出概率；
（2）先求出公司准备20人用餐的平均费用，再与公司准备24人用餐平均费用作比较即可得出结论；
【小问1详解】
这次乘车人数超过20人的概率；
【小问2详解】
当公司准备20人用餐时，共需要 元，
每天用餐的平均费用为元，
当公司准备24人用餐时，每天用餐的平均费用为540元，
，
∴公司准备20人用餐比较省钱；
21. 如图，是的中位线．
（1）作出点A关于直线的对称点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：B，P，C三点在同一条直线上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，掌握垂线的基本作法和三角形中位线性质是解决问题的关键．
（1）过A点作BC的垂线，垂足为P点，P为所求；
（2）根据是的中位线，点A与点P关于 对称，可证是的中位线，是的中位线，进而可证，，即可得证；
【小问1详解】
如图，点P为所作；
【小问2详解】
设交于点D点，如图，
∵点A与点P关于对称，
∴，
∵是的中位线．
，
是的中位线，是的中位线，
，，
共线，
B，P，C三点在同一条直线上．
22. 如图，是直径，点C在上，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论；
（2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键．
23. 为加强2024年体育中考篮球运球绕杆往返训练，学校计划购买一批，两种品牌的篮球．已知，两种品牌篮球单价比为，且同样用600元购买这2种品牌的篮球，会相差一个球．
（1）A，B两种品牌篮球的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买A，B这两种品牌的篮球共30个，其中购买B品牌篮球的数量不超过A品牌篮球数量的一半，学校购买这些篮球最多需要多少元？
【答案】（1）A品牌篮球的单价是100元，B品牌篮球的单价是120元；
（2）学校购买这些篮球最多需要3200元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设品牌篮球的单价是元，则品牌篮球的单价是元，利用数量总价单价，结合“同样用600元购买这2种品牌的篮球，会相差一个球”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出品牌篮球的单价，再将其代入中，即可求出品牌篮球的单价；
（2）设购买个品牌篮球，则购买个品牌篮球，根据购买品牌篮球的数量不超过品牌篮球数量的一半，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些篮球需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设品牌篮球的单价是元，则品牌篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：品牌篮球的单价是100元，品牌篮球的单价是120元；
【小问2详解】
设购买个品牌篮球，则购买个品牌篮球，
根据题意得：，
解得：．
设学校购买这些篮球需要元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为（元．
答：学校购买这些篮球最多需要3200元．
24. 如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，以点为顶点作，角两边分别与抛物线交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若，求的长；
（3）判断直线是否经过定点，并说明理由．
【答案】（1）
（2）4 （3）经过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设直线交于，由题意得、关于直线对称，，设，则，建立方程求解即可得出答案；
（3）设直线的解析式为，，，，，可得，利用根与系数关系可得，，作轴于点，轴于点，根据，可得，即，再由，，推出，进而得出，即可求得定点坐标．
【小问1详解】
解： 抛物线的顶点为，
设，把代入得：，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点，
如图1，设直线交于，
，，
、关于直线对称，，
设，则，
，，
，
解得：或（舍去），
；
【小问3详解】
解：经过定点，理由如下：
设直线的解析式为，，，，，
由，整理得，
，，
作轴于点，轴于点，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
整理，得，
，
，
直线的解析式可表示为，
即，
当时，，
直线必经过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、根与系数关系、用轨迹相交法求点的坐标等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解题过程较为烦琐，涉及的知识与方法较多，难度较大，属于考试压轴题．年薪/万元
员工数/人
用餐人数
18
19
20
21
22
23
24
天数
4
10
11
10
12
8
5