2024年安徽省马鞍山七中教育集团中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年安徽省马鞍山七中教育集团中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）以下比﹣2小的数是（ ）
A．B．﹣1C．0D．2
2．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a6+a2＝a3B．a3﹣a2＝aC．（3a）2＝6a2D．a2•a4＝a6
3．（4分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）2023年安徽全省生产总值约47050亿元，47050亿用科学记数法表示为（ ）
A．470.5×1010B．47.05×1011
C．4.705×1012D．4.705×1011
5．（4分）关于函数y＝﹣2x+1说法正确的是（ ）
A．图象必过点
B．图象与直线y＝2x+1平行
C．图象不经过第四象限
D．y随x的增大而增大
6．（4分）如图，在⊙O中，点C为弦AB的中点，连接OC、OB，点D是上任意一点，若∠ADB＝126°，则∠COB的大小为是（ ）
A．64°B．54°C．36°D．27°
7．（4分）现有前后两排座位，每排三个位置，前排让901、902、903班的三位老师就坐，后排让这三个班级的三位学生代表就坐，则901班的老师正好坐在本班学生正前方的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若BD＝CD＝5，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．6
9．（4分）设y＝ax2+bx+c（a≠0），若对于任意实数x，都满足x2+3x﹣5≤y≤3x2+7x﹣3，则a﹣b+c的值是（ ）
A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣7
10．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D是斜边AB上的动点，将△ACD沿直线CD翻折得到△ECD，连接BE，则△BDE周长的最小值为（ ）
A．B．C．9D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算＝ ．
12．（5分）因式分解：m2n﹣6mn+9n＝ ．
13．（5分）如图，点A、B分别在反比例函数和的图象上，且满足OA⊥OB，∠ABO＝30°，则k＝ ．
14．（5分）已知△ABC为等边三角形且AB＝2，点D是边BC上一点，E为AD的中点，连接BE，过E点作EF⊥BE交BC于F．
（1）当D为BC中点时，△BEF的面积为 ；
（2）若△BEF为等腰直角三角形，则BD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
16．（8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）请仅用无刻度的直尺作出∠ABC的平分线BD．（保留作图痕迹）
四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．（8分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，李华站在与通讯楼BC距离90米的A处操控无人机，已知通讯楼BC的高度为40米，在D处的无人机测得点A和通讯楼顶C的俯角分别为37°和30°，求此时无人机的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上，无人机大小忽略不计．计算结果保留整数）参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，．
20．（10分）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若，OG＝2，求⊙O的半径．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）为了进行多元化的评价，某学校决定对学生音乐成绩进行等级评价．设该校学生音乐成绩为x分，满分为100分，评价等级与音乐成绩x分之间的关系如表：
现随机抽取该校部分学生的音乐成绩，整理绘制成图（1）、图（2）两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，图（1）中等级为D级的扇形的圆心角α等于 °；
（2）补全图（2）中的条形统计图；
（3）若参与调查的学生中，评价等级为A级、B级、C级、D级的学生平均成绩分别为86分、72分、64分、44分，其中评价为C级的小明认为自己的音乐成绩超过了参与调查的学生全部成绩的平均数，你同意他的说法么？请简述你的理由．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BA延长线上一点，E为线段BC上一点，作EF⊥DE交AC的延长线于点F．
（1）如图1，当点E为BC中点时，
①证明：AD＝CF；
②设AC与DE交于点O，当OC＝2OA时，求tan∠D的值；
（2）如图2，证明：DE•CE＝BE•EF．
八、（本大题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B两点，直线x＝3是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC、CD，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；
（3）如图2，设直线AD交抛物线对称轴于点E，连接BE、BD，求△BED面积的最大值．
2024年安徽省马鞍山七中教育集团中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）以下比﹣2小的数是（ ）
A．B．﹣1C．0D．2
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，据此即可作答．
【解答】解：A、且，则比﹣2小，故该选项是正确的；
B、|﹣1|＝1，|﹣2|＝2且1＜2，则﹣1比﹣2大，故该选项是错误的；
C、0大于负数，故该选项是错误的；
D、2是正数，大于负数，故该选项是错误的；
故选：A．
2．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a6+a2＝a3B．a3﹣a2＝aC．（3a）2＝6a2D．a2•a4＝a6
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，积的乘方法则逐项计算即可．
【解答】解：A．a6和a2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B．a3和a2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C．（3a）2＝9a2，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．a2⋅a4＝a6，原计算正确，故该选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间靠下有一条横向的虚线．
故选：C．
4．（4分）2023年安徽全省生产总值约47050亿元，47050亿用科学记数法表示为（ ）
A．470.5×1010B．47.05×1011
C．4.705×1012D．4.705×1011
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数即可求解，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】解：47050亿＝4705000000000＝4.705×1012．
故选：C．
5．（4分）关于函数y＝﹣2x+1说法正确的是（ ）
A．图象必过点
B．图象与直线y＝2x+1平行
C．图象不经过第四象限
D．y随x的增大而增大
【分析】凡是函数图象经过的点必能满足解析式，进而得到A的正误，根据一次函数性质可判定C、D的正误；根据两函数图象平行则k值相等可判断出B的正误，进而可得答案．
【解答】解：A、当y＝0时，即﹣2x+1＝0，解得：，故该选项正确；
B、∵两函数k值不相等，∴两条直线不平行，故该选项不正确；
C、y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数图象过一二四象限，故该选项不正确；
D、y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，故该选项不正确；
故选：A．
6．（4分）如图，在⊙O中，点C为弦AB的中点，连接OC、OB，点D是上任意一点，若∠ADB＝126°，则∠COB的大小为是（ ）
A．64°B．54°C．36°D．27°
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝∠APB，再根据圆内接四边形性质得到∠APB＝54°即可．
【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴，
∵四边形ADBP是圆内接四边形，
∴∠APB+∠ADB＝180°，
∵∠ADB＝126°，
∴∠APB＝54°，
∴∠COB＝∠APB＝54°，
故选：B．
7．（4分）现有前后两排座位，每排三个位置，前排让901、902、903班的三位老师就坐，后排让这三个班级的三位学生代表就坐，则901班的老师正好坐在本班学生正前方的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到901班的老师正好坐在本班学生正前方的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：设用a、b、c表示前排的三个座位（前后两排正对的座位字母相同），画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中901班的老师正好坐在本班学生正前方的结果数有3种，
∴901班的老师正好坐在本班学生正前方的概率为，
故选：B．
8．（4分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若BD＝CD＝5，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．6
【分析】根据题意，则∠ABD＝∠CBD，根据BD＝CD＝5，则∠C＝∠CBD，根据等量代换，∠ABD＝∠CBD＝∠C，根据三角形的外角，则∠ABC＝2∠CBD＝∠ADB，根据相似三角形的判定和性质，△ADB∽△ABC，推出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝CD＝5，
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，
∵∠C+∠CBD＝2∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABC＝2∠CBD＝∠ADB，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∵AD＝4，
∴AC＝AD+DC＝9，
∴，
解得：AB＝6，
∴，
∴，
故选：A．
9．（4分）设y＝ax2+bx+c（a≠0），若对于任意实数x，都满足x2+3x﹣5≤y≤3x2+7x﹣3，则a﹣b+c的值是（ ）
A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣7
【分析】观察题目可知，当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，再将x＝﹣1代入已知不等式组，求出y的值即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，
将x＝﹣1代入x2+3x﹣5≤y≤3x2+7x﹣3，
得：（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5≤y≤3×（﹣1）2+7×（﹣1）﹣3，
化简得：﹣7≤y≤﹣7，即y＝﹣7
∴a﹣b+c＝﹣7，
故选：D．
10．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D是斜边AB上的动点，将△ACD沿直线CD翻折得到△ECD，连接BE，则△BDE周长的最小值为（ ）
A．B．C．9D．
【分析】利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出AB，BC，根据折叠的性质得到DE＝AD，推出△BDE的周长＝AB+BE，当BE最短时，△BDE的周长最小，以点C为圆心，AC长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，BE最短，由此得到答案．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，，
由翻折得：DE＝AD，
△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE，
则当BE最短时，△BDE的周长最小，
以点C为圆心，AC长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，BE最短，
∴，
∴△BDE的周长＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算＝ ．
【分析】利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值进行运算即可求解，
【解答】解：，
故答案为：．
12．（5分）因式分解：m2n﹣6mn+9n＝ n（m﹣3）2 ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m2n﹣6mn+9n
＝n（m2﹣6m+9）
＝n（m﹣3）2．
故答案为：n（m﹣3）2．
13．（5分）如图，点A、B分别在反比例函数和的图象上，且满足OA⊥OB，∠ABO＝30°，则k＝ ﹣3 ．
【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，证明△AOC∽△OBD得，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积比，在Rt△AOB中，利用锐角三角函数定义求出，即可求出k值．
【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴．
∵点A、B分别在反比例函数和的图象上，
∴，
∴S△AOC：S△OBD＝1：|k|，
∴，
则在Rt△AOB中，，
∴1：|k|＝1：3，
∴|k|＝3．
∵的图象在第四象限，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（5分）已知△ABC为等边三角形且AB＝2，点D是边BC上一点，E为AD的中点，连接BE，过E点作EF⊥BE交BC于F．
（1）当D为BC中点时，△BEF的面积为 ；
（2）若△BEF为等腰直角三角形，则BD＝ ．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质以及勾股定理，得，结合三角函数的定义列式，代入数值进行计算，即可作答．
（2）与（1）过程同理，得，根据平行线分线段成比例，得，注意“△BEF为等腰直角三角形”，得出BE＝EF，∠2＝∠3＝45°，∠1＝∠2，代入数值进行计算，即可作答．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵E为AD的中点，
∴，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BED+∠FED＝90°，
∴∠EBD＝∠FED，
则，
即 ，
∴△BEF的面积为＝．
故答案为：；
（2）如图：过点E，A分别作EM⊥CB，AN⊥CB，
∵△ABC为等边三角形且AB＝2，
∴，
∵E为AD的中点，
∴，
∴，
∵∠ADN＝∠ADN，
∴△DEM∽△DAN，
∴，
∴，
∵△BEF为等腰直角三角形时，EF⊥BE，
∴BE＝EF，∠2＝∠3
＝45°，∠1＝90°﹣45°＝45°＝∠2，
则，
∵，设BD＝x，
∴，
解得．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程分解因式得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
可得2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
16．（8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）请仅用无刻度的直尺作出∠ABC的平分线BD．（保留作图痕迹）
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）取格点D、E，连接BD、ED，由网格和勾股定理可得AB＝BE＝ED＝DA＝5，可知四边形ABED为菱形，故BD平分∠ABC．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，BD即为所求．
四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ×﹣＝1 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ×﹣＝1 （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据前4个等式的规律求解此题；
（2）根据前5个等式归纳出此题规律进行求解．
【解答】解：（1）∵第1个等式：1×﹣＝1×＝1，
第2个等式：＝1，
第3个等式：＝1，
第4个等式：＝＝1，
∴第5个等式：＝＝1，
故答案为：＝1；
（2）由题意得，
第1个等式：1×﹣＝1×＝1，
第2个等式：＝1，
第3个等式：＝1，
第4个等式：＝＝1，
……，
∴第n个等式：×﹣＝1．
故答案为：×﹣＝1．
18．（8分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：＝．
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每人每周投递快件200件．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，李华站在与通讯楼BC距离90米的A处操控无人机，已知通讯楼BC的高度为40米，在D处的无人机测得点A和通讯楼顶C的俯角分别为37°和30°，求此时无人机的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上，无人机大小忽略不计．计算结果保留整数）参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，．
【分析】设过点D的水平线为l，过点A、C分别作AE⊥l，CF⊥l，垂足为E、F，可得四边形ABFE为矩形，进而得到EF＝AB＝90米，BF＝AE，设CF＝x米，则BF＝AE＝（x+40）米，解Rt△CFD可得米，即可得到米，进而解Rt△AED可得，即可求出BF，即此时无人机的高度．
【解答】解：设过点D的水平线为l，过点A、C分别作AE⊥l，CF⊥l，垂足为E、F，
则∠E＝∠F＝∠B＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝90米，BF＝AE，
设CF＝x米，则BF＝AE＝（x+40）米，
在Rt△CFD中，，
即，
∴米，
∴米，
在Rt△AED中，，
即，
∴，
∴，
∴米，
答：此时无人机的高度为52米．
20．（10分）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若，OG＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）先证明∠C＝∠GBE，根据，得出∠C＝∠DBE，证明∠GBE＝∠DBE，根据∠GEB＝∠DEB＝90°，得出∠BGE＝∠BDE，得出BD＝BG，根据等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）连接OA，设OA＝r，得出DG＝r+2，求出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出OE2+AE2＝OA2，即，求出r的值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB＝90°
又∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵，
∴∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD，
∴∠GEB＝∠DEB＝90°，
∴∠BGE＝∠BDE，
∴BD＝BG，
又∵BE⊥DG，
∴ED＝EG；
（2）解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r+2，
∴，
∴，
∵AB⊥CD于E，，
∴，
在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2，
即，
解得或r＝﹣6（舍）．
即⊙O的半径为．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）为了进行多元化的评价，某学校决定对学生音乐成绩进行等级评价．设该校学生音乐成绩为x分，满分为100分，评价等级与音乐成绩x分之间的关系如表：
现随机抽取该校部分学生的音乐成绩，整理绘制成图（1）、图（2）两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 100 名学生，图（1）中等级为D级的扇形的圆心角α等于 28.8 °；
（2）补全图（2）中的条形统计图；
（3）若参与调查的学生中，评价等级为A级、B级、C级、D级的学生平均成绩分别为86分、72分、64分、44分，其中评价为C级的小明认为自己的音乐成绩超过了参与调查的学生全部成绩的平均数，你同意他的说法么？请简述你的理由．
【分析】（1）根据B级人数为46人，占比为46%，即可求出一共抽取学生数量，图①中等级为D级的扇形的圆心角α等于360°乘以D级占比；
（2）根据一共抽取学生数量减去其他级人数总求出C等级人数，再画图；
（3）由每个级别的平均成绩计算加权平均数，即可得出结论．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取学生46÷46%＝100名，
图①中等级为D级的扇形的圆心角α＝，
故答案为100、28.8；
（2）C等级人数为100﹣（26+46+8）＝20名，
补全图形如下：
（3）不同意，理由如下：
参与调查的学生全部成绩的平均数为：
26%×86+46%×72+20%×64+8%×44＝71.8＞70，
由于C等级的分数都小于70分，所以小明的说法不正确．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BA延长线上一点，E为线段BC上一点，作EF⊥DE交AC的延长线于点F．
（1）如图1，当点E为BC中点时，
①证明：AD＝CF；
②设AC与DE交于点O，当OC＝2OA时，求tan∠D的值；
（2）如图2，证明：DE•CE＝BE•EF．
【分析】（1）①连接AE，根据等腰直角三角形的性质以及邻补角可得∠DAE＝∠ECF＝135°，再利用ASA证明△DAE≌△FCE，进而可求解；
②点E分别作EM⊥AB，垂直为M，显然ME∥AC，设AO＝2t，则OC＝4t，根据等腰直角三角形的性质可得ME＝3t，再证明△DAO∽△DME，可推出DM＝9t，再根据正切函数的定义求解即可；
（2）过点E分别作EM⊥AB，EN⊥AC，根据直角三角形的性质可得∠D＝∠F，进而证明△DME∽△FNE，再根据相似三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：①如图1，连接AE，
在Rt△ABC，AB＝AC，BE＝EC，
∴AE＝EC，∠BAE＝∠ACB＝45°，AE⊥BC，
∴∠DAE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥BC，DE⊥EF，
∴∠AED＝∠CEF，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF；
②解：如图2，点E分别作EM⊥AB，垂直为M，则ME∥AC，设AO＝2t，则OC＝4t，
由①可知△AEB为等腰直角三角形，
又∵EM⊥AB，
∴ME＝AM＝AB＝AC＝3t，
∴AM＝BM，AC＝2ME，
∵ME∥AO，
∴△DAO∽△DME，
∴＝即＝，
∴DM＝9t，
∴tan∠D＝＝＝；
（2）证明：如图3，过点E分别作EM⊥AB，EN⊥AC，则△BME，△ENC都为等腰直角三角形，
∴BE＝ME，EC＝EN，
∵∠DAO＝90°＝∠FEO，∠AOD＝∠EOF，
∴∠D＝∠F，
又∵∠DME＝90°＝∠FNE，
∴△DME∽△FNE，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝，
即DE•CE＝BE•EF．
八、（本大题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B两点，直线x＝3是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC、CD，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；
（3）如图2，设直线AD交抛物线对称轴于点E，连接BE、BD，求△BED面积的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法，将点A和对称轴代入即可求得抛物线的解析式；
（2）过点D作DH⊥PC，垂足为H，由（1）可得抛物线顶点C的坐标，得AP，CP的长，设点D的横坐标为t，则DH＝t﹣3，易证△APC∽△CHD，可得，进而得到，，故点D的纵坐标为，利用，解得t，即可得点D坐标；
（3）过点D作DQ⊥AB，垂足为Q，设D（m，n），则得到DQ，AQ的长，由于EP∥DQ，可得△APE∽△AQD，故，可得，则，故当m＝4时，S△BED最大．
【解答】解：（1）点A（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+5上，直线x＝3是抛物线的对称轴，
∴，
解得a＝1，b＝﹣6，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）过点D作DH⊥PC，垂足为H，如图1，
由抛物线y＝x2﹣6x+5可知顶点C（3，﹣4），
∴AP＝3﹣1＝2，CP＝4，
设点D的横坐标为t，则DH＝t﹣3，
∵∠APC＝90°＝∠DHC，
∴当∠ACD＝90°时，∠PCA＝∠HDC，
∴△APC∽△CHD，
∴，即，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
解得或t＝3（舍），
即点D的坐标为，
（3）过点D作DQ⊥AB，垂足为Q，如图2，设D（m，n），
则DQ＝﹣n＝﹣m2+6m﹣5＝﹣（m﹣1）（m﹣5），AQ＝m﹣1，
∵EP∥DQ，
∴△APE∽△AQD，
∴，
∴，
∴，
，
＝﹣2（m﹣5）（m﹣3），
＝﹣2（m﹣4）2+2，
∴当m＝4时，S△BED最大为2．
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