2024年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷（含解析），共30页。

A．±3B．3C．±9D．9
2．（3分）如图所示是我们生活中常见的一种漏斗的示意图，从正面观察这个图形，看到的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）计算（﹣a2）3÷a4结果是（ ）
A．﹣a2B．a2C．﹣a3D．a3
4．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）在▱ABCD中，AC＝4，BD＝4，若E、F、G、H分别为▱ABCD各边中点，则四边形EFGH的形状为（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
7．（3分）如图，点C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，若CA＝CD，且∠CAB＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．23°B．30°C．40°D．50°
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在直线y＝kx+c上，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a＝﹣k；④若方程|ax2+bx+c|＝m（m≥0，m为常数）有四个根，分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题，共计15分）
9．（3分）把多项式4ax2﹣4ay2分解因式的结果是 ．
10．（3分）如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
11．（3分）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．
请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的项：（a+b）4＝a4+4a3b+ +b4．
12．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则k的值为 ．
13．（3分）如图，线段AB＝10，以AB为斜边构造等腰直角△ABC和直角△ABD，C、D在AB两侧，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值为 ．
三、解答题（共13题，共计81分）
14．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
15．（5分）解方程组：．
16．（5分）解分式方程：．
17．（5分）如图，请用尺规在线段AB下方作一点P，使得AB平分角∠CAP，且AC＝AP．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，点A，C，F，B在同一条直线上，AD∥CE，AD＝CE，∠D＝∠E．求证：AC＝BF．
19．（5分）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）
20．（5分）某校九（1）班的学生在两位老师的组织下到历史博物馆珍宝馆进行研学，珍宝馆门票每张30元，现有两种团体优惠方案可供选择，方案一：全部人员打八折．方案二：5人免票，其余人员打九折．班长思考了一会说：“算上两位老师的话，两种方案要付的钱是一样的．”求九（1）班的学生人数．
21．（6分）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
22．（7分）在弹性限度内，弹簧长度y（cm）是所挂物体质量x（g）的一次函数．已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂物体30g时的长度为15cm．
（1）试求y与x的函数表达式；
（2）已知弹簧在挂上物体后达到的最大长度是25cm，试求出（1）中函数自变量的取值范围．
23．（7分）为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校1600名学生参加的“汉字书写”比赛，为了解本次比赛的成绩，校团委随机抽取了共中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；并补全频数分布直方图．
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 分数段．
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为“良”等，请你估计该校参加本次比赛的1600名学生中成绩是“良”等的约有多少人？
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝ ；当BC＝2时，α＝ °；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
2024年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，共计24分）
1．（3分）81的算术平方根为（ ）
A．±3B．3C．±9D．9
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵92＝81，
∴81的算术平方根为＝9．
故选：D．
2．（3分）如图所示是我们生活中常见的一种漏斗的示意图，从正面观察这个图形，看到的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】观察图形，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，可得选项A的图形：
故选：A．
3．（3分）计算（﹣a2）3÷a4结果是（ ）
A．﹣a2B．a2C．﹣a3D．a3
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣a2）3÷a4
＝﹣a6÷a4
＝﹣a2．
故选：A．
4．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠1+∠2+∠3＝180°，据此可得出∠3的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝95°．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据题意可得a＜0，b＞0，从而可得ab＜0，﹣b＜0，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，﹣b＜0，
∴点B（ab，﹣b）所在的象限是第三象限，
故选：C．
6．（3分）在▱ABCD中，AC＝4，BD＝4，若E、F、G、H分别为▱ABCD各边中点，则四边形EFGH的形状为（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】根据已知判断出EF和HG分别是△ABC和△ADC的中位线，得到，，推出EF＝HG，同理得到，证明四边形EFGH是平行四边形，再根据AC＝BD得到EF＝EH，从而证明菱形．
【解答】解：∵E、F、G、H分别为▱ABCD各边中点，
∴EF和HG分别是△ABC和△ADC的中位线，
∴，，
∴EF＝HG，
同理：，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD＝4，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故选：C．
7．（3分）如图，点C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，若CA＝CD，且∠CAB＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．23°B．30°C．40°D．50°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠ABC＝65°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝65°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝65°，
∴∠ACD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：D．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在直线y＝kx+c上，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a＝﹣k；④若方程|ax2+bx+c|＝m（m≥0，m为常数）有四个根，分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可得b与a的关系并判断①，由x＝﹣1时二次函数y＞0可判断②，由抛物线顶点在直线上可判断③，由抛物线的对称性可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①正确．
由图象可得x＝﹣1时，二次函数y＞0，
∴a﹣b+c＝3a+c＞0，②错误．
将x＝1代入y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c，
将x＝1代入y＝kx+c得y＝k+c，
∵抛物线顶点在直线上，
∴a+b+c＝﹣a+c＝k+c，
∴a＝﹣k，③正确．
由抛物线对称轴为直线x＝1可得函数y＝|ax2+bx+c|的对称轴为直线x＝1，
∴直线y＝m与函数y＝|ax2+bx+c|图象交点关于直线x＝1对称，
∴x1+x2+x3+x4＝2+3＝4，④正确．
故选：C．
二.填空题（共5小题，共计15分）
9．（3分）把多项式4ax2﹣4ay2分解因式的结果是 4a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4a（x2﹣y2）
＝4a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：4a（x+y）（x﹣y）．
10．（3分）如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠BOC＝ 110° ．
【分析】根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
11．（3分）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．
请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的项：（a+b）4＝a4+4a3b+ 6a2b2+4ab2 +b4．
【分析】观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，按照此规律进行解答即可．
【解答】解：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4，
故答案为：6a2b2+4ab2．
12．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则k的值为 24 ．
【分析】解方程求得B（8，0），G（0，﹣4），得到OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，BE＝CF，根据相似三角形的性质得，设CF＝a，BF＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【解答】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
解得a＝2或a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝6×4＝24，
故答案为：24．
13．（3分）如图，线段AB＝10，以AB为斜边构造等腰直角△ABC和直角△ABD，C、D在AB两侧，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值为 ．
【分析】证出A，C，B，D共圆，E为△ABD的内心，则CB＝CE＝CA＝AB＝5，故当CD为该圆直径时，CD最大＝AB＝10，即可得出答案．
【解答】解：∵以AB为斜边构造等腰直角△ABC和直角△ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∴A，C，B，D共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∠BDC＝∠BAC＝45°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴CD平分∠ADB，
∵BE平分∠ABD，
∴E为△ABD的内心，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝45°+∠ABE，∠CEB＝∠BDC+∠DBE＝45°+∠DBE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CB＝CE＝CA＝AB＝5，
∴当CD为该圆直径时，CD最大＝AB＝10，
∴的最小值为＝，
故答案为：．
三、解答题（共13题，共计81分）
14．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）+2×1﹣1
＝4﹣3++2﹣1
＝2+．
15．（5分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
②﹣①得：3y＝3，即y＝1，
将y＝1代入①得：x＝，
则方程组的解为．
16．（5分）解分式方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x2﹣4），得
2+x（x+2）＝x2﹣4，
整理得 2+x2+2x＝x2﹣4，
2x＝﹣6，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x2﹣4＝5≠0，
∴原方程的解为x＝﹣3．
17．（5分）如图，请用尺规在线段AB下方作一点P，使得AB平分角∠CAP，且AC＝AP．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据作一个角等于已知角的方法作∠BAQ＝∠BAC，再以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AQ于点P，则点P即为所求．
【解答】解：如图，作∠BAQ＝∠BAC，再以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AQ于点P，
则点P即为所求．
18．（5分）如图，点A，C，F，B在同一条直线上，AD∥CE，AD＝CE，∠D＝∠E．求证：AC＝BF．
【分析】由AD∥CE，得∠A＝∠BCE，而AD＝CE，∠D＝∠E，即可根据“ASA”证明△AFD≌△CBE，得AF＝CB，所以AF﹣CF＝CB﹣CF，则AC＝BF．
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠BCE，
在△AFD和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CBE（ASA），
∴AF＝CB，
∴AF﹣CF＝CB﹣CF，
∴AC＝BF．
19．（5分）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）
【分析】（1）首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可．
（2）首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可．
【解答】解：（1）∵向上一面的点数为奇数有3种情况，
∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是：．
（2）填表如下：
由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果．
∴P（小亮胜）＝，P（小丽胜）＝＝，
∴游戏是公平的．
20．（5分）某校九（1）班的学生在两位老师的组织下到历史博物馆珍宝馆进行研学，珍宝馆门票每张30元，现有两种团体优惠方案可供选择，方案一：全部人员打八折．方案二：5人免票，其余人员打九折．班长思考了一会说：“算上两位老师的话，两种方案要付的钱是一样的．”求九（1）班的学生人数．
【分析】设共有x名师生参观珍宝馆，根据两种方案要付的钱是一样的，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设共有x名师生参观珍宝馆，
依题意，有 ，
解得x＝45，
∴学生共有45﹣2＝43（人）．
答：九（1）班的学生人数为43，
21．（6分）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，即可解决问题，
【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝1.25，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1+1.25＝2.25，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.5，
∵PM＝PN，MF＝2.5米，FP＝1.25米，
∴PN＝MF+FP＝3.75（米），
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝7.5，
∴PE＝PO+OE＝7.5+（4.5﹣2）＝10（米），
答：河宽EP是10米．
22．（7分）在弹性限度内，弹簧长度y（cm）是所挂物体质量x（g）的一次函数．已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂物体30g时的长度为15cm．
（1）试求y与x的函数表达式；
（2）已知弹簧在挂上物体后达到的最大长度是25cm，试求出（1）中函数自变量的取值范围．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）把x＝35时代入解析式求出y的值即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y与x的函数表达式为：y＝x+9；
（2）y＝25时，x＝80，
∴0≤x≤80．
23．（7分）为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校1600名学生参加的“汉字书写”比赛，为了解本次比赛的成绩，校团委随机抽取了共中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 0.175 ，b＝ 75 ；并补全频数分布直方图．
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 70≤x＜80 分数段．
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为“良”等，请你估计该校参加本次比赛的1600名学生中成绩是“良”等的约有多少人？
【分析】（1）根据频率＝可求出调查人数，进而求出a、b的值；
（2）根据各组的频数可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的意义，判断这200个数据从小到大排列后，处在第100、101位的两个数所占的组别即可；
（4）求出样本中“优”所占的百分比，即可估计总体中“优”所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）调查人数为10÷0.05＝200（人），
a＝35÷200＝0.175，b＝200×0.375＝75（人），
故答案为：0.175，75；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）将这200个数据从小到大排列，第100、101位的两个数都在70≤x＜80组，因此中位数在70≤x＜80，
故答案为：70≤x＜80；
（4）1600×＝760（人），
答：该校参加本次比赛的1500名学生中成绩是“优”等的约有760人．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
【分析】（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH＝x．则由矩形的性质推知：AE＝10﹣x，OH＝DE＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2＝102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF＝2AH＝2×8＝16．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE．
设AH＝x．
∵DE+AE＝8，OD＝10，
∴AE＝10﹣x，OH＝DE＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（x﹣2）2＝102，
解得x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH＝8．
∵OH⊥AF，
∴AH＝FH＝AF，
∴AF＝2AH＝2×8＝16．
25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（1，0）和B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，故b的值为﹣2，c的值为3；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0可得C（0，3），直线BC解析式为y＝x+3；将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2﹣2（x+2）+3＝﹣x2﹣6x﹣5，联立，解得D（﹣2，3），设M（t，t+3），N（p，q），①若DM，BN为对角线，则DM，BN中点重合，且BD＝BM，可得，②若DN，BM为对角线，则DN，BM的中点重合，且BD＝DM，，③若DB，MN为对角线，则DB，MN中点重合，且DM＝BM，，分别解方程组可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，0）和B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴b的值为﹣2，c的值为3；
（2）存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
由（1）知抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
由B（﹣3，0），C（0，3）得直线BC解析式为y＝x+3；
将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2﹣2（x+2）+3＝﹣x2﹣6x﹣5，
联立，解得，
∴D（﹣2，3），
设M（t，t+3），N（p，q），
又B（﹣3，0），
①若DM，BN为对角线，则DM，BN中点重合，且BD＝BM，
∴，
解得或，
∴N的坐标为（﹣2，+3）或（﹣﹣2，﹣+3）；
②若DN，BM为对角线，则DN，BM的中点重合，且BD＝DM，
∴，
解得（此时MB重合，舍去）或，
∴N的坐标为（0，1）；
③若DB，MN为对角线，则DB，MN中点重合，且DM＝BM，
∴，
解得，
∴N的坐标为（﹣，）；
综上所述，N的坐标为（﹣2，+3）或（﹣﹣2，﹣+3）或（0，1）或（﹣，）．
26．（10分）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝ 2 ；当BC＝2时，α＝ 30或210 °；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 2π ．
【分析】（1）当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，可得△ABC是等边三角形，故BC＝AB＝2；当BC＝2时，过A作AH⊥BC于H，分两种情况画出图形，可得答案；
（2）画出图形，可得S△ADQ＝×1×＝，S△APD＝×1×1＝，故S△APQ＝﹣，同理S△AD'R＝﹣，从而两块三角板重叠部分图形的面积为1﹣；
（3）连接AF，由AB＝AC，F为BC中点，知∠AFB＝90°，故F的运动轨迹是以AB为直径的圆，用圆周长公式可得答案．
【解答】解：（1）如图：
∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，
∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，
∴当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2；
当BC＝2时，过A作AH⊥BC于H，
如图：
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝，
∴sin∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，
∴α＝120°﹣90°＝30°；
如图：
同理可得∠BAC＝90°，
∴α＝60°+90°+60°＝210°，
∴当BC＝2时，α＝30°或210°；
故答案为：2，30或210；
（2）如图：
∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AD＝1，
∵α＝90°，
∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，
∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
∴DQ＝＝，
∴S△ADQ＝×1×＝，
∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，
∴四边形ADPD'是正方形，
∴DP＝AD＝1，
∴S△APD＝×1×1＝，
∴S△APQ＝﹣，
同理S△AD'R＝﹣，
∴两块三角板重叠部分图形的面积为1﹣；
（3）连接AF，如图：
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴∠AFB＝90°，
∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为2π×＝2π．
故答案为：2π．
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
35
a
70≤x＜80
60
0.30
80≤x＜90
b
0.375
90≤x≤100
20
0.10

1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
35
a
70≤x＜80
60
0.30
80≤x＜90
b
0.375
90≤x≤100
20
0.10