天津市嘉诚中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份天津市嘉诚中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版），文件包含天津市嘉诚中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷原卷版docx、天津市嘉诚中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

（考试时长：90分钟 总分：100分）
第Ⅰ卷（选择题 共27分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填写在答题纸上.
1. 若复数z满足：，则为（ ）
A. 2B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出，进而求出.
【详解】设，则
所以，即，
所以.
故选：C.
2. 如图．向量 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可设，，从而可得出．
【详解】如图,设，
∴．
故选：A．
3. 已知是两个不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】借助向量运算与共线定理即可得.
【详解】，故，则，
又因为两向量有公共点，
故三点共线.
故选：A.
4. 已知为所在平面上一点，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形五心的向量表示可判断得为等边三角形，从而利用数量积的定义运算即可得解.
【详解】因为，所以为的外心，
又因为，所以为的重心，
所以为等边三角形，又，
则.
故选：B.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量的模是正实数
B. 共线向量一定是相等向量
C. 方向相反的两个向量一定是共线向量
D. 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量、向量模和共线向量的含义即可判定.
【详解】对于A，因为，不是正实数，故A错误；
对于B，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；
对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确；
对于D，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误．
故选：C．
6. 已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算和几何意义分析求解.
【详解】由题意可得：，
因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，解得.
故选：C.
7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
8. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故选：B.
9. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案.
【详解】,
即 ,
又 ,
,
即 ,
又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知, ,,
,
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故选：C
【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.
第Ⅱ卷（非选择题 共73分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上.
10. 是虚数单位，复数________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数除法法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
11. 向量在向量上的投影向量为______．（写出坐标）
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的投影向量的概念求解.
【详解】由得，
设与的夹角为在上的投影向量为：
故答案为：．
12. 若向量分别表示复数，则=__________．
【答案】
【解析】
【分析】由复数减法的几何意义以及复数模的运算公式即可求解.
【详解】因为，又向量分别表示复数，
所以表示复数，
所以.
故答案为：.
13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】以该正六边形的中心O为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则，
因为点P在半径为2的圆O上运动，所以设，
所以
因此，
当时等号成立，即最小值为.
故答案：.
14. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题知，
，
即.
由，，
所以，
因为、、三点共线，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：；
15. 点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.
【详解】①当动点P满足时，
则点P是的重心，所以①不正确；
②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，
所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③变形为，
而，表示点A到边的距离，设为，
所以，而表示边的中线向量，
所以表示边的中线向量，
因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；
④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
三、解答题：本题共5个题，共49分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）方法一：利用余弦定理计算得到，再计算面积即可；方法二：由正弦定理求出，即可求出，从而求出，再由面积公式计算即可.
【小问1详解】
向量与平行，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，
又，所以；
【小问2详解】
方法一：因为，，，
由余弦定理可得，
可得，解得或（舍），
所以的面积为．
方法二：由正弦定理，得，所以.
又由，知，所以，
故，
所以的面积为.
17. 复平面内表示复数的点为．
（1）当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；
（2）当点位于第四象限时，求实数的取值范围；
（3）当点位于直线上时，求实数的值．
【答案】（1），虚部为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；
（2）根据复数的几何意义列式计算；
（3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求.
【小问1详解】
依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为．
【小问2详解】
依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限．
【小问3详解】
依题意得当，即或时，点位于直线上．
18. （1）已知向量，，与的夹角为.
①求；
②求.
（2）已知向量，.
①若，求实数k的值；
②若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围.
【答案】（1）①；②.（2）①0；②且.
【解析】
【分析】（1）①利用数量积的定义求解即可；
②利用求解即可；
（2）①根据题意求得，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，即可求解；
②与的夹角是钝角转化为且与不平行，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】（1）①由题意知；
②由题意及①得
（2）①由题意知，因为，所以，即，解得.故实数k的值为0；
②由题意知，因为与的夹角是钝角，所以，解得；
又由得；
所以实数k的取值范围为且.
19. 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点

（1）若，求AE的长；
（2）若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）设，由可得，即可得答案；
（2）由图可知，由向量夹角公式可得答案.
【小问1详解】
由题，可得.则.
设，则.因，则.则，故AE的长为1；
【小问2详解】
若E为AB的中点，则，，又.
由图可知.
20. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且．
（1）求．
（2）若，的面积为，求的周长．
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦展开式可求；
（2）由三角形面积公式和同角三角函数关系求出和，再由余弦定理解方程组可得三角形边长，进而求出周长；
（3）由余弦展开式和二倍角公式求出结果即可.
【小问1详解】
由得到，由正弦定理和两角和的正弦展开式可得，
所以.
【小问2详解】
，且，
由，解得，所以，
又由余弦地理和上问可得，
将代入上式可得，
所以，，所以的周长为.
【小问3详解】
①，
由上问可知，等腰，，，
所以，，
代入①可得，
所以.