2024长春外国语学校高二下学期4月月考试题数学含解析

这是一份2024长春外国语学校高二下学期4月月考试题数学含解析，共5页。试卷主要包含了8，能活到25岁的概率为0，已知函数．， 【答案】14400等内容，欢迎下载使用。

出题人 ：马双 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.计算的值是（ ）
A．62B．102C．152D．540
2．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻位上的数字奇偶性不同的数有（ ）个
A．18B．36C．72D．86
4．若函数的导函数图象如图所示，则（ ）

A．的解集为
B．是函数的极小值点
C．函数的单调递减区间为
D．是函数的极小值点
5．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．C． D．
6．有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．462B．630C．672D．882
7．已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
9．高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（ ）
A．
B．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人
C．在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合
D．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的
10．已知函数有两个不同的极值点,则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是B．是极小值点
C．当时，D．
11．设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．的图象关于对称D．函数为周期函数，且周期为4
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是____________.
13．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是 .
若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知函数.
(1)若在处的切线垂直于直线，求的方程；
(2)讨论的单调性.
16．（15分）某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法．
(1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？
(2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？
(3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答）
17．（15分）已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）记曲线在处的切线为，求证：与有唯一公共点．
18.（17分）已知函数．
(1)判断的单调性；
(2)设方程的两个根分别为，求证：．
19.（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
长春外国语学校2023-2024学年第二学期高二年级第一次月考
数学试卷答案
选择题
二.填空
12.0.5 13., 36 14.
三.解答题:
15. 【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m的值，即可求得答案；
（2）求出函数导数，分类讨论m的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得；
因为在处的切线垂直于直线，
所以，即，解之得；
又，
所以的方程为，即.
（2）的定义域为，
由（1）得；
所以当时，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令得或，令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令得或，令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
16. 【答案】(1)14400
(2)30960
(3)20160
【分析】（1）分2步进行分析，先排列三个发言以外节目，产生6个空，再从6个空位中任选3个，安排三个发言节目即可；
（2）分励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个和励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在最后一个求解；
（3）根据题意共有8个的先后位次，往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，从8个位置选2个放置，其它位置任意排列求解.
【详解】（1）解：根据题意，分2步进行分析：
①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位，②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况，
则三个发言不能相邻的排法有＝14400种；
（2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况，
励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况，
共有：＝30960种情况．
（3）根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列，
共有的方法数：＝20160种情况．
17.（1），
令，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数的极值点为；
（2）由（1）可知：，而，
所以切线的方程为，
由，或，
当时，，此时，与有公共点，
当时，设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以由，即，此时与有公共点，
综上所述：与有唯一公共点.
18. 【答案】(1)在上单调递减，上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，由和求解；
（2）令，利用导数法得到在上单调递减，在上单调递增，将证，转化为证，再由，转化为证，令，利用导数法证明即可.
【详解】（1）因为，所以，
令，得，
当时，，当时，，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．分
（2）令，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以不妨设．
要证，即证，即证．
因为，所以即证．
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，从而必有．
即．分
19. 【答案】（1）,；（2）；（3）0
【解析】（1）求导易知,.
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由,
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3），，
令，则；
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．
选考科目名称
物理
化学
生物
历史
地理
政治
选考该科人数
36
39
24
12
a
b
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
D
D
C
D
D
9
10
11
AC
BCD
AC