2024年陕西省宝鸡市渭滨区、金台区初级中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2．本套试卷满分120分，考试时间120分钟．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. 6C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案：A．
2. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船开启中国航天新征程．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. ∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35°
故选：A．
【点睛】本题考查余角、补角的计算．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是单项式与单项式的乘法运算，正确掌握单项式与单项式的乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选B．
5. 在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像，分和两种情况分类讨论进行解题即可.
【详解】当时，一次函数图象经过一、三、四象限，
当时，一次函数图象经过一、二、四象限，
故选A.
6. 如图，在中，，，点D是BC的中点，点E在上，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，结合已知条件，求出，再根据等腰三角形的特点推出，是的角平分线，即，再结合等腰三角形的性质，求出的度数.
【详解】解：∵，，
∴
∴，
又∵点D是BC的中点，
∴也是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
故选：C.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，解体的关键是理清性质特点，灵活运用.
7. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交于点于点，则的半径是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．连接，利用垂径定理求解，再令的半径为，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案．
【详解】解：连接．
∵M是弦的中点，且经过圆心O，
∴，且．
在中，令的半径为，
∵，
∴，解得：，
故选D．
8. 已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b无解．
【详解】解：∵二次函数的图象不经过第三象限，
∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意，
∴，
解得：，
当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，
∴，
解得：，
当x=0时，，
解得：b＞1或b＜-1，
对称轴，
解得：b＞2，
∴b无解，
综上，，
故选A.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 大于而小于的整数共有_________个；
【答案】6
【解析】
【详解】由题意可知：大于-2.5而小于3.5的整数共有-2，-1，0，1，2，3，共6个．
10. 如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠AFJ＝20°，则∠CGH＝_____°．
【答案】52
【解析】
【分析】先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．
【详解】解：正五边形的内角均为：540°÷5＝108°，
∴∠BFG＝180°﹣∠AFJ﹣∠GFJ＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
∴∠BGF＝180°﹣∠B﹣∠BFG＝180°﹣108°﹣52°＝20°，
∴∠CGH＝180°﹣∠BGF﹣∠FGH＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，以及三角形的内角和，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数．
11. 如图，为菱形的一条对角线，在上，且四边形为矩形，若，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．
由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平分且相等，再加上可以得到 ，设 ，用勾股定理可以表示出、，进而求出他们的比值即可解题．
【详解】连接交于点, 如图:
∵四边形是菱形,
，，
∵四边形是矩形,
，
又∵
，
设 ，则，
在 和 中,
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，且与边交于点，若点是边的中点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值， 即，也考查了平行四边形的性质以及线段的中点坐标公式.
设的长为， 则.根据平行四边形的性质以及点坐标为，得出由点是边的中点，利用线段的中点坐标公式得出，再根据函数的图象经过点，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出解方程即可.
【详解】设的长为， 则.
∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴，
∵点是边的中点，
，
∵函数的图象经过点， ，
，
，
，
故答案为：.
13. 如图，在矩形中，的角平分线与交于点的角平分线与交于点，若，则的长为______．
【答案】

【解析】
【分析】延长交的延长线于点G，得到，即可得以证明，然后推导，得到，解方程即可解题．
【详解】解：延长交延长线于点G，
∵是矩形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形形是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是解不等式，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键．
【详解】解：
．
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数次幂，化简二次根式，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤和方法进行解题．先去分母转化为整式方程求解并检验即可．
【详解】解：
两边同时乘以得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解为．
17. 如图，已知等边三角形，点M为边的中点，连接．请用尺规作图法，在边上找一点P，使得（保留作图痕迹，不写做法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定即可画图．
【详解】解：所作图形如下所示：
∠C等于60°，所以取即可知为等边三角形
再由三线合一可知中垂线就是高所在直线
，又
∴
【点睛】本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键
18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，过点A分别作BD、CE的垂线段AD、AE，垂足为D、E，求证：AD=AE．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠ACE，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵过点A分别作BD、CE的垂线段AD、AE，垂足为D、E，
∴∠D=∠E=90°，在△ABD和△ACE中，
,
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE．
【点睛】考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．
19. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从袋中随机摸出一个小球，球上的汉字刚好是“亚”的概率是 ；
（2）从袋中随机摸出一个小球，不放回，再从袋中随机摸出一个小球，请用画树状图或列表法表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率．（汉字不分先后顺序）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的定义，公式，以及列表法的表示方法．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，
球上的汉字刚好是“杭”的概率就是．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种，
∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为.
20. 某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，已知2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，求有多少名工人生产甲种配件？
【答案】有名工人生产甲种配件
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列一元一次方程是解题的关键．设设应安排x名工人生产甲种配件，安排名工人生产乙种配件，依题意得，计算求解即可．
【详解】解：解：设应安排x名工人生产甲种配件，安排名工人生产乙种配件，
依题意得，，
解得，
答：有名工人生产甲种配件．
21. 青白江凤凰湖公园里的方尖碑是园内最高且具有标志性的建筑物，以其为中心，修建了欧式广场及服务性配套设施，成为凤凰湖二期最吸人眼球的景点．如图，某兴趣小组想测量该方尖碑的高度，先在A处仰望碑顶C，测得仰角为，再往碑的方向前进137米到B处，测得仰角为，求该方尖碑的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，，）

【答案】99米
【解析】
【分析】设米，则米，在中，，则，在中，，则，计算求出满足要求的，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：设米，则米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
经检验，是方程的根．
∴（米）
答：该方尖碑的高约为99米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于确定线段之间的数量关系．
22. 随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器更被一带一路沿线人们所推崇，某商户看准这一商机，准备经销瓷器茶具，计划购进青瓷茶具和白瓷茶具共60套．已知青瓷茶具每套250元，白瓷茶具每套200元，设购进x套青瓷茶具，购进青瓷茶具和白瓷茶具的总费用为y元！
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）该商户想要用不多于13500元的资金购进这两种茶具，则青瓷茶具最多能购进多少套？
【答案】（1）
（2）30套
【解析】
【分析】（1）分别表示出购进两种茶具的费用进而得出函数关系式；
（2）利用总费用不多于13500元进而得出不等式求出答案．
【小问1详解】
解：与之间函数关系式为：
；
【小问2详解】
解：根据题意可得：，
解得：，
则青瓷茶具最多能购进30套．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
23. “知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人；
（2）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 °，并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）
（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？
【答案】（1）4人，6人；（2）24， 120°，见解析（3）994人
【解析】
【详解】解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；
（2）该校参加航模比赛的总人数：6÷25%＝24，
空模所在扇形的圆心角的度数是：（24−6−6−4）÷24×360°＝120°，
参加空模比赛的人数24−6−6−4=8（人），
补充条形统计图如下：
（3）32÷80＝0.4，0.4×2485＝994（人），
答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人
24. 在等腰三角形中，，点D为边上一点，以为直径作，分别与交于点E、F，当点D为弧的中点时，
（1）求证：与相切．
（2）已知的半径为6，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据点D为弧的中点，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解；
（2）连接，为的直径，可得，从而得到，进而得到，然后分别在和中，利用锐角三角函数，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为6，
∴，
在中，，
∴，解得：，
在中，，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理是解题的关键．
25. 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底为10米处的点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点），与地面的距离为20米．

（1）求无人机飞行轨迹的函数解析式；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离；
（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
【答案】（1）
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为米时，无人机与山坡的竖直距离为米
（3）无人机此次飞行是安全的
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
（1）把点代入 ，解答即可；
（2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离 把代入求得即可；
（3）无人机与山坡的竖直距离 的最小值与比较即可得解.
【小问1详解】
解：由题意可知， 点，将坐标分别代入，
得： ，解得：，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为，
【小问2详解】
当无人机飞行的水平距离距起点为米时， ，
∵无人机与山坡的竖直距离
∴当时，(米)，
答：当无人机飞行的水平距离距起点为米时，无人机与山坡的竖直距离为米；
【小问3详解】
安全， 理由如下：
由（2）知，
，
时，有最小值 ，
∴无人机此次飞行是安全的.
26. 问题提出：
（1）如图1，，点在的平分线上，．点分别在边上，且，连接．求线段的最小值；
问题解决：
（2）如图2，有一个圆心角为、半径为20米的扇形舞台．现要在、边上确定两点，使得，并在之间拉上幕布．为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧上找一点来安装一照明角为（即的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布．要使幕布长最短，则长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积（即的面积）．

【答案】（1）最小值为 （2）
【解析】
【分析】题考查锐角三角函数，全等三角形的判定、正确利用锐角三角函数进行边的计算是关键．
（1）过点作，于点M，N，则有，然后得到是等边三角形，进而得到当E点与M点重合时，最小，即利用勾股定理解题即可；
（2）连接，将绕点顺时针旋转120°得到，推理得到三点共线，过点作 于点，则，当点D与点重合，即 时，取得最小值，为米，此时的最小值为米，根据可得答案．
【详解】（1）过点作，于点M，N，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故当E点与M点重合时，最小，这时，
∴，，
即最小值为；

（2）∵ 中，，
过点作于点，则，，
∴，，
∴，
∴要使长最短，则需长最短.
连接，将绕点顺时针旋转120°得到，如图，

则 米，，，
∴.
∵，
∴，
∴，即三点共线
过点作 于点，则，同理可得，
∵，
∴当点D与点重合，即 时，取得最小值，为米，此时的最小值为米，且
同理可得
+
∴当长为米时，幕布CD长最短，此时灯光照亮的舞台面积为.
杭
州
亚
运
杭
（杭，州）
（杭，亚）
（杭，运）
州
（州，杭）
（州，亚）
（州，运）
亚
（亚，杭）
（亚，州）
（亚，运）
运
（运，杭）
（运，州）
（运，亚）