2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷

这是一份2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷，共24页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）计算1﹣（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣2B．4C．﹣4D．2
2．（4分）一个长方体的左视图、主视图及相关数据如图所示，则其俯视图的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a2B．4a﹣3a＝1
C．a+a＝a2D．a3÷（﹣a2）＝a
4．（4分）据《安徽经济新闻网》2024年1月10日报道：2024年伊始，合肥高新区传来好消息，南岗科技成果加速器北区已经正式开工建设．总投资约16.9亿元，总建筑面积约24.7万平方米．其中数据16.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.69×10B．1.69×108C．1.69×109D．1.69×1010
5．（4分）如图，AB∥CD，点E为直线AB上方一点，DE，BE．若DE⊥CD，∠BDC＝25°，则∠ABE的度数是（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
6．（4分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）如图，以正方形纸片ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（ ）
A．B．C．D．1
8．（4分）无论x取何实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，…，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，…，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点G为CF的中点，连接AG（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若估算的值在整数n和（n+1）之间 ．
12．（5分）若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，b+2这五个数据的方差是 ．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数，B，与x轴交于点C（3，0），与y轴交于点D（0，2），则k＝ ．
14．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为 ；
（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：+（π+1）0﹣（﹣1）2024．
16．（8分）春节期间，某商店用21000元购进一批纯牛奶，很快售完，每箱的进价提高了5%，同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱．求第一次购进每箱纯牛奶的进价．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在所给网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
18．（8分）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m的对称数．
（1）2与4是关于 的对称数，7与 是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45°到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比i＝1：3，C，E在同一水平线上．
（1）求点D到水平线BE的距离；
（2）求砖塔AB的高度（结果保留根号）．
20．（10分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接OD．
（1）求证：OD∥BM；
（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了迎接中考体育测试，学校想了解九年级学生的准备情况，随机抽取了部分学生的检测成绩进行调查，其中：A等级表示检测分数为57分～60分，B等级表示检测分数为53分～56分，D等级表示检测分数为48分及以下．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级学生D等级的人数；
（4）根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议．
七、（本题满分12分）
22．（12分）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点；
（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当CE＝CF时，试求线段CF的长．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D
（1）如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若DE＝BE，试确定a的值；
（3）如图3，在（1）的情形下，连接AC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q△APQ﹣S△BCQ取最大值时，试求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）计算1﹣（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣2B．4C．﹣4D．2
【解答】解：1﹣（﹣3）
＝4+3
＝4，
故选：B．
2．（4分）一个长方体的左视图、主视图及相关数据如图所示，则其俯视图的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【解答】解：由图可得：俯视图为长为4，宽为3的长方形，
∴其俯视图的面积为7×4＝12，
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a2B．4a﹣3a＝1
C．a+a＝a2D．a3÷（﹣a2）＝a
【解答】解：A、2a⋅3a＝3a2，故原选项计算正确，符合题意；
B、4a﹣8a＝a，不符合题意；
C、a+a＝2a，不符合题意；
D、a3÷（﹣a4）＝﹣a，故原选项计算错误；
故选：A．
4．（4分）据《安徽经济新闻网》2024年1月10日报道：2024年伊始，合肥高新区传来好消息，南岗科技成果加速器北区已经正式开工建设．总投资约16.9亿元，总建筑面积约24.7万平方米．其中数据16.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.69×10B．1.69×108C．1.69×109D．1.69×1010
【解答】解：16.9亿＝1690000000＝1.69×104．
故选：C．
5．（4分）如图，AB∥CD，点E为直线AB上方一点，DE，BE．若DE⊥CD，∠BDC＝25°，则∠ABE的度数是（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
【解答】解：∵AB∥CD，∠BDC＝25°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝155°，
∵DE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝65°，
∵BE＝DE，
∴∠EBD＝∠BDE＝65°，
∴∠ABE＝360°﹣∠EBD﹣∠ADB＝140°．
故选：D．
6．（4分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞8，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示如图所示：
，
故选：B．
7．（4分）如图，以正方形纸片ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
8．（4分）无论x取何实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题知，因为二次函数y＝x2﹣（2m+4）x+m2的值始终为正数，且a＝1＞2，
所以[﹣（2m+1）]7﹣4×m2＜8，
解得，．
故选：D．
9．（4分）2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，…，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，…，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：列表得：
由表格可得，共有16种等可能出现的结果，
∴小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率＝，
故选：C．
10．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点G为CF的中点，连接AG（ ）
A．2B．C．4D．
【解答】解：如图所示：
当点F与点D重合时，点G在点G1处，此时DG1＝CG3，
当点F与点E重合时，点G在点G2处，此时CG2＝EG4，
∴G1G2为△CDE的中位线，
∴G8G2∥DE，且，
∵点G为CF的中点，
∴GG2为△CDF的中位线，
∴GG1∥DF，，
∴点G在G1G4上运动，当AG⊥G1G2时，AG的值最小，
∵在▱ABCD中，AB＝3，∠DAE＝60°，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE＝120°，DG1＝CG6＝AD＝2，
∴，
∵DE为∠ADC的角平分线，
∴，
∴∠CG1G5＝∠CDE＝60°，
∴∠AG1G2＝180°﹣∠CG6G2﹣∠AG1D＝90°，即AG2⊥G1G2，
∴AG的最小值为AG2，
∵DE∥G1G2，
∴DE⊥AG7，
∵AD＝DG1，∠ADE＝60°，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若估算的值在整数n和（n+1）之间 4 ．
【解答】解：∵，
又∵，
即42＜20＜62，
∴，
又∵的值在整数n和（n+5）之间，
∴n＝4．
故答案为：4．
12．（5分）若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，b+2这五个数据的方差是 3 ．
【解答】解：由题意知，数据4，5，5，b+2这五个数据是将原数据分别加2所得，
∴新数据的波动幅度与原数据一致，
∴这五个数据的方差是7，
故答案为：3．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数，B，与x轴交于点C（3，0），与y轴交于点D（0，2），则k＝ ．
【解答】解：∵C（3，0），4），
∴OC＝3，OD＝2，
如图，作AE⊥x轴于E，
，
则∠AEC＝∠DOC＝90°，
∴AE∥OD，
∴△ACE∽△DCO，
∴，
∵AD＝AB＝BC，
∴，
∴，，
∴OE＝OC﹣CE＝6﹣2＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为 （1，﹣2） ；
（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为 ．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），6），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝8，
设函数的对称轴与x轴的交点为E，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝BE＝2，
∴D点坐标为（1，﹣8），
故答案为：（1，﹣2）；
（2）∵CO⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠COB＝90°，
∴∠ACO+∠OAC＝∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ACO＝∠ABC，
∴△OAC∽△OCB，
∴OC5＝OA×OB＝3，
∵C点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
将点A（﹣2，0），0）代入y＝ax5+bx﹣3中，
∴，
解得，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：+（π+1）0﹣（﹣1）2024．
【解答】解：+（π+4）0﹣（﹣1）2024
＝﹣8﹣（2﹣）+4﹣1
＝﹣2﹣4++1﹣6
＝﹣4+．
16．（8分）春节期间，某商店用21000元购进一批纯牛奶，很快售完，每箱的进价提高了5%，同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱．求第一次购进每箱纯牛奶的进价．
【解答】解：设第一次购进每箱纯牛奶的进价为x元，则第二次购进每箱纯牛奶的进价为（1+5%）x，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是分式方程的解；
∴第一次购进每箱纯牛奶的进价为50元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在所给网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求．
点A1的坐标为（6，﹣7）．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
18．（8分）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m的对称数．
（1）2与4是关于 3 的对称数，7与 ﹣1 是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．
【解答】解：（1）∵2+4＝8，6÷2＝7，
∴2与4是关于3的对称数，
又3×2﹣7＝﹣1，
∴7与﹣8是关于3的对称数．
故答案为：3；﹣4；
（2）根据题意得，﹣2x2+4（x2+x）﹣4+b＝﹣3×2，
解得，b＝﹣x2﹣2x+2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45°到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比i＝1：3，C，E在同一水平线上．
（1）求点D到水平线BE的距离；
（2）求砖塔AB的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）如图1，作DG⊥BE于G，
∵斜坡CF的坡比i＝1：5，
∴，
设GD＝x m，则CG＝7x m，
由题意得：，CD2＝GD7+CG2，
∴，
解得：x＝3，
∴GD＝2m，
∴点D到水平线BE的距离为2m；
（2）如图6，作DH⊥AB于H，
则∠DGB＝∠DHB＝∠HBG＝90°，
∴四边形DGBH为矩形，
∴DH＝BG，BH＝GD，
设AB＝y m，则BC＝AB＝y m，
∴BG＝BC+CG＝（6+y）m，AH＝AB﹣BH＝（y﹣2）m，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴砖塔AB的高度为．
20．（10分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接OD．
（1）求证：OD∥BM；
（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠MAD＝∠ODA，
∴OD∥BM；
（2）解：如图，连接BC，
，
∵AC为⊙O的直径，⊙O的直径为4，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝4，
∵，
∴，
令AD＝x，则CD＝2x，
由勾股定理得：AD2+CD6＝AC2，
∴x2+（2x）2＝46，
解得：，
∴，，
∵OD∥BM，
∴∠M＝∠ODC，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠M＝∠OCD，
∴AM＝AC＝4，
∵∠ADC＝90°，
∴，
∵BC2＝CM3﹣（AM+AB）2，BC2＝AC6﹣AB2，
∴AC2﹣AB5＝CM2﹣（AM+AB）2，即，
解得：．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了迎接中考体育测试，学校想了解九年级学生的准备情况，随机抽取了部分学生的检测成绩进行调查，其中：A等级表示检测分数为57分～60分，B等级表示检测分数为53分～56分，D等级表示检测分数为48分及以下．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是 72° ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级学生D等级的人数；
（4）根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议．
【解答】解：（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是360°×（1﹣44%﹣28%﹣8%）＝72°，
故答案为：72°；
（2）本次抽取的总人数为：44÷44%＝100（人），
故样本中B等级的人数为：100﹣44﹣3﹣28＝20（人），
补全条形统计图如图所示：；
（3）600×28%＝168（人），
∴全校九年级学生D等级的人数为168人；
（4）由扇形统计图可得：A等级的人数所占的比例为44%，不到一半，故应该合理加强学生的训练．
七、（本题满分12分）
22．（12分）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点；
（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当CE＝CF时，试求线段CF的长．
【解答】解：（1）点F是边BC的中点，理由：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，
∴，
∵CD是边AB上的高，
∴，
∴，
在Rt△BCD中，，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
又∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵DE⊥DF，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDF+∠BDF＝90°，
∴∠EDC＝∠FDB，
∴△CED∽△BFD，
∴，
∵E点是AC的中点，
∴，
∴，
解得，BF＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣4＝6，
∴BF＝CF，即点F是BC边的中点；
（2）由（1）知△CED∽△BFD，
∴，
又，
∴，
∴，
又∠EDF＝∠ACB＝90°，
∴△DEF∽△ABC；
（3）由（1）知△CED∽△BFD，
∴，
∴；
又CE＝CF，CF+BF＝BC，
∴，
解得，，
即线段CF的长为．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D
（1）如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若DE＝BE，试确定a的值；
（3）如图3，在（1）的情形下，连接AC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q△APQ﹣S△BCQ取最大值时，试求点P的坐标．
【解答】解：（1）在y＝a（x+2）（x﹣4）中，令y＝5，
解得：x1＝﹣2，x6＝4，
∴A（4，2），0），
将B（﹣2，8）代入，
解得：b＝1，
∴，
∵点D的横坐标为3，
∴当x＝8时，，
∴，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴；
（2）由（1）得：B（﹣2，3），，
设点D的坐标为（m，n），
∵BE＝DE，
∴E为BD的中点，
∵E在y轴上，
∴，
∴m＝2，
在中，当x＝2时，，
∴D（2，4），
将D（2，2）代入抛物线解析式得：a（7+2）×（2﹣3）＝2，
解得：；
（3）由（1）知：，A（4，B（﹣2，
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
在中，当x＝0时，
∴C（7，4），
∴OC＝4，
设，
∴S△APQ﹣S△BCQ
＝（S△APQ+S△ABQ）﹣（S△BCQ+S△ABQ）
＝S△ABP﹣S△ABC
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
∵，
∴当p＝2时，S△APQ﹣S△BCQ的值最大，此时．10
15
20
谢谢惠顾
10
20
25
30
10
15
25
30
35
15
20
30
35
40
20
谢谢惠顾
10
15
20
0