2022-2023学年四川省成都市新津区为明学校高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省成都市新津区为明学校高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数2i1−i等于( )
A. i−1B. 1−iC. i+1D. −i−1
2.已知点P(1,− 3)，则它的极坐标是( )
A. (2,π3)B. (2,4π3)C. (2,−π3)D. (2,−4π3)
3.为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有人．( )
A. 12B. 18C. 80D. 120
4.函数f(x)=sinx+ex(e为自然对数的底数)，则f(0)的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 0
5.已知α，β是空间中两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法错误的是( )
A. 若α/​/β，则存在l⊂α，m⊂β，使得l⊥m
B. 若α⊥β，则存在l⊂α，m⊂β，使得l⊥m
C. 若α/​/β，则存在l⊂α，使得l⊥β
D. 若α⊥β，则存在l⊂α，使得l/​/β
6.通过随机调查140名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧，得到如下的列联表：
由公式算得：K2≈3.11附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
其中n=a+b+c+d参照附表，得到的正确结论是( )
A. 有99%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
B. 有99.9%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
C. 有90%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
D. 有95%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
7.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A. 在区间(−2,1)上，f(x)是增函数
B. 当x=2时，f(x)取到极小值
C. 在区间(1,3)上，f(x)是减函数
D. 在区间(4,5)上，f(x)是增函数
8.如图，四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为( )
A. 8 3
B. 4 3
C. 4 5
D. 8 5
9.已知f(x)=2lnx+ax2−3x在x=2处取得极小值，则a的值为
( )
A. 2B. 12C. −2D. −12
10.已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0, 7)，则|PA|+|PF|的最小值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
11.“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2=−2px(p>0)，C2：y2=2px(p>0)构造了一个类似“米“字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|=2|PQ|=4，则p=( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
12.已知a=ln32，b=1e−1，c=ln43，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知椭圆x2m+y24=1(m>4))的焦距是2，则m的值是______．
14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则x的值为______．
15.如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段A1B上一动点(不与A1，B重合)，则下列命题中：
①平面AA1P⊥平面D1A1P；
②∠APD1一定是锐角；
③DC1⊥D1P；
④三棱锥B1−D1PC的体积为定值．
其中真命题的有 ．
16.已知f(x)=aexx−x,x∈(0,+∞)，对∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=13x3−ax+2(a∈R)，且f′(2)=0．
(1)求函数f(x)在x=3处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值与最小值．
18.(本小题12分)
某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…[90,100]后得到如图频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计众数和中位数；
(2)用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率．
19.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．
(1)求证：PA//平面BDF；
(2)求证：BD⊥平面PAC．
20.(本小题12分)
已知P为圆M：x2+y2=4上一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点Q满足DQ= 32DP．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点N(−1,0)作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E，F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得|GH|为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lnx+a(x+a)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若x1，x2(x1x1．
22.(本小题12分)
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6csθ+2sinθ，直线l的参数方程为x=1− 2ty=2+ 2t(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
(2)设点Q(1,2)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|⋅|QB|的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2i1−i=2i(1+i)(1+i)(1−i)=2i−22=−1+i．
故选：A．
由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
根据点的直角坐标求出ρ，再由1=ρcsθ，− 3=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．
【解答】
解：∵点P的直角坐标为(1,− 3)，∴ρ= 1+3=2．
再由1=ρcsθ，− 3=ρsinθ，可得csθ=12sinθ=− 32，结合所给的选项，可取θ=−π3，
即点P的极坐标为(2,−π3)，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样原理应用问题，也考查了数据分析与应用能力，属于基础题．
根据30人中共有男生12人求出这200名学生志愿者中男生人数，再求女生可能有的人数．
【解答】
解：因为30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中男生可能有200×1230=80(人)，
所以女生可能有120人．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=sinx+ex(e为自然对数的底数)，
∴f(0)=sin0+e0=1．
故选：A．
由函数f(x)=sinx+ex(e为自然对数的底数)，能求出f(0)的值．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：若α/​/β，则存在l⊂α，m⊂β，使得l⊥m，故A正确；
若α⊥β，则α与β相交，设交线为n，则两平面内都与n平行的两直线平行，故B正确；
若α/​/β，则α与β无公共点，则不存在l⊂α，使得l⊥β，故C错误；
若α⊥β，则平面α与交线平行的直线平行于β，即存在l⊂α，使得l/​/β，故D正确．
故选：C．
由空间直线、平面之间的位置关系可知选项A，B，D均正确，对于选项C，当α/​/β时，平面α内的任何一条直线都只可能与平面β平行，由此判断C错误．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意知，K2≈3.11>2.706，所以有90%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关．
故选：C．
根据观测值K2≈3.11>2.706，对照附表即可得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由图象可知，当x∈(−2,1)时，f′(x)先小于0，后大于0，
故f(x)在(−2,1)先递减再递增，故A错误，
当x=2时，f(x)取极大值，故B错误，
当x∈(1,3)时，f′(x)先大于0，再小于0，
故f(x)在(1,3)上先递增再递减，故C错误，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，函数单调递增，故D正确．
故选：D．
由已知结合导数与单调性关系分析各选项即可判断．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为2，则斜高为 5，
∴该四棱锥的侧面积为S=4×12×2× 5=4 5．
故选：C．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为2，再求出斜高，然后利用三角形面积公式求解．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由已知f′(x)=2x+2ax−3，x>0，
∴f′(2)=1+4a−3=0，得a=12，
此时f′(x)=2x+x−3=x2−3x+2x=(x−1)(x−2)x，x>0，
令f′(x)>0，得02，
令f′(x)<0，得1故f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
故f(x)在x=2处取得极小值，符合题意．
则a的值为12．
故选：B．
先对函数求导，然后通过f′(2)=0求出a的值，再代入原导函数验证在x=2处取得极小值即可．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：由双曲线方程x2−y28=1可知，a=1，c=3，
故右焦点F(3,0)，左焦点F1(−3,0)，
当点P在双曲线左支上运动时，
由双曲线定义知|PF|−|PF1|=2，
所以|PF|=|PF1|+2，
从而|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+2≥|AF1|+2，
又|AF1|= 32+(− 7)2=4为定值，
所以|PA|+|PF|≥6，
此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(三点共线距离最短)．
故选：B．
根据双曲线的定义得|PF|=|PF1|+2，利用平面几何的知识：两点间线段最短求解即可．
本题考查了双曲线的定义，重点考查了两点间线段最短的平面几何知识，属中档题．
11.【答案】D
【解析】解：过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|=2|PQ|=4，∴OM=1，
则xP=−1，
又点P在抛物线C1：y2=−2px(p>0)上，
∴yP2=2p，则PM= 2p，
在Rt△PMF1中，MF1=p2−1，
∵PM2+MF12=PF12，
∴( 2p)2+(p2−1)2=42，
∴p=6．
故选：D．
过点P作PM⊥F1F2于点M，根据题意得到xP=−1，代入抛物线C1：y2=−2px(p>0)，得到PM= 2p，利用勾股定理即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：令函数f(x)=lnxx−1，(x≥e)，
则f′(x)=1−lnx−1x(x−1)2，
令g(x)=1−lnx−1x，则g′(x)=1−xx2<0，(x≥e)，
∴g(x)=1−lnx−1x，(x≥e)单调递减，
又g(1)=1−ln1−11=0，
∴g(x)<0，(x≥e)，
∴f′(x)<0，(x≥e)，而e<3<4，
则f(e)>f(3)>f(4)，即1e−1>ln32>ln43，∴b>a>c．
故选：A．
根据给定的条件构造函数f(x)=lnxx−1(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】5
【解析】解：因为椭圆x2m+y24=1(m>4))，
所以a2=m，b2=4，
所以c2=a2−b2=m−4，
所以c= m−4，
因为椭圆的焦距为2，
所以2c=2，即c=1，
所以 m−4=1，
解得m=5，
故答案为：5．
由椭圆的方程可得a2=m，b2=4，则c2=a2−b2=m−4，又椭圆的焦距为2，可得 m−4=1，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
14.【答案】7
【解析】【分析】
本题主要考查茎叶图，平均数的概念，属于基础题．
根据茎叶图中的数据，利用平均数的公式进行计算即可．
解：∵甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，
∴15×(9+16+10+x+19+26)=15×(9+16+16+17+29)，
解得：x=7，
故答案为：7．
15.【答案】①③④．
【解析】解：∵D1A1⊥平面AA1P，
∴平面D1A1P⊥平面A1AP，①正确；
若P是A1B上靠近A1的一个四等分点，D1P2=1+( 24)2=98，
此时AP2=AA12+A1P2−2AA1×A1P×cs45°=58，D1P2+AP2此时∠D1PA为钝角，②错；
而D1C⊥DC1，D1C/​/A1B，
所以DC1⊥A1B，且DC1⊥A1D1，A1B∩A1D1=A1，
所以DC1⊥平面A1PD1，D1P⊂平面A1PD1，
因此DC1⊥D1P，③正确；
由于BP//CD1，则BP/​/平面B1D1C，
因此P−B1D1C的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，④正确．
故选：①③④．
由已知利用面面垂直的判定即可判定①；
由题意可得D1P2=1+( 24)2=98，利用余弦定理可得D1P2+AP2利用线面垂直的判定和性质即可判断③；
由题意可得BP/​/平面B1D1C，可得P−B1D1C的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，即可判断④．
本题考查了面面垂直的判定、余弦定理、线面垂直的判定和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
16.【答案】[2e,+∞)
【解析】解：对∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1设g(x)=xf(x)=aex−x2，g′(x)=aex−2x，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，故g′(x)=aex−2x≥0恒成立，
即a≥2xex，设F(x)=2xex,F′(x)=2−2xex，
当x∈(0,1)时，F′(x)>0，函数单调递增；当x∈[1,+∞)时，F′(x)≤0，函数单调递减，
故F(x)max=F(1)=2e，即a≥2e，则实数a的取值范围是[2e,+∞)．
故答案为：[2e,+∞)．
根据已知构造函数g(x)=xf(x)=aex−x2，利用函数的单调性求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f′(x)=x2−a，故f′(2)=4−a=0，解得a=4，
因为f(x)=13x3−4x+2，所以f′(x)=x2−4，
则所求切线的斜率为f′(3)=32−4=5，且f(3)=9−12+2=−1，
故所求切线方程为y−(−1)=5(x−3)，即y=5x−16；
(2)因为f(x)=13x3−4x+2，x∈[0,3]，所以f′(x)=x2−4，
令f′(x)=x2−4=0，得x=2(x=−2舍去)，
由f′(x)≤0，可得x∈[0,2]，函数f(x)单调递减，
由f′(x)≥0，可得x∈[2,3]，函数f(x)单调递增，
所以f(x)的极小值为f(2)=83−8+2=−103，又f(0)=2，f(3)=−1，
所以f(x)的最大值为2，最小值为−103．
【解析】(1)由题可得a=4，然后根据导函数在x=3的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；
(2)根据导函数，确定单调区间，进而可得最值．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，
解得a=0.030．
∴众数为：70+802=75，
∵[40,70)的频率为(0.01+0.015+0.015)×10=0.4，
[70,80)的频率为0.03×10=0.3，
中位数为：70+0.5−0.40.3×10≈73.33．
(2)用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，
[40,50)的频率为0.1，[50,60)的频率为0.15，
∴[40,50)中抽到5×人，记为A，B，
[50,60)中抽取5×人，记为C，D，E，
从这五人中任选两人参加补考，共有以下10种可能：
(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，( B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，
其中至少一人落在[50,60)的有(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，( B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，共9种，
∴这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率P=910．
【解析】本题考查众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)由频率分布直方图能求出a=0.030，由此能求出众数和中位数．
(2)用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，[40,50)的频率为0.1，[50,60)的频率为0.15，从而[40,50)中抽到2人，[50,60)中抽取3人，利用列举法求解即可．
19.【答案】解：(1)证明：连接AC，BD与AC交于点O，连接OF.∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，∴OF//PA.∵OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，∴PA/​/平面BDF．
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
【解析】(1)设BD与AC交于点O，利用三角形的中位线性质可得OF//PA，从而证明PA//平面BDF．
(2)由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，依据菱形的性质可得BD⊥AC，从而证得BD⊥平面PAC．
本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取BD与AC交于点O，
是解题的突破口．
20.【答案】解：(1)不妨设Q(x,y)，P(x0,y0)，
此时点D(x0,0)，
因为DQ= 32DP，
所以(x−x0,y)= 32(0,y0)，
即x0=xy0=2 33y，
因为点P在圆x2+y2=4上，
所以x02+y02=4，
此时x2+(2 33y)2=4，
整理得x24+y23=1，
则Q点轨迹方程为x24+y23=1；
(2)若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，
不妨设直线EN：x=ty−1(t≠0)，
联立x=ty−1x24+y23=1，消去x并整理得(4+3t2)y2−6ty−9=0，
设直线EN与曲线C两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
由韦达定理得y1+y2=6t4+3t2，
所以yE=y1+y22=3t4+3t2,xE=tyE−1=−44+3t2，
因为EN⊥FN，
所以直线FN：x=−1ty−1，
同理得yF=−3t3+4t2,xF=−4t23+4t2，
不妨设直线EF与x轴交于点T(xT,0)，
当直线EF斜率存在时，
此时3t4+3t2−44+3t2−xT=−3t3+4t2−4t23+4t2−xT，
解得(7t2+7)xT=−(4t2+4)，
即xT=−4t2+47t2+7=−47，
则直线EF恒过点T(−47,0)；
当直线EF斜率不存在时，
此时−44+3t2=−4t23+4t2，
解得t2=1，
即xE=xF=−47，
则直线EF恒过点T(−47,0)；

若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，
此时直线EF为x轴，恒过T(−47,0)，
综上，直线EF恒过点T(−47,0)，
因为NH⊥EF，
所以NH⊥HT，
此时H在以NT中点(−1114,0)为圆心，|NT|为直径的圆上，
取G(−1114,0)，
可得|GH|=12|NT|=314为定值；
故存在点G(−1114,0)，使得|GH|为定值．
【解析】(1)由题意，先利用DQ= 32DP得到点Q坐标关于点P坐标的表示，再利用直接代入法即可求得点Q的轨迹方程；
(2)分类讨论两条相交弦的斜率情况，利用韦达定理证得直线EF恒过定点T(−47,0)，又由NH⊥HT得到点H的轨迹，从而得到定点G使得|GH|为定值，由此得解．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=2x+a=ax+2x，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，
当a<0时，若x∈(0,−2a)，则f′(x)>0，若x∈(−2a,+∞)，则f′(x)<0，
故f(x)在(0,−2a)递增，在(−2a,+∞)递减；
(2)证明：g(x)=f(x)+x2+ax=2lnx+(x+a)2，
则g′(x)=2(x2+ax+1)x，
由题意可知x1，x2是方程x2+ax+1=0的根，故x1+x2=−a，x1x2=1，
由x1>0，x2>0，x1要证g(x2)>x1，只需证明g(x2)x1>1，
g(x2)x1=x2g(x2)=2x2lnx2+x2(x2+a)2=2x2lnx2+1x2，
令h(x)=2xlnx+1x(x>1)，则h′(x)=2lnx+2−1x2>0，
故h(x)在(1,+∞)递增，故h(x)>h(1)=1，
故g(x2)x1>1，即g(x2)>x1．
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)求出函数的导数，得到a=−x2−1x2，求出g(x2)x1=2x2lnx2+1x2，令h(x)=2xlnx+1x(x>1)，根据函数的单调性证明结论成立即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
22.【答案】解：(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=6csθ+2sinθ，
∴ρ2=6ρcsθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即(x−3)2+(y−1)2=10．
∵直线l的参数方程为x=1− 2ty=2+ 2t(t为参数)，
∴x+y=3.即直线l的普通方程为x+y=3．
(2)直线l的标准参数方程为x=1− 22ty=2+ 22t，代入曲线C的普通方程得t2+3 2t−5=0．
∴|QA|⋅|QB|=|t1t2|=5．
【解析】(1)对ρ=6csθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；
(2)求出直线l的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．
本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．男
女
总计
喜欢
50
40
90
不喜欢
20
30
50
总计
70
70
140
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828