2022-2023学年四川省眉山市北外附东坡外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年四川省眉山市北外附东坡外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在230°，320°，310°，−310°中，与50°终边相同的是( )
A. 230°B. 320°C. 310°D. −310°
2.令a=sin(−π10)，b=sin(−π18)，判断a与b的大小关系是( )
A. a>bB. a3.若sinα=−513，α为第四象限角，则tanα的值等于
( )
A. 125B. −125C. 512D. −512
4. 22cs15°− 22sin195°的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
5.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A. y=cs|2x|B. y=|sinx|
C. y=sin(2x+π2)D. y=cs(2x−3π2)
6.已知sin(π6+α)=13，且α∈(π3,π)，则cs(56π−α)的值为( )
A. 13B. −13C. 2 23D. −2 23
7.函数y=3cs2x−4csx+1的最小值是( )
A. −13B. 154C. 0D. −14
8.若函数f(x)=2sin(ωx+π3)是区间[0,π2]上的减函数，则ω的取值范围是( )
A. (−∞,−53]B. [−53,0)C. [73,+∞)D. (0,73]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角α的终边经过点P(−4m,3m)(m≠0)，则2sinα+csα的值可能为( )
A. 35B. −35C. 25D. −25
10.下列说法正确的有( )
A. 经过30分钟，钟表的分针转过−2π弧度
B. 若sinθ>0，csθ<0，则θ为第二象限角
C. 若sinθ+csθ>1，则θ为第一象限角
D. 函数y=sin|x|是周期为π的偶函数
11.已知θ∈(π,2π)，sinθ−csθ=15，则下列结论正确的是( )
A. θ∈(π,3π2)B. csθ=−45
C. tanθ=−34D. sinθ+csθ=−75
12.已知函数f(x)= 3cs(2x−π3)(x∈R)，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)图象关于点(5π12,0)对称
C. 函数f(x)在区间[0,π2]上是减函数D. 函数f(x)的图象关于直线x=π6对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如果角α是第三象限角，则点P(tanα,sinα)位于第______象限．
14.当函数y=2sin(3x+π6)取得最大值时的x的集合为______．
15.已知1+2sinθcsθsin2θ−cs2θ=2，则tanθ= ______．
16.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1−csθ为角θ的正矢，记作versinθ，定义1−sinθ为角θ的余矢，记作cversinθ，则下列命题中正确的序号是______．
①函数y=cversinx−versinx在[π4,π]上是减函数；
②若cversinx−1versinx−1=2，则cversin2x−versin2x=−75；
③函数f(x)=versin(2020x−π3)+cver(2020x+π6)，则f(x)的最大值2+ 2；
④versin(π2−θ)=cversinθ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合．
(2)已知角α=−1725°，将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角．
18.(本小题12分)
已知半径为2 2的圆O中，弦AB的长为4．
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．
19.(本小题12分)
已知f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)cs(−α)sin(−π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若sin(α−3π2)=15，求f(α)的值．
20.(本小题12分)
(1)已知tanα=3，计算2sinα+csα5csα−sinα；
(2)已知α，β都是锐角，sinα=45,cs(α+β)=513，求csβ的值．
21.(本小题12分)
已知sin(α+β)=−35，α∈(0,π2)，β∈(π2,π)．
(1)若csβ=−1213，求sinα；
(2)若sin(α−β)=−23，求tanαtanβ．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图像上相邻两个最高点的距离为π．
(1)求函数f(x)的解析式和对称中心；
(2)求y=ln[f(x)+1]的定义域；
(3)函数g(x)=f(x)−32在区间(0,π2)上恰有2个零点x1，x2(x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：与50°终边相同的角为50°+k⋅360°，k∈Z，
当k=−1时，角为310°，
结合选项可知，只有C符合题意．
故选：C．
由已知结合终边相同角的表示即可求解．
本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为函数y=sinx在(−π2,0)上单调递增，且−π2<−π10<−π18<0，
所以a=sin(−π10)故选：B．
利用正弦函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查三角函数线，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系式求出csα，然后求解即可．
【解答】
解：∵sinα=−513，α为第四象限角，
∴csα= 1−sin2α=1213，
即tanα=sinαcsα=−512．
故选D．
4.【答案】A
【解析】解： 22cs15°− 22sin195°=cs45°cs15°−sin45°sin(180°+15°)=cs45°cs15°+sin45°sin15°
=cs(45°−15°)=cs30°= 32，
故选：A．
利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及两角和差的三角公式是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：函数y=cs|2x|为偶函数，函数y=|sinx|为偶函数，函数y=sin(2x+π2)=cs2x为偶函数，函数y=cs(2x−3π2)=−sin2x为奇函数，且周期为π的函数；
故选：D．
直接利用三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
根据角α的范围及同角三角函数的基本关系求出cs(π6+α)，再利用诱导公式求解即可．
【解答】
解：因为α∈(π3,π)，所以π6+α∈(π2,7π6)，
因为sin(π6+α)=13，所以cs(π6+α)=− 1−sin2(π6+α)=−2 23，
所以cs(56π−α)=cs[π−(π6+α)]=−cs(π6+α)=2 23．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：函数y=3cs2x−4csx+1=3(csx−23)2−13，
又函数csx∈[−1,1]，
所以当csx=23时，函数y=3(csx−23)2−13的最小值为−13．
故选：A．
根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：当ω=0时，显然不满足题意；
当ω>0时，x∈[0,π2]，则ωx+π3∈[π3,πω2+π3]，
由正弦函数的图象可知f(x)在此区间上不可能为减函数，不满足题意；
当ω<0时，x∈[0,π2]，则ωx+π3∈[πω2+π3,π3]，
由正弦函数的图象可知，y=sinx在[−π2,π2]上为增函数，
由复合函数的单调性可得：πω2+π3≥−π2，解得ω≥−53，
所以−53≤ω<0．
故选：B．
分ω=0、ω>0、ω<0三种情况结合正弦函数、复合函数的单调性求解即可．
本题考查了正弦函数图象的性质、复合函数的单调性、分类讨论思想，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：由题意得点P到原点的距离r= (−4m)2+(3m)2=5|m|，
①当m>0时，r=5m，则sinα=3m5m=35,csα=−4m5m=−45，
所以2sinα+csα=2×35−45=25．
②当m<0时，r=−5m，则sinα=3m−5m=−35,csα=−4m−5m=45，
所以2sinα+csα=2×(−35)+45=−25．
综上，2sinα+csα的值为25或−25．
故选：CD．
由题意可求得点P到原点的距离r的值，分类讨论，利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了分类讨论思想，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
A根据角的弧度制定义判断，B根据象限角判断，C三角变换后，根据象限角判断，D举反例判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本概念，属基础题．
【解答】
解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过−π弧度，不是−2π弧度，所以A错；
对于B，由sinθ>0，csθ<0，可知θ为第二象限角，所以B对；
对于C，sinθ+csθ>1⇒sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ>1⇒2sinθcsθ>0，
又sinθ+csθ>1>0，
所以sinθ>0，csθ>0，即θ为第一象限角，所以C对；
对于D，函数y=sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f(π2)=1，f(π+π2)=−1，二者不等，所以D错；
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，sinθ−csθ=15①，
则(sinθ−csθ)2=1−2sinθcsθ=125，解得2sinθcsθ=2425，
∵θ∈(π,2π)，
∴sinθ<0，csθ<0，
∴θ∈(π,3π2)，故A正确；
对于BCD，∵θ∈(π,3π2)，
∴sinθ+csθ=− 1+2sinθcsθ=−75②，故D正确；
联立①②解得，sinθ=−35，csθ=−45，故B正确；
故tanθ=sinθcsθ=34，故C错误．
故选：ABD．
根据已知条件，结合三角函数的同角关系，即可依次求解．
本题主要考查三角函数的同角关系，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵函数f(x)= 3cs(2x−π3)(x∈R)，故它的最小正周期为2π2=π，故A正确；
令x=5π12，求得f(x)=0，可得函数f(x)图象关于点(5π12,0)对称，故B正确；
在区间[0,π2]上，2x−π3∈[−π3,2π3]，故函数f(x)在区间[0,π2]上不单调，故C错误；
令x=π6，求得f(x)=1，为最大值，可得函数f(x)图象关于直线x=π6对称，故D正确，
故选：ABD．
由题意，利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
13.【答案】四
【解析】解：角α是第三象限角，可得tanα>0，sinα<0，
则点P(tanα,sinα)位于第二象限，
故答案为：四．
由三角函数在各个象限的符号，可得结论．
本题考查三角函数在各个象限的符号，考查推理能力，属于基础题．
14.【答案】{x|x=π9+2kπ3,k∈Z}
【解析】解：依题意令3x+π6=π2+2kπ，k∈Z，
解得x=π9+2kπ3，k∈Z，
所以函数y=2sin(3x+π6)取得最大值时的x的集合为{x|x=π9+2kπ3,k∈Z}．
故答案为：{x|x=π9+2kπ3,k∈Z}．
根据正弦函数的性质计算可得．
本题考查三角函数的最值，考查整体思想与运算能力，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：因为1+2sinθcsθsin2θ−cs2θ=2，
所以(sinθ+csθ)2(sinθ−csθ)(sinθ+csθ)=sinθ+csθsinθ−csθ=tanθ+1tanθ−1=2，
解得tanθ=3．
故答案为：3．
由已知利用同角三角函数基本关系式以及平方和(差)公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及平方和(差)公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】②④
【解析】解：对于①：函数y=cversinx−versinx=1−sinx−(1−csx)=−(sinx−csx)=− 2sin(x−π4)，由于x∈[π4,π]，故(x−π4)∈[0,3π4]，所以函数在该区间上不单调，故①错误．
对于②：cversinx−1versinx−1=1−sinx−11−csx−1=tanx=2，所以cversin2x−versin2x=−sin2x+cs2x=−2tanx1+tan2x+1−tan2x1+tan2x=−75，故②正确；
对于③：函数f(x)=versin(2020x−π3)+cver(2020x+π6)=1−cs(2020x−π3)+1−sin(2020x+π6)=−2sin(2020x+π6)，函数的最大值为2，故③错误；
对于④：versin(π2−θ)=1−cs(π2−θ)=1−sinθ=cversinθ，故④正确；
故选：②④．
直接利用定义性函数和三角函数关系式的变换判断①②③④的结论．
本题考查的知识要点：定义性函数，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)①{α|−30°+k⋅360°≤α≤k⋅360°,k∈Z}∪{α|150°+k⋅360°≤α≤180°+k⋅360°,k∈Z}
={α|−30°+k⋅180°≤α≤k⋅180°,k∈Z}；
②{α|−30°+k⋅360°<α<60°+k⋅360°,k∈Z}．
(2)∵−1725°=−5×360°+75°，∴−1725°=−10π+5π12．
又0<5π12<π2，
∴α与5π12终边相同，是第一象限角．
【解析】(1)根据终边相同的角及角的概念求解即可得；
(2)根据弧度制与角度概念转化书写即可．
本题主要考查象限角、轴线角的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵圆O的半径为2 2，弦AB的长为4，∴OA=OB=2 2，AB=4，
∴OA2+OB2=AB2，故△OAB为直角三角形，且∠AOB为直角，
∴弦AB所对圆心角α为π2；
(2)由弧长公式得：l=αr=π2×2 2= 2π，
扇形的面积S1=12lr=12× 2π×2 2=2π，
又S△AOB=12×2 2×2 2=4，
∴S=S1−S△AOB=2π−4，即弧所在的弓形的面积S=2π−4．
【解析】(1)由已知判断△OAB的形状，由此确定圆心角α的大小；
(2)根据扇形的弧长以及面积公式求解．
本题主要考查扇形面积公式，弧长公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(α)=−csαsinαcsαsinα=−cs2α；
(2)由sin(α−3π2)=15，得csα=15，
所以f(α)=−(15)2=−125．
【解析】根据诱导公式化简求值．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
20.【答案】解：(1)2sinα+csα5csα−sinα=2tanα+15−tanα=2×3+15−3=72；
(2)因为α，β都是锐角，则0<α+β<π，
又sinα=45,cs(α+β)=513，所以csα= 1−sin2α=35，
sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=1213，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=513×35+1213×45=6365．
【解析】(1)利用弦化切即可求解；(2)先求出α+β的范围，然后利用正余弦的同角关系求出csα，sin(α+β)的值，再由csβ=cs[(α+β)−α]化简即可求解．
本题考查了同角三角函数关系以及两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到弦化切的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，
所以π2<α+β<3π2，
因为sin(α+β)=−35，
所以cs(α+β)=−45，
因为csβ=−1213，
所以sinβ=513，
sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−sinβcs(α+β)=−35×(−1213)−513×(−45)=5665；
(2)因为sin(α−β)=sinαcsβ−sinβcsα=−23，
又sin(α+β)=sinαcsβ+sinβcsα=−35，
所以sinαcsβ=−1930，sinβcsα=130，
所以tanαtanβ=sinαcsβsinβcsα=−19．
【解析】(1)由已知结合同角平方关系先求出cs(α+β)，sinβ，然后结合两角差的余弦公式可求；
(2)由已知sin(α−β)=sinαcsβ−sinβcsα，sin(α+β)=sinαcsβ+sinβcsα，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为图像上相邻两个最高点的距离为π，所以周期T=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
则f(x)=2sin(2x+π6)，
由2x+π6=kπ，k∈Z，得x=kπ2−π12，k∈Z，
所以f(x)的中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)．
(2)因为y=ln[f(x)+1]=ln[2sin(2x+π6)+1]，
由2sin(2x+π6)+1>0，得sin(2x+π6)>−12，
所以2kπ−π6<2x+π6<2kπ+7π6，k∈Z，
解得kπ−π6所以y=ln[f(x)+1]的定义域为(kπ−π6,kπ+π2)(k∈Z)．
(3)g(x)在区间(0,π2)上恰有2个零点x1，x2(x1对于函数f(x)=2sin(2x+π6)，由2x+π6=π2+kπ，k∈Z，得x=kπ2+π6，k∈Z，
当x∈(0,π2)时，函数f(x)图像的对称轴为x=π6，
所以x1+x2=π3，则x1=π3−x2，
所以cs(x1−x2)=cs(π3−2x2)=cs[π2−(2x2+π6)]=sin(2x2+π6)，
又f(x2)=sin(2x2+π6)=34，故cs(x1−x2)=34．
【解析】(1)根据正弦函数的周期性得ω的值，从而确定解析式，再根据对称性得对称中心；
(2)根据复合对数函数的定义域列三角不等式，结合正弦函数的图象性质解三角不等式即可得函数y=ln[f(x)+1]的定义域；
(3)根据三角函数的对称性结合诱导公式即可得cs(x1−x2)的值．
本题主要考查三角函数的相关知识，考查计算能力，属于中档题．

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