内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期第一次学情诊断（4月月考）数学试题

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期第一次学情诊断（4月月考）数学试题，共14页。试卷主要包含了，则，已知，若，则，中，角的对边分别为，则，在中，，且的面积为，则等内容，欢迎下载使用。

数学
总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王浩 审题人：王东
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上答题无效.
一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
1.（ ）
A.-1 B.1 C. D.
2.若为奇函数，则的值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，若，则（ ）
A.1 B.-1 C. D.
5.在中，为的中点，为边上的点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.中，角的对边分别为，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
7.在中，，且的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
8.锐角中内角所对边分别为，若，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C.图象的对称中心为
D.直线是图象的一条对称轴
11.记的内角的对边分别为，已知，且有两解，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
12.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ）
A.点，与向量共线的单位向量为
B.非零向量和满足，则与的夹角为
C.已知平面向量，若向量与的夹角为锐角，则
D.向量，则在上的投影向量的坐标为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.向量“”是向量“”的__________条件.
14.已知，则的值为__________.
15.在中，角所对的边分别为，若，，且，则__________.
16.已知非零向量，满足，且，则的最大值为__________.
四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知幂函数在上为严格减函数.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）在中，角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）为边上一点，，求长.
19.（12分）已知函数.
（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）求函数在上的单调递增区间.
20.（12分）已知在中，内角所对的边分别为，其中.
（1）求；
（2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
21.（12分）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.
（1）若向量，求；
（2）若平行四边形的面积为4，求；
22.（12分）已知锐角的内角的对边分别为，.
（1）求角；
（2）求面积的取值范围.
达旗一中高一年级第一次月考参考答案
1.C 【分析】根据复数的除法结合虚数单位的性质，即可求得答案.
【详解】由题意得，
2.D 【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值.
【详解】由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以.
3.C 【分析】根据同角三角函数的关系平方求解，结合二倍角公式求解即可.
【详解】，平方可得，
4.A 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】，由得，
解得.
5.A 【分析】根据已知可推得.然后根据，即可得出答案.
【详解】
因为为的中点，所以.
又因为，，所以.
所以，.
6.D 【分析】根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解.
【详解】由余弦定理得.
又因为，所以，
故.
故选：D.
7.D 【分析】先利用正弦定理角化边可得，再由三角形面积公式可得，最后根据余弦定理求解即可.
【详解】设中角所对的边分别为，
因为，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，
8.B 【分析】由锐角三角形的性质，先求出角的范围，结合正弦定理进行转化求解即可
【详解】由正弦定理得，又，所以，
因为，所以，即，因为为锐角，所以，
又，所以，所以，即，
故的取值范围是.
9.BD 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.
【详解】对于，取，满足，取，有，A错误；
对于，由，得，而，因此，B正确；
对于，取错误；
对于D，由，得，因此正确.
10.BC 【分析】利用部分图象，求出的解析式，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】对于，由图象可知，
又图象过，则，又，则错误；
对于，又图象过，则，故正确；
对于，所以的解析式为，
由，得，
所以图象的对称中心为正确，
对于D，，
所以直线不是图象的一条对称轴，D错误.
11.BC 【分析】利用正弦定理及条件可得，进而即得.
【详解】因为，
所以，
因为有两解，则，
即.
12.AC 【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即可判断；对于B，利用向量数量积的运算法则，结合夹角公式即可判断；对于，检验的情况即可判断；对于，利用投影向量的公式即可判断.
【详解】对于，因为，则，
所以与向量共线的单位向量为，故A错误；
对于，因为，所以，
则，化简得，
所以，即，
又，
所以，
因为，所以，故B正确；
对于，因为，
当时，，得，
经检验，当时，同向共线，即此时的夹角不为锐角，故错误；
对于D，因为，，
所以在上的投影向量的坐标为，故D正确.
13.充分不必要 【分析】向量相等指向量的大小和方向都相等，进而可得结果
【详解】向量“”指的大小和方向都相等，
故向量“”是向量“”的充分非必要条件，
14.2 【分析】
利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.
【详解】
因为，等式左边分子､分母同时除以得，，解得，
15.2 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理求得，由及弦定理求得和的值，从而求出的值.
【详解】，由正弦定理可得，
，
，
由余弦定理，，得，解得.
16.（原创题）
终点在以AB为直径的圆上
最大值
在中，为中边上中线.
又
半径
综上所述
17.（1）-3（2）
【分析】（1）根据幂函数定义先求出，在根据幂函数性质检验的值是否满足题意；
（2）根据幂函数性质求解即可.
【详解】（1）因为函数是幂函数，
所以，得或，
因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意，
所以.
（2）由（1）可得
设函数，
因为函数在上严格单调递减，
所以或或，得或.
所以实数的取值范围是.
18.（1）；（2）.
【详解】（1）由正弦定理得：，
，
显然则，
又，故；
（2）因为，
根据余弦定理得：
.
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
19.（1），对称轴方程为；（2）和
【分析】（1）直接对的表达式进行三角恒等变换即可求出解析式，进而得到其图象的对称轴方程；
（2）先考虑的单调递增区间，然后令属于该区间即可解得的单调区间.
【详解】（1），由，解得；
所以，函数图象的对称轴方程为；
（2）当时，有，要使单调递增，
则需要，或，
解得，或
故函数在上的单调递增区间为和.
20.（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）根据题意可得，
由正弦定理得，
又
故，
又，所以，则，
因为，所以.
（2）因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得（负值舍去），
故的周长为.
21.（1）14（2）4
【分析】（1）利用向量数量积的运算求得，从而利用新定义即可得解；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解；
（3）利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为，
则
所以，
因为是向量的夹角，所以，
因此，故.
（2）因为平行四边形的面积为4，
所以，所以.
22.（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式､二倍角的正弦公式化简，计算作答.
（2）利用正弦定理将表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）在锐角中，由正弦定理及得：，
而，则，又，因此，即，
所以.
（2）在锐角中，由（1）知，，有，令，则，
由正弦定理得的面积
，
由得，于是得，
所以面积的取值范围是.