内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷

这是一份内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了下列关于圆的说法中正确的个数为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：张锁强 校对人：易永胜
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号和座位号填写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．作答时，请考生将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请考生将答题卡交回，将试题自行保留．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．192
3．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线,则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q,R,S,T四个点处，对火星的观测角最大的是（ ）
图1 图2
A．Q B．R C．S D．T
4．设,其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若,则）
A．7539 B．6038 C．7028 D．6587
5．在直三棱柱中，,且,若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．己知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与C的左支交于M、N两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在辽宁电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关，为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的100名选手的闯关情况，第一关闯关成功的有70人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有63人，以闯关成功的频率近似作为闯关成功的概率，已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.431
8．下列关于圆的说法中正确的个数为（ ）
①圆C的圆心为,半径为2；
②直线与圆C相交；
③圆C与圆相交；
④过点作圆C的切线，切线方程为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．少选得2分，选错得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强
B．若随机变量,且，则
C．若随机变量，则
D．一组数据12、17、8、13、10、22、16、15、6、19的80%分位数为17
10．等差数列的前n项和为,公差为d，若,则（ ）
A． B．
C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值
11．在棱长为a的正方体中，则（ ）
A．平面
B．直线平面所成角为
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．点到平面的距离为
12．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（ ）
A．最多需要检测4次可确定患病者
B．第2次检测后就可确定患病者的概率为
C．第3次检测后就可确定患病者的概率为
D．检测次数的期望为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有_________种排法（用数字作答）．
14．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为2%和5%．现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%,则推测乙车间的次品率为_________．
15．在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围，令,求得回归直线方程,则该模型的回归方程为_________．
16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则_________
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知是等差数列，其中．
（1）求的通项公式；
（2）求的值．
18．（12分）环保部门随机调查了某市2022年中100天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天）：
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”．
（1）估计该市2022年（365天）“空气质量好”的天数（结果四舍五入保留整数）；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附:
19．（12分）新高考方案的考试科目简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目．假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等．
（1）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；
（2）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立，用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望．
20．（12分）如图1，四边形为等腰梯形，,将沿折起，E为的中点，连接,如图2，若．
图1 图2
（1）求线段的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）某次考试中，英语成绩服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如下．
（1）如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布）
（2）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
附公式：若,则．
22．（12分）已知点,点A,B分别为椭圆的左、右顶点．直线交曲线C于点是等腰直角三角形，且．
（1）求C的方程；
（2）设过点P的动直线l与C相交于M,N两点．当以为直径的圆过坐标原点O时，求直线l的斜率．
内师大附中2022级高二年级第二学期4月月考
数学参考答案
1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．AB 10．BC 11．AC 12．AB
13．1440 14．3% 15． 16．
17．解：（1）设等差数列的公差为d,
因为,所以,
所以,所以． 5分
（2）因为是等差数列，所以是首项为，
公差为的等差数列，共有10项，
． 10分
18．解：（1）依题意可得，该市一天的空气质量等级为1的概率为,
等级为2的概率为，
所以“空气质量好”的概率为， 4分
所以该市2022年（365天）“空气质量好”的天数为（天）． 6分
（2）依题意列联表如下所示：
8分
所以， 11分
因此没有99%的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 12分
19．解：（1）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件A,
因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等，
所以，
则该同学选修物理、化学和生物的概率为． 4分
（2）随机变量的所有可能取值有0,1,2,3．
因为，
，
， 8分
所以的分布列为：
10分
所以数学期望． 12分
20．解：（1）在图1中作于H,
则，
在中，,
则，又B为锐角，解得，
因为四边形为等腰梯形，则,
在中，,
则．
图1
所以,则．
在图2中，因为平面,
图2
所以平面．
取中点F,连接,
因为E为的中点，所以,
所以平面,又平面,
所以,
因为是的中点，
所以．
则两两垂直， 4分
以F为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
如图，
则， 5分
∴线段的长为; 6分
（2）由（1）得，，
,
则， 7分
设平面的法向量为,
则，即
取,可得． 9分
设直线与平面所成的角为，
则． 11分
所以直线与平面所成角的正弦值为． 12分
21．解：
（1）, 2分
．
故英语成绩特别优秀的有人． 4分
由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为
故数学成绩特别优秀的有人． 6分
（2）依题意：，
，
，
，
8分
其分布列为：
10分
． 12分
22．解：（1）由题意是等腰直角三角形，原点O是中点，
所以,则,
设点,
因为,所以,
则，解得，则，
将Q点代入，解得，
所以椭圆C的方程为； 4分
（2）直线l的斜率不存在时，M,N为椭圆C的上下顶点，即为，
则以为直径的圆的方程为,不经过坐标原点O,不合题意； 6分
当直线l斜率存在时，设l的方程为，
联立，整理可得,
则，解得，
所以， 8分
当以为直径的圆过坐标原点O时，
则为直角，则,
所以,
则
． 10分
解得，即，
满足，符合题意， 11分
所以当以为直径的圆过坐标原点O时，直线l的斜率为． 12分
1（优）
6
10
25
2（良）
9
10
12
3（轻度污染）
7
8
7
4（中度污染）
3
2
1
人次
人次
空气质量好
空气质量不好
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
人次
人次
空气质量好
35
37
空气质量不好
20
8
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P