2024届山西省平遥县第二中学校高三冲刺调研押题卷数学（二）（原卷版+解析版）

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（120分钟 150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
2. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
3. 如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线：，为上一点，，，当最小时，（ ）
A. B. C. D. 18
5. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列满足，，且对任意的都有，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点．若曲线上存在两点，使正三角形，则称为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：
①；②；③．
其中，“正三角形”曲线的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A. 若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
B. 若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法
C. 若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法
D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数定义域为，则函数的定义域为
B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C. 函数在区间上单调递减
D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
11. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（ ）
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的表面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知的展开式中的系数为5，则________．
13. 已知内角的对边分别为，，，且满足，，则____________；的中线的最大值为____________.
14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知数列的前项和为，，且当时，，
（1）证明：数列等差数列；
（2）设数列满足，求的值.
16. 如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，，且，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．
17. 伴随着网络购物的深入普及，购物形式日渐多样化，打破了传统购物的局限性．有研究表明，网络购物与人的年龄存在一定的关系．某调研机构随机抽取50人近三天的网络购物情况，得到了如下统计表：
（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成网络购物列联表，并判断是否有的把握认为“使用网络购物”与人的年龄有关；
（2）若从年龄在，内被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用网络购物”的人数为．
①求随机变量的分布列；
②求随机变量的数学期望．
参考数据：
参考公式：，其中．
18. 已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，
（1）若过点，点，到直线的距离分别为，，且，求的方程；
（2）若点的坐标为，直线过点交于另一点，当直线与的斜率之和为2时，证明：直线过定点.
19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
（1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值．
年龄/岁
人数
10
10
10
10
5
5
使用网购人数
8
10
7
7
2
1
年龄不低于55岁
年龄低于55岁
合计
使用
不使用
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828