福建省莆田华侨中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

这是一份福建省莆田华侨中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了若i=1,则z−z=，下列说法中错误的是等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∣x2−4x+3≤0,B={−1,1,2,4},则A∩B=( )
A.{1,2,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{−1,1,2}
2.若i(1+z)=1,则z−z=( )
A.-2 B.0 C.2i D.−2i
3.如图所示,在△ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,则DE=( )
A.−13BA−16BC B.−16BA−13BC
C.−56BA−13BC D.−56BA+13BC
4.已知复数z满足z−2z=1−3i(i为虚数单位),则z对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知点O(0,0),向量OA=(2,3),OB=(6,−3)点P是直线AB上一点,满足AP=2PB,则点P的坐标是( )
A.143,−1. B.103,1 C.143,−1或(10,−9) D.103,1或(10,−9)
6.在△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin⁡A+acs⁡B=0,则B=( )
A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4
7.已知向量a,b满足|a+b|=|a−b|,则a+b在a方向上的投影向量为( )
A.a B.b C.2a D.2b
8.如图,AB为半圆的直径,点C为AB的中点,点M为线段AB上的一点(含端点A,B),若AB=2,则|AC+MB|的取值范围是( )
A.[1,3] B.[2,3] C.[3,10] D.[2,10]
二.多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中错误的是( )
A.若a//b,b//c,c//d,则a//d B.若|a|=|b|且a//b,则a=b
C.若a,b非零向量且|a+b|=|a−b∣,则a⊥b D.若a//b,则有且只有一个实数λ,使得a=λb
10.已知复数z1,z2,下列命题正确的是( )
A.z1z2=z1z2 B.若z1=z2,则z1=z2
C.z1z1=z12 D.若z12=z12,则z1为实数
11.在△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,下列叙述正确的是( )
A.若A=45∘,a=2,b=3,则△ABC有两解
B.若acs⁡B=bcs⁡A,则△ABC为等腰三角形
C.若△ABC为锐角三角形,则sin⁡A>cs⁡B
D.若sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=2:3:4,则△ABC为锐角三角形
三、填空题:本题共3小题,每小题5分:共15分.
12.已知复数z满足z(1+2i)=|4−3i|(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为______.
13.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a,b的夹角为150∘,则2a+b与a的夹角为______.
14.已知△ABC的外接圆O的半径为733,AC的长为7,△ABC周长的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)
设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,−2),C(4,1).
(1)若AB=CD,求D点的坐标;
(2)设向量a=AB,b=BC,若向量ka−b与a+3b平行,求实数k的值.
16.(15分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,b=6,锐角C满足sin⁡C=223.
(1)求c的值.
(2)求sin⁡A的值.
17.(15分)
已知△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120∘,点D在边BC上且满足CD=2BD,AD交CE于点F.
(1)求|AD|;
(2)若点E为边AB中点,求cs⁡∠DFE
18.（17分)
如图所示,公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=6 km,OB=63 km,∠AOB=90∘:市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B些合,M在A,N之间),且∠MON=30∘.
(1)若M在距离A点4 km处,求OM的长度；
(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积尽可能小,设∠AOM=α,试确定α的值，使△OMN的面积最小,并求出最小面积.
19.（17分)
已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin⁡x+bcs⁡x,称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数.
（1）设函数g(x)=sin⁡x+5π6−sin⁡3π2−x,试求g(x)的相伴特征向量OM;
（2）记向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x),求当f(x)=85且x∈−π3,π6,sin⁡x的值；
（3）已知A(−2,3),B(2,6),OT=(−3,1)为ℎ(x)=msin⁡x−π6的相伴特征向量,φ(x)=ℎx2−π3,请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P,使得AP⊥BP.若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.