吉林省长春市第六中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试（4月）数学试题(无答案)

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这是一份吉林省长春市第六中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试（4月）数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分答题时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中选择一个学科参加，则不同的选法共有（）．
A．9种B．11种C．20种D．99种
2．已知函数的图象与直线相切于点，则（）．
A．4B．8C．0D．
3．设双曲线C的方程为，若C的一条渐近线的斜率为，则C的离心率为（）．
A．B．C．D．
4．数列的前n项和为（）．
A．B．C．D．
5．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（）．
A．B．C．D．
6．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资．已知A地距离上海，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为．已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（）．
A．B．C．D．
7．在中，，，BC边上的中线，则的面积S为（）．
A．B．C．D．
8．若函数（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）．
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．下列求导运算正确的是（）．
A．B．
C．D．
10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）．
A．的周长为10B．面积的最大值为25
C．的最小值为1D．椭圆C的离心率为
11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）．
A．B．
C．D．
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有__________种．
13．已知数列的前n项和为，，，则__________．
14．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求的最小值．
16．（15分）如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点E是棱的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
17．（15分）已知数列满足，数列是以2为首项2为公差的等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l与C交于P，Q两点，，，设直线AP，BP，BQ的斜宰分别为，，．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）证明：为定值．
19．（17分）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．