广西崇左市天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷

这是一份广西崇左市天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z-iz+1=i，则复数z=( )
A. 1-iB. 1+iC. -1-iD. -1+i
2.已知向量a与b的夹角为45°，|a|= 2，|b|=2，则a⋅(a-2b)=( )
A. 2B. -2C. 4D. -4
3.已知复数z满足(1-i)z=2i(i为虚数单位)，则z-(z-为z的共轭复数)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知向量a=(1,2)，b=(3,0)，若(λa-b)⊥a，则实数λ=( )
A. 0B. 35C. 1D. 3
5.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E,F分别为BC,CD的中点，G为EF中点，则AG=( )
A. 23AB+13ADB. 13AB+23ADC. 34AB+34ADD. 23AB+23AD
6.已知向量a=(m-1,1)，b=(m,-2)，则“m=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若c=2a，bsinB-asinA=12asinC，则sinB等于( )
A. 74B. 34C. 73D. 13
8.已知平面向量a=(-1,1)，b=(3,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. (1,0)B. (-3 1010,- 1010)
C. (1,13)D. (-35,-15)
二、多选题：本题共4小题，共21分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,-2)，b=(-2,4)，则下列结论正确的是．
( )
A. a//bB. a与b可以作为一组基底
C. 2a+b=0D. b-a与a方向相同
10.在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 3km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A. 北偏西300B. 北偏西600C. 20km/hD. 30km/h
11.已知复数z=i1-i，则以下说法正确的是
( )
A. 复数z的虚部为i2B. |z|= 22
C. z的共轭复数z=12-i2D. 在复平面内与z对应的点在第二象限
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBcsC=b2a-c，S△ABC=3 34，且b= 3，则( )
A. csB=12B. csB= 32C. a+c= 3D. a+c=2 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a与向量b夹角为60°，且|a|=1，b=(3,4)，要使2a+λb与a垂直，则λ= ．
14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsC+ccsB=asinA，则A=______．
15.已知▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2+b2-c22a-csinB=a，则B= ．
16.i是虚数单位，复数8-i2+i= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3,4)，z2对应的向量坐标为(0,1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)．
(1)求z；
(2)求|(z+i)z2|.
18.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，b=(4,-3)．
(1)若向量c//a，且|c|=2 5，求c的坐标；
(2)若向量a+kb与a-kb互相垂直，求实数k的值．
19.(本小题12分)
如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，|AB|=3，|AC|=6．
(1)用AB，AC表示AD和EB；
(2)求向量EB与EC夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2=ab．
(1)求C；
(2)若acsB+bsinA=c，c= 3，求a．
21.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a+c)(sinA-sinC)=( 3a-b)sinB.
(1)求角C的值;
(2)若sinAsinB= 34，c=2，求△ABC的面积．
22.(本小题12分)
某海轮以0.5海里/分钟的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】
解：∵z-iz+1=i，
∴z-i=zi+i，
∴z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2+2i2=-1+i，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．
直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可．
【解答】
解：向量a与b的夹角为45°，|a|= 2，|b|=2，
则a⋅(a-2b)=a2-2a⋅b=2-2× 2×2× 22=-2．
故选B．
3.【答案】D
【解析】解：∵(1-i)z=2i，
∴z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，
∴z-=-1-i，
∴z-在平面内对应的点(-1,-1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算可得，z=-1+i，再结合共轭复数的概念和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念和复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
根据题意，求出λa-b的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得(λa-b)⋅a=1×(λ-3)+4λ=5λ-3=0，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a=(1,2)，b=(3,0)，则λa-b=(λ-3,2λ)，
若(λa-b)⊥a，则(λa-b)⋅a=1×(λ-3)+4λ=5λ-3=0，
则λ=35，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)，∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34，
∴AG=34AB+34AD．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
由向量垂直的坐标表示求得m值，结合充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
【解答】
解：∵a=(m-1,1)，b=(m,-2)，
∴a⊥b⇔m(m-1)-2=0．
由m(m-1)-2=0，解得m=-1或m=2．
∴“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】解：∵bsinB-asinA=12asinC，
∴由正弦定理可得：b2-a2=12ac，
又∵c=2a，
∴a2+c2-b2=4a2-12ac=3a2，
∴利用余弦定理可得：csB=a2+c2-b22ac=3a22a⋅2a=34，
∴由于0