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2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题01 数与式的相关概念 （原卷版+解析版）
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这是一份2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题01 数与式的相关概念 （原卷版+解析版），文件包含专题01数与式的相关概念原卷版docx、专题01数与式的相关概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年广东）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作( )
A. −5元B. 0元C. +5元D. +10元
【变式演练】
1．（2023年浙江）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是−20℃，−10℃，0℃，2℃，其中最低气温是( )
A. −20℃B. −10℃C. 0℃D. 2℃
2．（2023年江苏）下列数中，属于负数的是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. 0
题型02 相反数、绝对值与倒数
【解题策略】
【典例分析】
例1．（相反数）（2023年安徽）−5的相反数是( )
A. −5B. −15C. 15D. 5
例2．（绝对值）（2023年湖北）−2023的绝对值等于( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
例3．（倒数）（2023年四川）−2023的倒数为( )
A. 2023B. 12023C. −2023D. −12023
【变式演练】
1．（2023年辽宁）2023的相反数是( )
A. −12023B. 12023C. −2023D. 2023
2．（2023年辽宁）−2023的绝对值是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
3．（2023年湖北）1− 2的绝对值是( )
A. 1− 2B. 2−1C. 1+ 2D. ±( 2−1)
4．（2023年辽宁）−12的倒数是( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
题型03 科学计数法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·湖南）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为( )
A. 443×105B. 4.43×107C. 4.43×108D. 0.443×108
例2．（2023年·山东）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 1.4×10−8B. 14×10−7C. 0.14×10−6D. 1.4×10−9
【变式演练】
1．（2023·福建）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为( )
A. 104×107B. 10.4×108C. 1.04×109D. 0.104×1010
2．（2023·四川）纳米是表示微小距离的单位，1纳米=0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为( )
A. 0.5×10−6B. 0.5×10−7C. 5×10−6D. 5×10−7
题型04 平方根、算术平方根、立方根
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·江苏）4的平方根是______；8的立方根是______．
例2．（2023年·江苏）实数9的算术平方根是( )
A. 3B. ±3C. 19D. −9
【变式演练】
1．（2023·广东）若x+3是4的平方根，y−1为−8的立方根，则x+y= ______ ．
2．（2023·山东）面积为9的正方形，其边长等于( )
A. 9的平方根B. 9的算术平方根
C. 9的立方根D. 9的算术平方根
题型05 二次根式有意义的条件
【解题策略】
一、二次根式及相关概念
1．二次根式：形如(a ≥0 )的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq \r(8)与eq \r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
二、二次根式的性质
（1）()2＝a(a≥0)．
（2）＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a<0）.))
（3）＝·(a≥0，b≥0)．
（4）(a≥0，b>0)．
（5）双重非负性：二次根式⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))
【典例分析】
例1．（2023年江苏）若 x−3 有意义，则x的取值范围是______；
【变式演练】
（2023年黑龙江）若式子 x+5x有意义，则x的取值范围是______．
题型06 二次根式的估值
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·江苏）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 10的点应在( )
A. 线段AB上B. 线段BC上C. 线段CD上D. 线段DE上
【变式演练】
（2023年·北京）写出比 2大且比 15小的整数 ．
题型07 分式的相关概念及性质
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖南模拟）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
例2．（2023·四川凉山）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
【变式演练】
1．（2023年浙江模拟）分式的值为零，则x的值为………………………………………………（ ）
A.2 B.﹣2 C.±2 D.任意实数
题型08 因式分解
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·湖南）44.2a2与4ab的公因式为______ ．
例2．（2023年·辽宁）因式分解：a3−a= ．
例3．（2023年·浙江）分解因式：x2−y2= ．
【变式演练】
1．（2023年·湖南）分解因式：a3+2a2b+ab2= ______ ．
2．（2023年·黑龙江）因式分解：x2+xy−xz−yz= ______ ．
3．（2023年·湖南）因式分解：x2−2x+1=_______．
题型09 数式规律与图形规律
【解题策略】
【典例分析】
例1．(2023年云南9题)按照一定规律排列的单项第n个单项式是( )
例2．(2023·山东省枣庄市)按一定规律排列的一组数据：12，−35，12，−717，926，−1137，….则按此规律排列的第10个数是( )
A. −19101B. 21101C. −1982D. 2182
例3．(2023·山西省)如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片(用含n的代数式表示)．
例4．(2023·四川省)观察下列等式：
2+22=23−2;
2+22+23=24−2;
2+22+23+24=25−2;
2+22+23+24+25=26−2;⋯
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，⋯，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+⋯+238+239+240=__________(结果用含m的式子表示)．
【变式演练】
1.（2023年云南模拟）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( )
A. n2an+1B. n2an−1C. nnan+1D. (n+1)2an
2．(2023·江苏省泰州市)按一定规律排列的一组数：12，16，112，120，…，1a，190，1b(其中a，b为整数)，则a+b的值为( )
A. 182B. 172C. 242D. 200
3．(2023·全国)按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，….则按此规律排列的第n个单项式为______ .(用含有n的代数式表示)
4.(2023·贵州省六盘水市)如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多______个.(用含n的代数式表示)
……
1．（2023年四川）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作( )
A. −10mB. +10mC. −8mD. +8m
2．（2023年福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作______ ．
3．（2023年甘肃）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“______ ．
4．（2023年辽宁）−0.5的倒数是( )
A. −2B. −5C. 0.5D. −12
5．（2023·浙江）实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
6．（2023·上海）计算：−｜−2｜= _________．
7．（2023·河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科学记数法表示为( )
A. 4.59×107B. 45.9×108C. 4.59×108D. 0.459×109
8．（2023·黑龙江）纳米是非常小的长度单位，1nm=0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为( )
A. 1×10−9B. 1×10−8C. 1×108D. 1×109
9．（2023·四川）−8的立方根为( )
A. ±4B. ±2C. −2D. 不存在
10．（2023年辽宁）若代数式 x+2x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
11．（2023年上海）当x_________时，二次根式 1x−2有意义．
12．（2023·北京）估计 11的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
12．（2023·江苏）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·陕西）分解因式：3x2−12=__▲__．
14．（2023·辽宁）因式分解：3x2−9x=______．
15．（2023·云南）分解因式：x2−4=____．
16．（2023·浙江）分解因式：x2−9= ．
17．（2023·湖南）分解因式：2x2−4x+2=__________．
18．（2023·内蒙古）分解因式x3−9x=________．
19. (2023·安徽省)
观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________(用含n的等式表示)，并证明．
20.(2023·安徽省宣城市)
观察下列各式：
1+112+122= 94=32=112=1+11×2=1+1−12，
1+122+132= 4936=76=116=1+12×3=1+12−13，
1+132+142= 169144=1312=1112=1+13×4=1+13−14，
请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：
(1)归纳规律： 1+1n2+1(n+1)2= ______ ；(n≥1，且n为整数)(直接写出结果)
(2)利用规律计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202．
21.(2022年云南8题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是( )
A. (2n−1)xnB. (2n+1)xnC. (n−1)xnD. (n+1)xn
（1）实数的分类：
（2）正负数的意义：
正数：大于0的数叫做正数
负数：在正数前面加上“－”号的数叫做负数
意义：用正数和负数表示一对具有相反意义的量，如规定“盈(+)”则“亏(一)”，“上升(+)”则“下降(-)”等.
相反数：只有符号相反的两个数叫做相反数
①a的相反数为-a；；
②若a与b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）；
③a-b的相反数为：-（a-b）或b-a。
绝对值：表示数轴上一个数a到原点的距离，即
①，故去却绝对值要先判断式子的正负；
②，故绝对值是它本身的数是0和正数；
③若，则a=0且b=0(a、b可以是多项式）。
倒数：若a·b=1，则a与b互为倒数
①.0没有倒数；
②每一个数的倒数和它本身的符号相同；
科学记数法
把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
科学记数法的表示方法：一般形式:a×10n.
1．a值的确定:1≤|a|<10.
2．n值的确定:
① 当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;
② 当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).
注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示
一、平方根：
意义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即对于一个非负数a（a≥0），其平方根为±a ，算术平方根为a.
注意事项与拓展:
1.正数的平方根必有2个，并且它们互为相反数，其中正的平方根为算术平方根；
2.0的平方根还是0，0的算术平方根也还是它本身；
3.负数没有平方根；
4.算术平方根的双重非负性→①被开方数a≥0，②算术平方根本身≥0；
二、算术平方根：
意义： 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作.
注意事项与拓展:
1.非负性：，
三、立方根：
意义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，即对于一个a，其立方根为 3a
注意事项与拓展:
正数的立方根是正数；
2. 负数的立方根是负数；
3. 0的立方根还是0
4.，
1. 确定二次根式相邻的两个连续整数
(1)先对根式平方；
(2)找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在开方后所得的这两个整数之间．
2. 确定二次根式最接近哪个整数
确定二次根式最接近哪个整数时，当得出形如(a ≥0 )介于哪两个连续整数之间之后，需先求这两个整数的平均数，然后比较a与平均数平方的大小，若a大于平均数的平方，则离较大的整数近，反之离较小的整数近．
分式概念
形如eq \f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
有意义的
条件
因为0不能做除数，所以在分式eq \f(A,B)中，若B≠0，则分式eq \f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq \f(A,B)没有意义．
值为0
在分式eq \f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq \f(A,B)的值为0
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq \f(A,B)＝eq \f(A×M,B×M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)
约分
将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
通分
将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
因式分解：
因式
分解
概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形式
因式分解方法
提公因
式法
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
公式法
① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
十字相乘法
一般地，=可以用十字交叉线表示
因式分解的一般步骤：：
一、找规律：找规律是指从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.
(1)数列规律
等差数列
1，3，5，7，9，……，2n-1 (n为正整数）
2，4，6，8，10，……，2n(n为正整数）
5，8，11，14，17，……，3n+2(n为正整数）
等比数列
2，4，8，16，32，……，2n (n为正整数）
1，2，4，8，16，……，2n-1 (n为正整数）
平方数列及衍生
1，4，9，16，25，…….，n2 (n为正整数）
22，5，10，17，26，……，n2+1 (n为正整数）
0，3，8，15，24，…….，n2-1 (n为正整数）
三角数列及衍生
1，3，6，10，15，21，…….，n(n+1) (n为正整数）
22，6，12，20，30，42，……，n(n+1)(n为正整数）
符号数列
-1，+1，-1，+1，-1，+1，……，(-1)n (n为正整数）
+1,-1,+1,-1,+1,-1,……, (-1)n+1 (n为正整数）
斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，……从第三项开始，每一项等于前两项之和.
(2)图形规律
将图形规律转化为数字规律，再利用数列规律解决问题；
通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题.
(3)周期与循环规律
①找准周期;
用总数除以周期取余数;
③余数是几，就和每个周期里第几个对应，能整除的则与每个周期最后一个对应.
(4)程序运算
一般是以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系.
【注意】程序运算题的常见特性：多次循环、周期性、多解性.
规律探索型问题解题技巧：
1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量，所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键，而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2、化繁为简，形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多，对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.
3、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律，而数学规律，多数是函数的解析式，函数的解析式里常常包含着数学运算，因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子，所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年广东）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作( )
A. −5元B. 0元C. +5元D. +10元
【变式演练】
1．（2023年浙江）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是−20℃，−10℃，0℃，2℃，其中最低气温是( )
A. −20℃B. −10℃C. 0℃D. 2℃
2．（2023年江苏）下列数中，属于负数的是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. 0
题型02 相反数、绝对值与倒数
【解题策略】
【典例分析】
例1．（相反数）（2023年安徽）−5的相反数是( )
A. −5B. −15C. 15D. 5
例2．（绝对值）（2023年湖北）−2023的绝对值等于( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
例3．（倒数）（2023年四川）−2023的倒数为( )
A. 2023B. 12023C. −2023D. −12023
【变式演练】
1．（2023年辽宁）2023的相反数是( )
A. −12023B. 12023C. −2023D. 2023
2．（2023年辽宁）−2023的绝对值是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
3．（2023年湖北）1− 2的绝对值是( )
A. 1− 2B. 2−1C. 1+ 2D. ±( 2−1)
4．（2023年辽宁）−12的倒数是( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
题型03 科学计数法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·湖南）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为( )
A. 443×105B. 4.43×107C. 4.43×108D. 0.443×108
例2．（2023年·山东）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 1.4×10−8B. 14×10−7C. 0.14×10−6D. 1.4×10−9
【变式演练】
1．（2023·福建）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为( )
A. 104×107B. 10.4×108C. 1.04×109D. 0.104×1010
2．（2023·四川）纳米是表示微小距离的单位，1纳米=0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为( )
A. 0.5×10−6B. 0.5×10−7C. 5×10−6D. 5×10−7
题型04 平方根、算术平方根、立方根
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·江苏）4的平方根是______；8的立方根是______．
例2．（2023年·江苏）实数9的算术平方根是( )
A. 3B. ±3C. 19D. −9
【变式演练】
1．（2023·广东）若x+3是4的平方根，y−1为−8的立方根，则x+y= ______ ．
2．（2023·山东）面积为9的正方形，其边长等于( )
A. 9的平方根B. 9的算术平方根
C. 9的立方根D. 9的算术平方根
题型05 二次根式有意义的条件
【解题策略】
一、二次根式及相关概念
1．二次根式：形如(a ≥0 )的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq \r(8)与eq \r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
二、二次根式的性质
（1）()2＝a(a≥0)．
（2）＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a<0）.))
（3）＝·(a≥0，b≥0)．
（4）(a≥0，b>0)．
（5）双重非负性：二次根式⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))
【典例分析】
例1．（2023年江苏）若 x−3 有意义，则x的取值范围是______；
【变式演练】
（2023年黑龙江）若式子 x+5x有意义，则x的取值范围是______．
题型06 二次根式的估值
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·江苏）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 10的点应在( )
A. 线段AB上B. 线段BC上C. 线段CD上D. 线段DE上
【变式演练】
（2023年·北京）写出比 2大且比 15小的整数 ．
题型07 分式的相关概念及性质
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖南模拟）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
例2．（2023·四川凉山）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
【变式演练】
1．（2023年浙江模拟）分式的值为零，则x的值为………………………………………………（ ）
A.2 B.﹣2 C.±2 D.任意实数
题型08 因式分解
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023年·湖南）44.2a2与4ab的公因式为______ ．
例2．（2023年·辽宁）因式分解：a3−a= ．
例3．（2023年·浙江）分解因式：x2−y2= ．
【变式演练】
1．（2023年·湖南）分解因式：a3+2a2b+ab2= ______ ．
2．（2023年·黑龙江）因式分解：x2+xy−xz−yz= ______ ．
3．（2023年·湖南）因式分解：x2−2x+1=_______．
题型09 数式规律与图形规律
【解题策略】
【典例分析】
例1．(2023年云南9题)按照一定规律排列的单项第n个单项式是( )
例2．(2023·山东省枣庄市)按一定规律排列的一组数据：12，−35，12，−717，926，−1137，….则按此规律排列的第10个数是( )
A. −19101B. 21101C. −1982D. 2182
例3．(2023·山西省)如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片(用含n的代数式表示)．
例4．(2023·四川省)观察下列等式：
2+22=23−2;
2+22+23=24−2;
2+22+23+24=25−2;
2+22+23+24+25=26−2;⋯
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，⋯，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+⋯+238+239+240=__________(结果用含m的式子表示)．
【变式演练】
1.（2023年云南模拟）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( )
A. n2an+1B. n2an−1C. nnan+1D. (n+1)2an
2．(2023·江苏省泰州市)按一定规律排列的一组数：12，16，112，120，…，1a，190，1b(其中a，b为整数)，则a+b的值为( )
A. 182B. 172C. 242D. 200
3．(2023·全国)按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，….则按此规律排列的第n个单项式为______ .(用含有n的代数式表示)
4.(2023·贵州省六盘水市)如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多______个.(用含n的代数式表示)
……
1．（2023年四川）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作( )
A. −10mB. +10mC. −8mD. +8m
2．（2023年福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作______ ．
3．（2023年甘肃）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“______ ．
4．（2023年辽宁）−0.5的倒数是( )
A. −2B. −5C. 0.5D. −12
5．（2023·浙江）实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
6．（2023·上海）计算：−｜−2｜= _________．
7．（2023·河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科学记数法表示为( )
A. 4.59×107B. 45.9×108C. 4.59×108D. 0.459×109
8．（2023·黑龙江）纳米是非常小的长度单位，1nm=0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为( )
A. 1×10−9B. 1×10−8C. 1×108D. 1×109
9．（2023·四川）−8的立方根为( )
A. ±4B. ±2C. −2D. 不存在
10．（2023年辽宁）若代数式 x+2x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
11．（2023年上海）当x_________时，二次根式 1x−2有意义．
12．（2023·北京）估计 11的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
12．（2023·江苏）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·陕西）分解因式：3x2−12=__▲__．
14．（2023·辽宁）因式分解：3x2−9x=______．
15．（2023·云南）分解因式：x2−4=____．
16．（2023·浙江）分解因式：x2−9= ．
17．（2023·湖南）分解因式：2x2−4x+2=__________．
18．（2023·内蒙古）分解因式x3−9x=________．
19. (2023·安徽省)
观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________(用含n的等式表示)，并证明．
20.(2023·安徽省宣城市)
观察下列各式：
1+112+122= 94=32=112=1+11×2=1+1−12，
1+122+132= 4936=76=116=1+12×3=1+12−13，
1+132+142= 169144=1312=1112=1+13×4=1+13−14，
请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：
(1)归纳规律： 1+1n2+1(n+1)2= ______ ；(n≥1，且n为整数)(直接写出结果)
(2)利用规律计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202．
21.(2022年云南8题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是( )
A. (2n−1)xnB. (2n+1)xnC. (n−1)xnD. (n+1)xn
（1）实数的分类：
（2）正负数的意义：
正数：大于0的数叫做正数
负数：在正数前面加上“－”号的数叫做负数
意义：用正数和负数表示一对具有相反意义的量，如规定“盈(+)”则“亏(一)”，“上升(+)”则“下降(-)”等.
相反数：只有符号相反的两个数叫做相反数
①a的相反数为-a；；
②若a与b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）；
③a-b的相反数为：-（a-b）或b-a。
绝对值：表示数轴上一个数a到原点的距离，即
①，故去却绝对值要先判断式子的正负；
②，故绝对值是它本身的数是0和正数；
③若，则a=0且b=0(a、b可以是多项式）。
倒数：若a·b=1，则a与b互为倒数
①.0没有倒数；
②每一个数的倒数和它本身的符号相同；
科学记数法
把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
科学记数法的表示方法：一般形式:a×10n.
1．a值的确定:1≤|a|<10.
2．n值的确定:
① 当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;
② 当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).
注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示
一、平方根：
意义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即对于一个非负数a（a≥0），其平方根为±a ，算术平方根为a.
注意事项与拓展:
1.正数的平方根必有2个，并且它们互为相反数，其中正的平方根为算术平方根；
2.0的平方根还是0，0的算术平方根也还是它本身；
3.负数没有平方根；
4.算术平方根的双重非负性→①被开方数a≥0，②算术平方根本身≥0；
二、算术平方根：
意义： 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作.
注意事项与拓展:
1.非负性：，
三、立方根：
意义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，即对于一个a，其立方根为 3a
注意事项与拓展:
正数的立方根是正数；
2. 负数的立方根是负数；
3. 0的立方根还是0
4.，
1. 确定二次根式相邻的两个连续整数
(1)先对根式平方；
(2)找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在开方后所得的这两个整数之间．
2. 确定二次根式最接近哪个整数
确定二次根式最接近哪个整数时，当得出形如(a ≥0 )介于哪两个连续整数之间之后，需先求这两个整数的平均数，然后比较a与平均数平方的大小，若a大于平均数的平方，则离较大的整数近，反之离较小的整数近．
分式概念
形如eq \f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
有意义的
条件
因为0不能做除数，所以在分式eq \f(A,B)中，若B≠0，则分式eq \f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq \f(A,B)没有意义．
值为0
在分式eq \f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq \f(A,B)的值为0
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq \f(A,B)＝eq \f(A×M,B×M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)
约分
将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
通分
将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
因式分解：
因式
分解
概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形式
因式分解方法
提公因
式法
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
公式法
① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
十字相乘法
一般地，=可以用十字交叉线表示
因式分解的一般步骤：：
一、找规律：找规律是指从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.
(1)数列规律
等差数列
1，3，5，7，9，……，2n-1 (n为正整数）
2，4，6，8，10，……，2n(n为正整数）
5，8，11，14，17，……，3n+2(n为正整数）
等比数列
2，4，8，16，32，……，2n (n为正整数）
1，2，4，8，16，……，2n-1 (n为正整数）
平方数列及衍生
1，4，9，16，25，…….，n2 (n为正整数）
22，5，10，17，26，……，n2+1 (n为正整数）
0，3，8，15，24，…….，n2-1 (n为正整数）
三角数列及衍生
1，3，6，10，15，21，…….，n(n+1) (n为正整数）
22，6，12，20，30，42，……，n(n+1)(n为正整数）
符号数列
-1，+1，-1，+1，-1，+1，……，(-1)n (n为正整数）
+1,-1,+1,-1,+1,-1,……, (-1)n+1 (n为正整数）
斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，……从第三项开始，每一项等于前两项之和.
(2)图形规律
将图形规律转化为数字规律，再利用数列规律解决问题；
通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题.
(3)周期与循环规律
①找准周期;
用总数除以周期取余数;
③余数是几，就和每个周期里第几个对应，能整除的则与每个周期最后一个对应.
(4)程序运算
一般是以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系.
【注意】程序运算题的常见特性：多次循环、周期性、多解性.
规律探索型问题解题技巧：
1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量，所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键，而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2、化繁为简，形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多，对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.
3、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律，而数学规律，多数是函数的解析式，函数的解析式里常常包含着数学运算，因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子，所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
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