2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题02 数与式的相关计算 （原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
（2023·北京）计算：4sin 60∘+(13)−1+|−2|− 12．
例2．（2023·湖南）计算： 8−2sin30°−|1− 2|+(12)−2−(π−2020)0．
【变式演练】
（2024·陕西模拟）计算：|−2 3|+(4−π)0− 12−(−1)2023−(12)−2
2.（2024·湖南模拟）计算： 3tan30°+(12)−2+| 2−1|+3−64
题型02 代数式求值
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·内蒙古模拟）先化简，再求值：a(a−2b)−(a+b)(a−b)，其中a=12，b=−1．
例2．（2024·安徽模拟）已知：x2=y3=z4，2x−3y+4z=22，求：代数式x+y−z的值．
【变式演练】
1.（2024·全国模拟）先化简，再求值：(2x+y)2+(x−y)(x+y)−5x(x−y)，其中x= 2+1，y= 2−1．
2.（2024·江苏模拟）先化简，再求值：x(x+2)−(x+1)(x−1)，其中x=12.
题型03 整式的混合运算
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·福建模拟）先化简，再求值：[(x+2y)2−(x+y)(3x−y)−5y2]÷(2x)，其中x=−2,y=12．
【变式演练】
1.（2023·湖南模拟）先化简，再求值：a(a−2b)−(a−1)2−2a，其中a=−1，b=12．
2.（2023·全国模拟）已知3a2−4a−7=0，求代数式(2a−1)2−(a+b)(a−b)−b2的值．
题型04 分式的混合运算
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·安徽模拟）(2023·合肥三模)化简：a2−2a+1a2+a÷1−2a+1．
例2．（2023·江苏模拟）计算：(x2x−1−21−2x)÷x2+2x2x−1.
【变式演练】
1.（2024·四川模拟）计算：
m+2+52−m⋅2m−43−m.
2.（2023·辽宁模拟）计算：1a+1÷a+2a2+2a+1−aa+2．
题型05 二次根式的混合运算
【解题策略】
一、二次根式的性质
（1）()2＝a(a≥0)．
（2）＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a<0）.))
（3）＝·(a≥0，b≥0)．
（4）(a≥0，b>0)．
（5）双重非负性：二次根式⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))
二、二次根式的运算
1．二次根式的加减：先将各二次根式化为 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
（1）二次根式的乘法：·＝ eq \r(ab) (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝ eq \r(\f(a,b)) (a≥0，b＞0)；
（3）二次根式的运算结果一定要化成 最简二次根式或整式．
3．二次根式的开方：＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))
4．二次根式的混合运算
在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；
（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；
（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；
（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．
【典例分析】
例1．（2024·四川模拟）计算下列各题．
(1) 8−327+1 2．
(2)3× 13−( 27− 15)÷ 3+| 5− 3|．
【变式演练】
1.（2023·广东模拟）计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24
2.（2023·云南模拟）计算：(4 3−3 2)(4 3+3 2)−6 2( 18− 6)．
题型06 化简求值
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·广东模拟）先化简再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−x，其中x=5．
例2．（2023·江苏模拟）先化简、再求值：(1−2x)÷x2−4x+4x2−4−x+4x+2，其中x2+2x−13=0.
【变式演练】
1.（2023·湖南模拟）先约分，再求值：2x+6x2−4x+4⋅x−2x2+3x，其中x=3．
2.（2023·辽宁模拟）先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，然后从− 5题型07 非负数
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·甘肃模拟）先化简，后求值：3a2−b2−(a2−6a)−2(−b2+3a)，其中(a+12)2+|b−3|=0．
例2．（2024·安徽模拟）若|m+4|与n2−2n+1互为相反数，把多项式x2+4y2−mxy−n分解因式．
【变式演练】
1.（2023·广东）已知 a−2+|b−2a|=0，则a+2b的值是( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
2.（2023·湖南）已知等腰三角形的三边x、y、z满足(x−4)2+ y−2+|z−a|=0，则a的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 2或4
1.（2023·江苏）计算：| 3−1|+(π−3)0−tan60°．
2.（2023·广东）计算：(1+π)0+2−|−3|+2sin 45∘．
3.（2023·湖南）计算：π−3.140+−12015+1− 3−3tan30°．
4.（2023·湖南）先化简，再求值．
(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy，其中x=−1，y=−13．
5.（2023·湖北）化简：(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6．
6.（2023·湖北）化简：(1−aa+1)÷a2−aa2−1．
7.（2023·上海）计算：|− 3|−13 −12+2 3−1−1212．
8.（2023·湖南）先化简，再求值：(x−1−x−1x)÷x2−1x2+x，其中x= 3+1．
9.（2023·广东）先化简，再求值：(1+1x−1)÷x2−1x2−2x+1，其中x=3．
10.（2023·湖南）先化简再求值：(1x+2−1)÷x2+2x+1x2−4，其中x=tan60°−1．
11.（2023·湖北）若|a−1|+(b−3)2=0，则 a+b= ．
12.（2023·湖南）已知实数a，b满足(a−2)2+|b+1|=0，则ab= ______．
（1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：
（2）根式化简：；
（3）指数化简：不会改变原数的正负性；
（4）特殊的三角函数值要记牢。
实数的运算：
实
数
的
运
算
加法
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减失较小数的绝对值。
减法
减去一个效等于加上这个数的相反数
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负
n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数都得0
乘方
几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆运算
运算顺序
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
代数式的概念及求值
1．代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．
2．代数式的值
用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。求代数式的值分两步；第一步，代数；第二步，计算。要充分利用“整体”思想求代数式的值.
幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn；
③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。
整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b² ；
②完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²。
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号。
整
式
运
算
幂
的
运
算
同底数幂乘法
am·an＝am＋n（a≠0）
am＋n＝am·an
同底数幂除法
eq \f(am,an)＝am－n(m，n是正整数)
am－n＝eq \f(am,an)
幂的乘方
(am)n＝amn（a≠0）
amn＝(am)n
积的乘方
(ab)n＝anbn
anbn＝(ab)n
乘法
公式
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
整式
加减
① 整式的加减其实就是合并同类项；
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
整式
乘法
① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．
③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
整式
除法
① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
在运算过程中去括号时，括号前面是“﹣”，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里面的每一项都要改变符号
分式混合运算应注意的七点
1．注意分式混合运算的顺序.
2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.
3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.
4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.
5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.
6．化简结果要最简.
7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.
分
式
运
算
分式加减
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad±bc,bd).
分式乘除
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(ac,bd).分式除以分
式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(ad,bc)
分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
1.分式化简(求值)的步骤及注意事项
步骤
(1)凡是遇见分子、分母是多项式，先因式分解，然后通分或约分；
(2)有括号先计算括号里面的；(3)进行乘除计算；
(4)进行加减运算；(5)代入求值
注意事项
(1)化简求值题一定要做到“先”化简，“再”求值；
(2)通分时要记得给不含分母的项乘最简公分母；
(3)化简结果应为最简分式或整式；
(4)求值时必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0
1. 常见的非负数有 (a≥0)，|a|，a2.
2. 若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.如：若|，则a＝b＝c＝__0_．