2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题03 尺规作图与一般作图问题 （原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
例1.（2023·广东模拟）如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．
(1)尺规作图：
①在AN上取一点C，使BC=BA；
②作∠MBC的平分线BD.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：BD//AN．
例2.（2023·全国）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．
(1)在斜边AC上求作线段AO，使AO=BC，连接OB；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)若OB=2，求AB的长．
【变式演练】
1.（2023·江苏模拟）如图，P为∠AOB外一点，用两种不同的方法过点P作直线l交OA，OB于点M，N，使得PM=MN.(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
2.（2024·云南模拟）有这样一个作图题目：画一个平行四边形ABCD，使AB=3cm，BC=2cm，AC=4cm．
下面是小红同学设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作线段AB=3cm，
②以A为圆心，4cm为半径作弧，以B为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C；
③再以C为圆心，3cm为半径作弧，以A为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点D；
④连结AD，BC，CD．
所以四边形ABCD即为所求作平行四边形．
根据小红设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下列证明．
证明：
∵以A为圆心，4cm为半径作弧，以B为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C，
∴BC=______cm，AC=______cm．
∵以C为圆心，3cm为半径作弧，以A为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点D，
∴CD=3cm.AD=2cm．
又∵AB=3cm，
∴AB=CD，AD=______．
∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理依据)．
题型02 作一个角等于已知角
【解题策略】
【典例分析】
例1.（2023·广东模拟）作图与计算．
(1)已知：如图，∠α，∠AOB．
求作：以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC=∠α(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)过点O分别引射线OA，OB，OC，且∠AOB=65°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数．
【变式演练】
1.（2023·福建模拟）如图，点M在∠AOB的边OB上．
(1)过点M画线段MC⊥AO，垂足是C；
(2)过点C作∠ACF=∠O.(尺规作图，保留作图痕迹)
题型03 作一个角的平分线
【解题策略】
【典例分析】
例1.（2023·河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE．
【变式演练】
1..（2023·宁夏模拟）如图，AE/​/BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
2.（2023·广东模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
(1)用尺规作∠ABC的平分线交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的前提下，若AD=10，求CD的长度．
题型04 作一条线段的垂直平分线
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·陕西）如图，已知锐角△ABC，∠B=48°.请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使PB=PC，且∠PBC=24°.(保留作图痕迹，不写作法)
【变式演练】
1.（2023·广西模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；
(2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
2.（2023·宁夏模拟）如图，AD是△ABC的角平分线．
(1)作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；(用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．)(2)连接DE、DF，求证：四边形AEDF是菱形．
题型05 过一点作已知直线的垂线
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖北模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
⑴过点E作CD的垂线，垂足为点O，交BC于点F(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
⑵根据(1)中作图，连接DF，若AC=BC，求证：四边形DECF是菱形．
【变式演练】
1.（2023·福建模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°.以点C为圆心，CA为半径作圆，延长BA交⊙C于点D．
(1)请在图中作出点C关于直线BD的对称点C1；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接C1D，证明：直线C1D与⊙C相切．
1.（2023·广东）在所给的图形中，根据以下步骤完成作图：
(1)尺规作图：在线段AD的延长线上截取DE=AD；
(2)连接BE，交线段CD于点F；
(3)作射线AF，交线段BC的延长线于点G．
2.（2022·陕西）如图，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°.(保留作图痕迹．不写作法)
3.（2021·四川）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
(2)在(1)作出的图形中，求DE的长．
4.（2021·山东）如图，已知△ABC.求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
5.（2020·福建）如图△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ。(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
6.（2019·江苏）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8．
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
7.（2020·广东）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°．
(1)用直尺和圆规作出AB的垂直平分线，分别交AC，AB于点M，N(保留作图痕迹，不写作法)；(2)猜想CM与AM之间有何数量关系，并证明你的猜想．
8.（2022·广东）如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB．
(1)作点A关于BD的对称点C；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE=132，BD=10，求点E到AD的距离．
类型
图示
步骤
作图依据
作一条线段等于已知线段
O A P
（1）画射线OP
（2）在射线OP上截取OA=a
圆上的点到圆心的距离等于半径
类型
图示
步骤
作图依据
作一个角等于已知角
以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D
画一条射线PO，以点P为圆心，OC长为半径画弧，交PO于点C′
以P为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′
过点P、P画射线PB′，则∠B′PO=
∠BOC
三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
类型
图示
步骤
作图依据
作一个角的平分线
步骤：
1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，
分别交OA、OB于点N、M；
2.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，
相交于点P；
3.画射线OP,OP即为所求角平分线
三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
类型
图示
步骤
作图依据
4.作一条垂直平分线
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
类型
图示
步骤
作图依据
5.过一个点作已知直线的垂线
点在直线上
以O为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点A、B两点；
分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点P、C；
作直线PC，直线PC即为所求作的垂线
等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线
点在直线外
在直线另一侧去点M；
以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线l于点A、B两点；
分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点Q；
作直线PQ，直线PQ即为所求作的垂线