2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题04 一次方程（组）、分式方程及其应用（原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
例1.（2023·湖南）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为( )
A. 3B. −3C. 7D. −7
【答案】A
【解析】解：∵x=1是关于x的一元一次方程2x+m=5的解，
∴2×1+m=5，
∴m=3，
故选：A．
根据方程的解的定义把x=1代入方程即可求出m的值．
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
例2.（2023·浙江）小红在解方程7x3=4x−16+1时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】解：(1)如图：

(2)去分母：2×7x=(4x−1)+6，
去括号：14x=4x−1+6，
移项：14x−4x=−1+6，
合并同类项：10x=5，
系数化1：x=12．
【解析】(1)根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
(2)首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【变式演练】
1.（2024·广西模拟）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为 ( )
A. 3B. −3C. 7D. −7
【答案】A
【解析】解：∵x=1是关于x的一元一次方程2x+m=5的解，
∴2×1+m=5，
∴m=3，
故选：A．
根据方程的解的定义把x=1代入方程即可求出m的值．
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
2.（2024·河北模拟）米老鼠在解方程2x−13=x+a2−1的过程中，去分母时方程右边的−1忘记乘6，因而求得的解为x=2．
(1)请你帮助米老鼠求出a的值；
(2)正确地解这个方程．
【答案】解：(1)把x=2代入方程2(2x−1)=3(x+a)−1得：2×(2×2−1)=3(2+a)−1，
解得：a=13；
(2)方程为2x−13=x+132−1，
2(2x−1)=3(x+13)−6，
4x−2=3x+1−6，
4x−3x=1−6+2，
x=−3．
【解析】(1)把x=2代入方程2(2x−1)=3(x+a)−1得出2×(2×2−1)=3(2+a)−1，再求出方程的解即可；
(2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
3.（2024·陕西模拟）解方程：8x+45=1+11x+17．
【答案】解：8x+45=1+11x+17，
7(8x+4)=35+5(11x+1)，
56x+28=35+55x+5，
56x−55x=35+5−28，
x=12．
【解析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
题型02 二元一次方程（组）的解法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·浙江）（二元一次方程的解）下列各组数满足方程2x+3y=8的是( )
A. x=1,y=2B. x=2,y=1C. x=−1,y=2D. x=2,y=4
【答案】A
【解析】略
例2.（2023·广东）（二元一次方程组的概念）下列方程组中，是二元一次方程组的是．( )
A. 1x+2y=4x−5y=3B. a+b=42a−c=1
C. x+2y=0x2−y2=2D. 4m−n=3m+n=2
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二元一次方程组的概念有关知识，根据二元一次方程组的概念对选项逐一判断即可．
【解答】
解：A.第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误；
B.该方程组中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误；
C.方程组中第二个方程最高次数为2次，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误．
D.符合二元一次方程组的概念，故是二元一次方程组，故该选项正确．
例3.（2023·四川）（二元一次方程组的解）已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组为3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①−②，得：
∴2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
∵x−y=4，
∴m+3=4，
∴m=1．
故选：B．
把方程组的两个方程相减得到2x−2y=2m+6，结合x−y=4，得到m的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程，此题难度不大．
例4.（2023·天津）（代入消元法）方程组y=2x3x+y=15的解是( )
A. x=2y=3B. x=4y=3C. x=4y=8D. x=3y=6
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入消元法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
此题利用代入消元法求解即可．
【解答】
解：y=2x①3x+y=15②,
①代入②得，3x+2x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得，y=2×3=6，
所以方程组的解是x=3y=6．
故选D．
例5.（2023·四川）（加减消元法）已知关于x、y的二元一次方程组3x−y=4m+1,x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】略
【变式演练】
1.（2023·广东）若二元一次方程3x−y=7，2x+3y=1，y=kx−9有公共解，则k的取值为( )
A. 3B. −3C. −4D. 4
【答案】D
【解析】【分析】
本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于k的方程而求解的．
由题意建立关于x，y的方程组，求得x，y的值，再代入y=kx−9中，求得k的值．
【解答】
解：解3x−y=72x+3y=1得：x=2y=−1，
代入y=kx−9得：−1=2k−9，
解得：k=4．
故选：D．
2.（2023·四川）关于x，y的方程组3x+y=2m−1,x−y=n的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】解：∵方程组3x+y=2m−1①x−y=n②，
∴①−②得，2x+2y=2m−n−1，
∴x+y=2m−n−12，
∵x+y=1，
∴2m−n−12=1，
∴2m−n=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8．
故选：D．
根据方程组①−②得，2x+2y=2m−n−1，即x+y=2m−n−12，再根据x+y=1，得2m−n=3，所以4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8．
本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
3.（2023·广东）用加减法消元解方程组x+3y=8①x−y=1②的过程中，正确的是( )
A. ①+②，得4y=9B. ①+②，得2y=9
C. ①−②，得4y=7D. ①−②，得2y=7
【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程组，解方程组时利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
根据解二元一次方程组的步骤解方程组即可．
【解答】
解：用加减法消元解方程组x+3y=8①x−y=1②的过程中，正确的是①−②，得4y=7，
故选：C．
题型03 一次方程（组）的实际应用
【解题策略】
2、常见类型及关系式：
【典例分析】
例1．（2023·河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图所示.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分;
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)由题意得4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分;
(2)由题意得3k+3×1+(10−k−3)×(−2)=6+13，
解得：k=6，
则k的值为6．
【解析】(1)根据题意列式计算即可求解;
(2)根据题意列一元一次方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
例2.（2023·辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】解：(1)设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，
10x+15y=28006x+5y=1200，
解得：x=100y=120，
答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
(2)设需要购买m个A种礼品盒，则购买(40−m)个B种礼品盒，由题意得，
100m+120(40−m)≤4500，
解得：m≥15，
答：最少需要购买15个A种礼品盒．
【解析】(1)设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该公司需要购买m个A种礼品盒，则购买(40−m)个B种礼品盒，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．
例3（2023·江苏）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
(1)求A、B两种商品的销售单价；
(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：(1)设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：20a+10b=84010a+15b=660，
解得a=30b=24，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
(2)设利润为w元，
由题意可得：w=(30−m−20)(40+10m)+(24−20)(40+10m)=−10(m−5)2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30−m≥24，
解得m≤6，
∴当m=5时，w取得最大值，此时w=810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【解析】(1)根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以写出利润与m的函数关系式，然后根据A种商品售价不低于B种商品售价，可以得到m的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
例4.（2023·四川）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式演练】
1.（2023·辽宁）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步.开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120s.已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：
(1)男女跑步的总路程为______；
(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
【答案】1000m
【解析】解：(1)男生匀速跑步的路程为4.5×100=450(m)，450+50=500(m)，
则男女跑步的总路程为500×2=1000(m)，
故答案为：1000m；
(2)设从开始匀速跑步到男、女相遇时的时间为x s，
女生跑步的速度为(500−80)÷120=3.5(m/s)，
根据题意得：80+3.5x=50+4.5x，
解得x=30，
∴此时男、女同学距离终点的距离为4.5×(100−30)=315(m)，
答：此时男、女同学距离终点的距离为315m．
(1)根据男女同学跑步的路程相等，即可求解；
(2)求出女生跑步的速度，列方程求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后设出未知数列出方程．
2.（2023·广东模拟）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4 000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
(2)经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？
【答案】解：(1)设甲种救灾物品每件的价格为x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(x−10)元/件，
可得：450x=400x−10，
解得：x=90，
经检验，x=90是原方程的解，
答：甲种救灾物品每件的价格为90元/件，乙种救灾物品每件的价格为80元/件．
(2)设甲种物品件数y件，可得：
y+3y=4000，
解得：y=1000，
所以筹集资金=90×1000+80×3000=330000 元，
答：筹集资金330000 元．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次方程解决实际问题，正确列出方程是解题关键．
(1)设甲种救灾物品每件的价格为x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(x−10)元/件，根据已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同，可列方程求解．
(2)设甲种物品件数为y件，根据灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，可列出方程求解．
3.（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】解：(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y份，
根据题意得：x+y=17015x+20y=3000，
解得：x=80y=90．
答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；
(2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面(1+50%)m份，
根据题意得：1200m−1260(1+50%)m=6，
解得：m=60，
经检验，m=60是所列方程的解，且符合题意．
答：购买牛肉面60份．
【解析】(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y份，利用总价=单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面(1+50%)m份，利用单价=总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
4.（2023·广东）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】解：(1)设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为(x+25)元，
根据题意得：2(x+25)+x=200，
解得：x=50，
可得x+25=50+25=75，
则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；
(2)设商场可以购置A玩具y个，
根据题意得：50y+75×2y≤40000，
解得：y≤200，
则该商场最多可以购置200个A玩具．
【解析】(1)设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为(x+25)元，根据购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果；
(2)设商场最多可以购置A玩具y个，根据B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．
5.（2023·江苏）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元(单价均为整数)．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件(软面笔记本单价不变)：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买m本硬面笔记本(m为正整数)，他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【答案】解：(1)设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为(x−3)元，
根据题意得：240x=195x−3，
解得：x=16，
经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
(2)设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为(y−3)元，
根据题意得：my=(m+5)(y−3)，
整理得：5y−3m=15，
∴y=35m+3．
∵m