2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题05 一元二次方程及其应用 （原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
例1.（2023·广东）关于x的方程a−1x2+4x−3=0是一元二次方程，则( )
A. a>1B. a=1C. a≠1D. a≥0
【答案】C
【解析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a−1≠0，由此求得a的取值范围．
依题意得：a−1≠0，
解得a≠1．
故选：C．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
例2.（2023·江苏）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m= ______．
【答案】5
【解析】解：把x=1代入方程x2+mx−6=0得1+m−6=0，
解得m=5．
故答案为：5．
把x=1代入原方程得到1+m−6=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式演练】
1.（2023·山东）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是( )
A. m≥−1B. m≤1
C. m≥−1且m≠0D. m≤1且m≠0
【答案】D
【解析】略
2.（2023·湖南）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______．
【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
3.（2023·山东）若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为______．
【答案】2019
【解析】解：把x=3代入方程得：9a−3b=6，即3a−b=2，
则原式=2023−2(3a−b)=2023−4=2019．
故答案为：2019．
把x=3代入方程求出3a−b的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
题型02 解一元二次方程—直接开平方法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·全国模拟）方程(2x+1)2=49的根是 ．
【答案】x1=3，x2=−4
【解析】略
例2.（2023·广东模拟）解方程：(x+3)2−25=0．
【答案】解：移项得：(x+3)2=25，
方程两边开平方得：x+3=±5，
所以x1=2，x2=−8．
【解析】先把方程变形为解(x+3)2=25，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【变式演练】
1.（2023·吉林模拟）方程x2=16的解为______．
【答案】x1=4，x2=−4
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
利用直接开平方法解方程．
【解答】
解：x2=16，
开平方，得x=±4，
所以x1=4，x2=−4．
故答案为x1=4，x2=−4．
2.（2023·天津模拟）方程(x+6)2−9=0的两个根是( )
A. x1=3，x2=9B. x1=−3，x2=9
C. x1=3，x2=−9D. x1=−3，x2=−9
【答案】D
【解析】解：∵(x+6)2−9=0，
∴(x+6)2=9，
则x+6=±3，
∴x1=−3，x2=−9，
故选：D．
直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
3.（2023·黑龙江）
解方程：(x−2)2=4
【答案】解：x−2=±2
x1=0，x2=4
【解析】见答案
题型03 解一元二次方程—配方法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·山东模拟）用配方法解一元二次方程2x2−12x−9=5，则方程可变形为( )
A. 2(x−6)2=43B. (x−6)2=43
C. 2(x−3)2=16D. (x−3)2=16
【答案】D
【解析】解：∵2x2−12x−9=5，
∴2x2−12x=14，
x2−6x=7，
则x2−6x+9=7+9，即(x−3)2=16，
故选D．
例2.（2023·北京模拟）将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2=b的形式，下列结果中正确的是( )
A. (x−4)2=6B. (x−8)2=6
C. (x−4)2=−6D. (x−8)2=54
【答案】A
【解析】解：x2−8x=−10，
x2−8x+16=6，
(x−4)2=6．
故选：A．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【变式演练】
1.（2023·浙江模拟）方程x2−2x=1经过配方后，其结果正确的是 ( )
A. (x−1)2=2B. (x+1)2=2C. (x−1)2=1D. (x+1)2=1
【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，首先利用等式性质把方程的二次项的系数化为1，其次在方程二边同加一次项的系数一半的平方．
【解答】
解：∵x2−2x=1，
∴x2−2x+1=1+1，
∴(x−1)2=2．
故选：A．
2.（2023·江苏模拟）用配方法解一元二次方程2x2+4x−5=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则a+b的值为( )
A. 8B. 92C. 72D. 52
【答案】B
【解析】解：2x2+4x−5=0，
2x2+4x=5，
x2+2x=52，
x2+2x+1=72，
(x+1)2=72，
所以a=1，b=72，
所以a+b=92.
故选：B.
先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上1，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到a、b的值，最后计算它们的和即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3.（2023·江苏模拟）(本小题8分)
(1)解不等式：x+12+x−13≤1；
(2)用配方法解方程：x2+4x−1=0．
【答案】解：(1)x+12+x−13≤1，
3×(x+1)+2×(x−1)≤1×6，
3x+3+2x−2≤6，
3x+2x≤6+2−3，
5x≤5，
x≤1；
(2)x2+4x−1=0，
x2+4x=1，
x2+4x+4=5，
(x+2)2=5，
x+2=± 5，
x=−2± 5，
即：x1=−2+ 5，x2=−2− 5．
【解析】(1)利用①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1的步骤解出不等式；
(2)根据配方法解出方程即可．
本题考查的是一元一次不等式的解法、配方法解一元二次方程，掌握解一元一次不等式的一般步骤、配方法的一般步骤是解题的关键．
题型04 解一元二次方程—公式法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·江苏模拟）方程x2−3x=1的解是______．
【答案】x1=3+ 132，x2=3− 132
【解析】解：方程化为一般式为x2−3x−1=0，
a=1，b=−3，c=−1，
Δ=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，
x=3± 132×1=3± 132，
所以x1=3+ 132，x2=3− 132．
故答案为：x1=3+ 132，x2=3− 132．
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
例2.（2023·广东模拟）解方程：x2−2x−15=0
【答案】解：∵x2−2x−15=0．
∴a=1，b=−2，c=−15，
∴b2−4ac=4+60=64>0，
∴x=2± 642，
∴x1=5，x2=−3．
【解析】【试题解析】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法的解题步骤是解题的关键．根据公式法的步骤即可解决问题．
【变式演练】
1.（2023·广东模拟）用适当的方法解下列方程．
(1)x(x−3)=x−3
(2)x2+3x−1=0
【答案】解：(1) x(x−3)=x−3 ，
∴ x(x−3)−(x−3)=0 ，
∴ (x−3)(x−1)=0 ，
解得： x1=1,x2=3 ．
(2) x2+3x−1=0 ，
a=1,b=3,c=−1 ， ，
∴ x=−b± b2−4ac2a=−3± 132 ，
解得： x1=−3+ 132 ， x2=−3− 132.
【解析】(1)根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
(2)根据公式法解一元二次方程即可求解．
2.（2023·山东模拟）已知函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列表格中的数量关系，那么(a+b+c)(−b+ b2−4ac2a+−b− b2−4ac2a)的值为( )
A. 18B. 15C. 9D. 3
【答案】A
【解析】解：∵抛物线经过(2,0.35)，(4,0.35)，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=3，
∴−ba=6，
∵抛物线经过(5,3)，对称轴为直线x=3，
∴抛物线经过(1,3)，即a+b+c=3，
∴(a+b+c)(−b+ b2−4ac2a+−b− b2−4ac2a)=(a+b+c)(−ba)=3×6=18，
故选：A．
由抛物线经过(2,0.35)，(4,0.35)可得抛物线的对称轴，从而可得−ba的值，再由抛物线的对称性及点(5,3)可得a+b+c的值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
题型05 解一元二次方程-因式分解法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·广东模拟）方程x2+2x−3=0的两个根分别是x1= ，x2=
【答案】1
−3
【解析】【分析】运用因式分解法求解即可．
【详解】∵x2+2x−3=0，
∴(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0，
∴x 1 =1，x 2 =−3．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键．
例2.（2023·天津）方程x2+4x+3=0的两个根为( )
A. x1=1，x2=3B. x1=−1，x2=3
C. x1=1，x2=−3D. x1=−1，x2=−3
【答案】D
【解析】解：x2+4x+3=0，
(x+3)(x+1)=0，
x+3=0或x+1=0，
x1=−3，x2=−1，
故选：D．
根据解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程−因式分解法是解题的关键．
【变式演练】
1.（2023·湖南模拟）方程3x2−6x=0的解是 ．
【答案】x1=0，x2=2
【解析】略
2.（2023·四川模拟）解方程：x2−2x−3=0．
【答案】解：将原方程左边分解因式，得
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
【解析】【分析】
先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．
【点评】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
题型06 根的判别式
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·广东）已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
根据根的判别式的意义得到Δ=62−4m=0，然后解关于m的方程即可．
【解答】
解：根据题意得Δ=62−4m=0，
解得m=9．
故答案为：9．
例2.（2023·贵州）若一元二次方程kx2−3x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是______．
【答案】94
【解析】解：∵一元二次方程kx2−3x+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−3)2−4k×1=0，且k≠0，
解得：k=94，
故答案为：94．
结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．
本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式演练】
1.（2023·北京）已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是________
【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=22−4×1×k=0，
解得：k=1．
故答案为：1．
根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
2.（2023·吉林）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是( )
A. 33B. 23C. 17D. 17
【答案】C
【解析】解：x2−5x+2=0，
∵a=1，b=−5，c=2，
∴Δ=b2−4ac=(−5)2−4×1×2=25−8=17．
故选：C．
根据一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac即可求出值．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
3.（2023·四川）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C
【解析】解：∵Δ=(2a)2−4×1×(a2−1)
=4a2−4a2+4
=4>0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与根的解的关系”是解决本题的关键．
题型07 根与系数的关系
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖北）已知关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2−x1x2的值为______．
【答案】2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2=−−31=3，x1x2=11=1，
∴x1+x2−x1x2=3−1=2．
故答案为：2．
直接利用根于系数的关系x1+x2=−ba=3，x1x2=ca=1，再代入计算即可求解．
本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
例2.（2023·天津）若x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则( )
A. x1+x2=6B. x1+x2=−6
C. x1x2=76D. x1x2=7
【答案】A
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=−7，
故选：A．
根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式演练】
1.（2023·湖北模拟）设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2= ．
【答案】0
【解析】解：∵x1,x2是方程x2−x−1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=1−1=0．
故答案为0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
直接根据根与系数的关系求解．
2.（2023·江苏模拟）若一元二次方程x2+3x−2=0的两个根为x1，x2，则x13+3x12−x1x2+2x2= ．
【答案】−4
【解析】略
3.（2023·山东）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+2=0的两个实数根，且(x1+1)(x2+1)=8，则m的值为______．
【答案】1
【解析】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+2=0的两实根，
∴x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+2，
∵(x1+1)(x2+1)=8，
∴m2+2+2(m+1)+1=8，
解得m=1或m=−3，
∵Δ=4(m+1)2−4(m2+2)=8m−4≥0，
解得k≥12，
∴k=1，
故答案为：1．
根据根与系数的关系，可得x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+2，代入(x1+1)(x2+1)=8，解出k的值，再根据Δ≥0，求出m的取值范围，即可确定m的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，注意根的判别式≥0这个隐含的条件．
题型08 由实际问题抽象出一元二次方程、一元二次方程的应用
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 43903.89(1+x)=53109.85B. 43903.89(1+x)2=53109.85
C. 43903.89x2=53109.85D. 43903.89(1+x2)=53109.85
【答案】B
【解析】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，43903.89(1+x)2=53109.85，
故选：B．
设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
例2.（2023·广东）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1(元)与该水果的质量x(千克)之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2(元)与该水果的质量x(千克)之间的函数解析式为y2=10x(x≥0)．
(1)求y1与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】解：(1)当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=kx(k≠0)，
把(5,75)代入解析式得：5k=75，
解得k=15，
∴y1=15x；
当5把(5,75)和(10,120)代入解析式得5m+n=7510m+n=120，
解得m=9n=30，
∴y1=9x+30，
综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1=15x(0≤x≤5)9x+30(x>5)；
(2)在甲商店购买：9x+30=600，
解得x=6313，
∴在甲商店600元可以购买6313千克水果；
在乙商店购买：10x=600，
解得x=60，
∴在乙商店600元可以购买60千克，
∵6313>60，
∴在甲商店购买更多一些．
【解析】(1)用待定系数法，分段求出函数解析式即可；
(2)把y=600分别代入y1，y2解析式，解方程即可．
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．
【变式演练】
1.（2023·江苏）2020年−2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是( )
A. 5.76(1+x)2=6.58B. 5.76(1+x2)=6.58
C. 5.76(1+2x)=6.58D. 5.76x2=6.58
【答案】A
【解析】解：由题意得：5.76(1+x)2=6.58．
故选：A．
根据2020年的人均可支配收入×(1+年平均增长率)2=2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.（2023·上海）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图中线段AB所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(20,60)，(80,0)代入y=kx+b，得：20k+b=6080k+b=0，
解得：k=−1b=80k=−1，b=80．
∴y与x的函数表达式为y=−x+80．
(2)根据题意得：(x−20)(−x+80)=800，
整理得：x2−100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60．
答：销售单价应定为每千克40元或60元．
【解析】(1)观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；
(2)根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
3.（2023·广东模拟）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？
【答案】解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200(1−x)2=128，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)，
答：该种商品每次降价的百分率为20%．
(2)设每件商品应降价y元，
根据题意，得：(128−y−80)(20+5y)−100=1475，
解方程得y1=41，y2=3，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴y=41不合题意舍去．
答：每件商品应降价3元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
(2)根据关系式为：每件商品的盈利×(原来的销售量+增加的销售量)=1475，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
4.（2023·山东模拟）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去)．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，
依题意，得：(2−y)(30+y0.5×20)=70，
整理，得：4y2−5y+1=0，
解得：y1=14，y2=1．
答∵尽量减少库存，
∴y=1．
答：每套A产品需降价1万元．
【解析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
1.（2023·辽宁）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>12且k≠1B. k>12
C. k≥12且k≠1D. k≥12
【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0Δ=22−4×(k−1)×(−2)>0，
解得：k>12且k≠1，
∴k的取值范围是k>12且k≠1．
故选：A．
由二次项系数非零及根的判别式Δ>0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
2.（2023·湖南）已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为______，另一个根为______．
【答案】−1，2．
【解析】解：将x=−1代入原方程可得1−m−2=0，
解得：m=−1，
∵方程的两根之积为ca=−2，
∴方程的另一个根为−2÷(−1)=2．
故答案为：−1，2．
将x=−1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于−2，即可求出方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
3.（2023·四川）已知方程x2−3x−4=0的根为x1，x2，则(x1+2)⋅(x2+2)的值为______．
【答案】6
【解析】解：∵方程x2−3x−4=0的根为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=−4，
∴(x1+2)⋅(x2+2)=x1⋅x2+2x1+2x2+4=−4+2×3+4=6．
故答案为：6．
直接利用根与系数的关系作答．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
4.（2023·上海）方程(x−1)2=9的解是______．
【答案】x=−2或x=4
【解析】解：(x−1)2=9，
两边直接开平方得：x−1=±3，
则x−1=3，x−1=−3，
解得：x1=4，x2=−2，
故答案为：x=4或−2．
两边直接开平方得：x−1=±3，再解一元一次方程即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
5.（2023·内蒙古）用配方法解方程x2−4x−1=0时，配方后正确的是( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=17
C. (x−2)2=5D. (x−2)2=17
【答案】C
【解析】略
6.（2023·江苏）
(1)解方程：2x2+x−2=0；
(2)解不等式组：x+3>−2x2x−5<1．
【答案】解：(1)2x2+x−2=0，
∵a=2，b=1，c=−2，
∴b2−4ac=12−4×2×(−2)=17，
∴x=−b± b2−4ac2a=−1± 174，
∴x1=−1+ 174，x2=−1− 174；
(2)x+3>−2x①2x−5<1②，
解不等式①得x>−1，
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为：−1【解析】(1)方程利用公式法求解即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式组的基本步骤是解答本题的关键．
7.（2023·黑龙江）(本小题8分)
解方程：x2−3x+2=0．
【答案】解：x2−3x+2=0，
(x−1)(x−2)=0，
x−1=0或x−2=0，
∴x1=1，x2=2．
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用十字相乘法因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，
分别解两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
8.（2023·上海）(本小题8分)
解方程：(x−2)2−4(x−2)=12．
【答案】解：(x−2)2−4(x−2)=12，
(x−2)2−4(x−2)−12=0，
(x−2−6)(x−2+2)=0，
x(x−8)=0，
x=0或x−8=0，
∴x1=0，x2=8．
【解析】方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
9.（2023·山东）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是( )
A. m≥−1B. m≤1
C. m≥−1且m≠0D. m≤1且m≠0
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，
∴Δ=22−4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
10.（2023·四川）关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<32B. m>3C. m≤3D. m<3
【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(m−2)=12−4m>0，
解得：m<3．
故选：D．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11.（2023·辽宁）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k<13B. k≤13
C. k<13且k≠0D. k≤13且k≠0
【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4k×3≥0，
解得k≤13，
∴k的取值范围是k≤13且k≠0，
故选：D．
根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
12.（2023·湖南）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m= ______．
【答案】3
【解析】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2m)2−4×1×(m2−m+2)>0，
∴m>2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2−m+2，
∵x1+x2+x1⋅x2=2，
∴−2m+m2−m+2=2，
解得：m1=0(不符合题意，舍去)，m2=3，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2−m+2，结合x1+x2+x1⋅x2=2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1⋅x2=2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
13.（2023·江苏）若x ​2−4x+3=0，y ​2−4y+3=0，x≠y，则x+y−2xy的值是____．
【答案】−2
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数是解答关键.根据已知条件，可以把x、y看作方程t2−4t+3=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到x+y=4，xy=3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：∵x2−4x+3=0，y2−4y+3=0，且x≠y，
∴x、y可看作方程t2−4t+3=0的两个不相等的实数根，
∴x+y=4，xy=3，
∴x+y−2xy=4−2×3=−2．
14.（2023·山东）一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为( )
A. 32B. −3C. 3D. −32
【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=−3；x1x2=−1．
∴1x1+1x2
=x1+x2x1x2
=−3−1
=3．
故选：C．
直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
15.（2023·浙江）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A. x+(1+x)=36B. 2(1+x)=36
C. 1+x+x(1+x)=36D. 1+x+x2=36
【答案】C
【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，
故选：C．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
16.（2023·广东）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是( )
A. y=x2+aB. y=a(x−1)2
C. y=a(1−x)2D. y=a(1+x)2
【答案】D
【解析】解：依题意，
得y=a(1+x)2．
故选D．
本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
17.（2023·黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是( )
A. 5mB. 70mC. 5m或70mD. 10m
【答案】A
【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，
根据题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
整理得：x2−75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是5m．
故选：A．
设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.（2023·湖南）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米.为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米.利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为______．
【答案】1000(1+x)2=1440
【解析】解：根据题意得：1000(1+x)2=1440，
故答案为：1000(1+x)2=1440．
根据2022年底绿化面积×(1+年平均增长率)2=2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.（2023·江苏）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】【答案】

【解析】【解析】
本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的函数关系式是解题的关键．设每套降价x元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，得出y与x的函数关系，令y=1200，根据函数关系求出自变量的取值即可．
20.（2023·辽宁）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系(其中100≤x≤160，且x为整数)，当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，
∴120k+b=80140k+b=40，
解得k=−2b=320，
即y与x之间的函数关系式为y=−2x+320；
(2)设利润为w元，
由题意可得：w=(x−100)(−2x+320)=−2(x−130)2+1800，
∴当x=130时，w取得最大值，此时w=1800，
答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【解析】(1)先设出函数解析式，然后根据待定系数法即可求出函数解析式；
(2)将函数化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是会用待定系数法求一次函数的解析式和会用二次函数的性质求最值．
（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
1、直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是
2、直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．
适用二次项系数为1的一元二次方程
将一般形式的常数项移到“=”右边
两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程
3）利用直接开方法求解方程
2、配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解，它的解为．
适用所有一元二次方程
将方程写成一般式；
分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值
将数据带入公式，得到方程的两个解x1、x2
x
2
4
5
y
0.35
0.35
3
化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程
将一元二次方程化成一般是
将“=”左边的部分因式分解
让各部分因式分别=0
各部分因式分别=0的x的值即为方程的解
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程的一般形式：，
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
【易错警示】
在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
如果关于的一元二次方程的两根（当）为,,那么有
1．应用问题中常用的数量关系及题型
(1)数字问题(包括日历中的数字规律)
关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．
(2)体积变化问题
关键是寻找其中的不变量作为等量关系.
(3)打折销售问题
其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．
明确这几个关系式是解决这类问题的关键．
(4)关于两个或多个未知量的问题
重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.
(5)行程问题
对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．
注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.
(6)和、差、倍、分问题
增长量＝原有量×增长率；
现有量＝原有量+增长量；
现有量＝原有量-降低量．
2．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
要点诠释：
方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．
解：(1)设每件衬衫应降价x元，
则依题意，得：
(40−x)(20+2x)=1250，
整理，得，−2x2+60x+800=1250
解得：x1=x2=15，
∴若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价15元；