2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题09 二次函数的图像与性质（二）（原卷版+解析版）

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这是一份2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题09 二次函数的图像与性质（二）（原卷版+解析版），文件包含专题09二次函数的图像与性质二原卷版docx、专题09二次函数的图像与性质二解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页，欢迎下载使用。

【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·浙江）已知二次函数y=ax2−4ax（a是常数，a<0）的图象上有Am,y1和B2m,y2两点．若点A，B都在直线y=−3a的上方，且y1>y2，则m的取值范围是（）
A．12
【答案】C
【分析】
根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：∵a<0，
∴y=−3a>0，
∵点A，B都在直线y=−3a的上方，且y1>y2，
可列不等式：4am2−8am>−3a，
∵a<0，
可得4m2−8m+3<0，
设抛物线y1=4m2−8m+3，直线x1=0，
∴ 4m2−8m+3<0可看作抛物线y1=4m2−8m+3在直线y1=0下方的取值范围，
当y1=0时，可得0=4m2−8m+3，
解得m1=12,m2=32，
∵4>0，
∴y1=4m2−8m+3的开口向上，
∴4m2−8m+3<0的解为12根据题意还可列不等式：am2−4am>4am2−8am，
∵a<0，
∴可得m2−4m<4m2−8m，
整理得−3m2+4m<0，
设抛物线y2=−3m2+4m，直线x2=0，
∴ −3m2+4m<0可看作抛物线y2=−3m2+4m在直线y2=0下方的取值范围，
当y2=0时，可得0=−3m2+4m，
解得m1=0,m2=43，
∵−3<0，
∴抛物线y2=−3m2+4m开口向下，
∴−3m2+4m<0的解为m<0或m>43，
综上所述，可得43故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
例2．（2023·安徽模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是
( )
A. −15
C. x< −1且x>5D. x< −1或x>5
【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，对称轴为直线x=2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
又∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x< −1且x>5．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【变式演练】
1.（2023·福建模拟）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，则不等式ax2−mx+c>n的解为( )
A. x>−1B. x<3
C. x<−1或x>3D. −1【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于(1,p)，(−3,q)两点，
观察函数图象可知：当x<−3或x>1时，抛物线y=ax2+c在直线y=−mx+n的上方，
∴不等式ax2+c>mx+n的解集为x<−1或x>3，
即不等式ax2+mx+c>n的解集是x<−1或x>3．
故选：C．
观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
2．（2023·江苏）如图，二次函数y=12x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶点是C．

(1)b=_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)−1；
(2)k≤−3；
(3)3,−52或−1,−52．
【分析】
（1）把A(−2,0)代入y=12x2+bx−4即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设Dm,12m2−m−4，由tan∠AOD=DMOM=−12m2+m+4−m=52，解得D−1,−52，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为y=12x+32−92，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为Pp,12p2−p−4，根据原抛物线y=12x−12−92，求得原抛物线的顶点C1,−92，对称轴为x=1，进而得Q1,p2−2p−72，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）
解：把A(−2,0)代入y=12x2+bx−4得，
0=12×−22+b×−2−4，
解得b=−1，
故答案为−1；
（2）
解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵b=−1，
∴二次函数的解析式为y=12x2−x−4
设Dm,12m2−m−4，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52，
∴tan∠AOD=DMOM=−12m2+m+4−m=52，
解得m=−1或m=8（舍去），
当m=−1时，12m2−m−4=12+1−4=−52，
∴D−1,−52，
∵y=12x2−x−4=12x−12−92，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y=12x+a2−92，
把D−1,−52代入y=12x+a2−92得−52=12−1+a2−92，
解得a=3或a=−1（舍去），
∴平移后得抛物线为y=12x+32−92
∵过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在y=12x+32−92的对称轴x=−3的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴k≤−3；
（3）
解：由y=12x−12−92，设平移后的抛物线为y=12x−p2+q，则顶点为Pp,q，
∵顶点为Pp,q在y=12x−12−92上，
∴q=12p−12−92=12p2−p−4，
∴平移后的抛物线为y=12x−p2+12p2−p−4，顶点为Pp,12p2−p−4，
∵原抛物线y=12x−12−92，
∴原抛物线的顶点C1,−92，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴Q1,p2−2p−72，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵△PCQ是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴QC2=PC2+PQ2，
∴p2−2p−72+922=p−12+12p2−p−4+922+p−12+12p2−p−4−p2+2p+722化简得p−12p−3p+1=0，
∴p=1（舍去），或p=3或p=−1，
当p=3时，12p2−p−4=12×32−3−4=−52，
当p=−1时，12×−12+1−4=−52，
∴点P坐标为3,−52或−1,−52．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
3．（2023·浙江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−5，顶点坐标为−1,−6；
(2)−3≤x≤1
【分析】
（1）把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x2+bx+c，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把y=−2代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得y≤−2时x的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．
∴c=−51+b+c=−2，解得：b=2c=−5，
∴抛物线为y=x2+2x−5=x+12−6，
∴顶点坐标为：−1,−6；
（2）当y=−2时，x+12−6=−2，
∴x+12=4
解得：x1=1，x2=−3，

如图，当y≤−2时，
∴−3≤x≤1．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
题型02 根据二次函数的对称性求解
【解题策略】
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=x1+x22.
解题技巧：
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2a的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b2a对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
【典例分析】
例1．（2023·辽宁）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为3，0，对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）
A．abc<0B．2a+b=0C．4ac>b2D．点−2，0在函数图象上
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x=1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为3，0，再结合对称轴为直线x=1，可得出另一个交点坐标．
【详解】解：A、由二次函数的图形可知：a>0，b<0，c<0，所以abc>0．故本选项不符合题意；
B、因为二次函数的对称轴是直线x=1，则−b2a=1，即2a+b=0．故本选项符合题意；
C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2−4ac>0，即4acD、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为3，0，且对称轴为直线x=1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为−1，0．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
例2．（2023·湖南）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD= ．

【答案】4
【分析】
与抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，可得抛物线的对称轴为直线x=1+32=2，由CD∥x轴，可得C，D关于直线x=2对称，可得D4,c，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，
∴抛物线的对称轴为直线x=1+32=2，
∵当x=0时，y=c，即C0,c，
∵CD∥x轴，
∴C，D关于直线x=2对称，
∴D4,c，
∴CD=4−0=4；
故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
【变式演练】
1.（2023·浙江）设二次函数y=ax−mx−m−k(a>0,m,k是实数)，则（）
A．当k=2时，函数y的最小值为−aB．当k=2时，函数y的最小值为−2a
C．当k=4时，函数y的最小值为−aD．当k=4时，函数y的最小值为−2a
【答案】A
【分析】令y=0，则0=ax−mx−m−k，解得：x1=m，x2=m+k，从而求得抛物线对称轴为直线x=m+m+k2=2m+k2，再分别求出当k=2或k=4时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令y=0，则0=ax−mx−m−k，
解得：x1=m，x2=m+k，
∴抛物线对称轴为直线x=m+m+k2=2m+k2
当k=2时，抛物线对称轴为直线x=m+1，
把x=m+1代入y=ax−mx−m−2，得y=−a，
∵a>0
∴当x=m+1，k=2时，y有最小值，最小值为−a．
故A正确，B错误；
当k=4时，抛物线对称轴为直线x=m+2，
把x=m+2代入y=ax−mx−m−4，得y=−4a，
∵a>0
∴当x=m+2，k=4时，y有最小值，最小值为−4a，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
2.（2023·湖南）如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是
( )
A. b恒大于0B. a，b同号
C. a，b异号D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】解：∵直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，
∴对称轴为直线x=−b2a>0，
当a<0时，则b>0，
当a>0时，则b<0，
∴a，b异号，
故选：C．
先写出抛物线的对称轴方程，列出不等式，再分a<0，a>0两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
3.（2023·湖北）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−3,0)，且对称轴为直线x=−1.有以下结论：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③当−20，关于x的方程ax2+bx+c=k(x+1)必有两个不相等的实数根.其中结论正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】解：因为二次函数的图象过点C(−3,0)，且对称轴为直线x=−1，
所以由抛物线的对称性可知，点(1,0)也在抛物线上．
将(1,0)代入二次函数解析式得，
a+b+c=0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线x=−1，
所以−b2a=−1，即b−2a=0．
又a+b+c=0，
则将a=−b−c代入b−2a=0得，
2c+3b=0．
故②正确．
因为−2所以点A离对称轴更近．
则当a>0时，y1当a<0时，y1>y2．
故③错误．
由ax2+bx+c=k(x+1)得，
ax2+(b−k)x+c−k=0．
又a+b+c=0，2c+3b=0，
得b=−23c,a=−13c．
则(b−k)2−4a(c−k)
=(−23c−k)2−4×(−13c)(c−k)
=169c2+k2．
又k>0，
所以169c2+k2>0．
即该方程有两个不相等的实数根．
故④正确．
故选：C．
根据二次函数的对称轴为直线x=−1和经过点C(−3,0)，再结合抛物线的对称性即可解决问题．
本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的对称轴及经过定点得出a，b，c的关系是解题的关键．
4．（2023·北京）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线y=ax2+bx+ca>0上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x1=1，x2=2有y1=y2，求t的值；
(2)若对于0【答案】(1)t=32
(2)t≤12
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得x1,y1离对称轴更近，x1t，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于x1=1，x2=2有y1=y2，
∴抛物线的对称轴为直线x=x1+x22=32，
∵抛物线的对称轴为x=t．
∴t=32；
（2）解：∵当0∴12∵y10，
∴x1,y1离对称轴更近，x1∴x1+x22>t，
即t≤12．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
题型03 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·湖南模拟）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+x+2−1(2)b=2或b=3
(3)存在，1,0或1+172,0或1+5,0
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
【详解】（1）解：由翻折可知：C0,2.
令x2−x−2=0，解得：x1=−1，x2=2，
∴A−1,0，B2,0，
设图象W的解析式为y=ax+1x−2，代入C0,2，解得a=−1，
∴对应函数关系式为y=−x+1x−2=−x2+x+2 −1（2）解：联立方程组y=−x+by=−x2+x+2，
整理，得：x2−2x+b−2=0，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=−x+b与图象W有三个交点；
（3）解：存在．如图1，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N与C关于直线x= 12 对称，
∴点N的横坐标为1，∴P1,0；
如图2，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N点纵坐标为2，
由x2−x−2=2，解得x1=1+172，x2=1−172（舍），
∴N的横坐标为1+172，
所以P1+172,0；
如图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，此时，直线CN的解析式为y=x+2，
联立方程组：y=x+2y=x2−x−2，解得x1=1+5，x2=1−5（舍），
∴N的横坐标为1+5，
所以P1+5,0，
因此，综上所述：P点坐标为1,0或1+172,0或1+5,0．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．
【变式演练】
1．（2023·江苏模拟）如图，将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y=x交于点M，则点M的坐标为．
【答案】322,322
【分析】
本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点M、M'的关系，是本题的突破点．直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，求得抛物线与y轴的交点M'，M'绕原点O顺时针旋转45°得到M，由OM=OM'，即可求解．
【详解】
解：直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，
设抛物线y=2(x+1)2+1与y轴的交点为M'，
∵抛物线y=2(x+1)2+1，
∴x=0时，y=3，
∴M'0,3，
设点Mm,m，
由题意得：OM=OM'=3，
∴m2+m2=32，
∴m=322，
∴点M的坐标为322,322.
故答案为：322,322.
2.（2024·四川模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−(x−1)2+4（或y=−x2+2x+3）
(2)①m=4，②存在符合条件的点Q，其坐标为(−4,−21)或(2,3)或(12,−117)
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y=a(x−1)2+4，再把B(−1,0)代入即可得出答案；
（2）①过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，根据∠BAD=∠BEA=90°，又因为∠ABE=∠DBA，证明出△BAE∽△BDA，从而得出AB2=BE⋅BD，将BD=2(m+1)，BE=2，AE=4代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到C7,−4，点M的横坐标为4，B−1,0，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以BC为边时，存在平行四边形为BCMQ；2）当以BC为边时，存在平行四边形为BCQM；3）当以BC为对角线时，存在平行四边形为BQCM；即可得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，
∴设二次函数的表达式为y=a(x−1)2+4，
又∵B(−1,0)，∴0=a(−1−1)2+4，
解得：a=−1，
∴y=−(x−1)2+4（或y=−x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m>0，
∴BP=m+1，
由旋转可得：BD=2BP，
∴BD=2(m+1)，
过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，
∴BE=2，AE=4，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2=22+42=20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD=∠BEA=90°，
又∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2=BE⋅BD，
∴4(m+1)=20，
解得m=4；
②由题可得点A1,4与点C关于点P4,0成中心对称，
∴C7,−4，
∵点M在直线x=4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q−4,y1代入y=−x2+2x+3，
解得：y1=−21，
∴Q(−4,−21)，
2）、当以BC为边时，平行四边形为BCQM，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q12,y2代入y=−x2+2x+3，
解得：y2=−117，
∴Q(12,−117)，
3）、当以BC为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q2,y3代入y=−x2+2x+3，
得：y3=3，
∴Q(2,3)，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为(−4,−21)或(2,3)或(12,−117)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
题型04 二次函数图象判断综合
【解题策略】
二次函数的图象与性质
【典例分析】
例1．（2024·贵州模拟）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx在同一坐标系内的大致图像为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数y=ax+b所经过的象限和反比例函数y=−cx所在的象限．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，−b2a<0，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、三象限，反比例函数y=−cx的图像在第一，三象限，选项C符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
【变式演练】
1.（2022·湖南）已知二次函数y=ax2+bx−c(a≠0)，其中b>0，c>0，则该函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵c>0，∴−c<0，∴函数图像与y轴的交点在负半轴上，故排除A，D选项.当a>0时，∵b>0，∴对称轴x=−b2a<0，故排除B选项.当a<0时，∵b>0，∴对称轴x=−b2a>0，故C选项符合题意.故选C．
2.（2022·广西）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=bx(b≠0)的图象位于一、三象限，
∴b>0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a<0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，
故A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a>0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0
由a>0，c<0，排除C．
故选：D．
本题形数结合，根据二次函数y=bx(b≠0)的图象位置，可判断b>0；再由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质，排除A，B，再根据一次函数y=cx−a(c≠0)的图象和性质，排除C．
此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数的图象和性质是解题的关键．
3.（2023·浙江）抛物线y=ax2−aa≠0与直线y=kx交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，若x1+x2<0，则直线y=ax+k一定经过（）．
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
【答案】D
【分析】根据已知条件可得出ax2−kx−a=0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2−aa≠0与直线y=kx交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
∴kx=ax2−a，
∴ax2−kx−a=0．
∴x1+x2=ka，
∵x1+x2<0，
∴ka<0．
当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上所述，y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
题型05 二次函数与实际问题
【解题策略】
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
【典例分析】
例1．（2023·上海）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x+m)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为( )
第一次训练数据
A. 23.20cmB. 22.75cmC. 21.40cmD. 23cm
【答案】A
【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，
∴k=23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
故选：A．
根据表格中数据求出顶点坐标即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．
例2．（2023·黑龙江）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗户框的材料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF=x米，BE=y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积．
【答案】解：(1)∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，
∴BF=CF，AF⊥BC，AB=AC，
∵BF=x米，
∴CF=x米，BC=2BF=2x米，
∵AF：BF=3：4，
∴AF=34x米，
在Rt△AFB中，由勾股定理得AB= AF2+BF2= (34x)2+x2=54x米，
∴AC=AB=54x米，
∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB=∠AFC=90°，
∴FG=12AB=58x米，FH=12AC=58x米，
∵四边形BCDE是矩形，
∴ED=BC=2x米，BE=CD=y米，
∵BE//IJ//MN//CD，
∴BE=IJ=MN=CD=y米，
∵制造窗户框的材料总长为16米，
∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16米，
∴54x+54x+58x+58x+34x+2x+2x+4y=16，
整理得y=−178x+4；
由题意得x>0−178x+4>0，
解得0(2)∵S△ABC=12BC⋅AF=12⋅2x⋅34x=34x2，S矩形BCDE=BC⋅BE=2x⋅(−178x+4)=−174x2+8x，
设窗户的面积为W平方米，
则W=S△ABC+S矩形BCDE
=34x2−174x2+8x
=−72x2+8x
=−72(x−87)2+327，
∵−72<0，
∴W有最大值，
当x=87米时，W最大，最大值为327平方米．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF=3：4即可求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FG、FH的长，根据矩形的性质求出ED=BC=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米，最后根据制造窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；
(2)根据窗户的面积等于△ABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．
本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含x的式子表示y，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．
【变式演练】
1.（2023·广东）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+ca≠0，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移mm>0个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）y=−14x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=−14x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=−14，
∴二次函数的解析式为：y=−14(x-8)x=−14x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=−14x2+2x，得y=−14×12+2×1=74＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=14x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-14x2+2x，
∴新函数表达式为：y=14x2−2x(0≤x≤8)−14x2+2x(x<0或x>8)，
∵将新函数图象向右平移mm>0个单位长度，
∴O'（m，0），A'（m+8，0），B'（m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
2．（2023·浙江）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)y=−112x−22+3，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】
（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点0,2.25代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为2,3，
设抛物线解析式为y=ax−22+3，
把点A8,0代入，得36a+3=0，
解得a=−112，
∴抛物线的函数表达式为y=−112x−22+3，
当x=0时，y=83>2.44，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112x−2−m2+3，
把点0,2.25代入得2.25=−112−2−m2+3，
解得m1=−5（舍去），m2=1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．（2022·辽宁）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80，
解得k=−2b=160，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
1．（2021·广西）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+c≥−kx+m的解集是（）
A．x≤−3或x≥1B．x≤−1或x≥3C．−3≤x≤1D．−1≤x≤3
【答案】D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称
抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，
因此抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m的交点和与直线y=−kx+m的交点也关于y轴对称
设y=−kx+m与y=ax2+c交点为A'、B'，则A' (−1,y2)，B' (3,y1)
∵ ax2+c≥−kx+m
即在点A'、B'之间的函数图像满足题意
∴ax2+c≥−kx+m的解集为：−1≤x≤3
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称是解题的关键．
2.（2022·四川）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x1,0)、(2,0)，其中00；③2a−c>0；④不等式ax2+bx+c>−cx1x+c的解集为0A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，
∴①正确．
∵当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
∴②错误．
∵抛物线过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∴b=−2a−c2，
∵a+b+c<0，
∴a−2a−c2+c<0，
∴2a−c>0，
∴③正确．
如图：
设y1=ax2+bx+c，y2=−cx1x+c，
由图知，y1>y2时，x<0或x>x1，
故④错误．
故选：C．
利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
3．（2023·黑龙江）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
备用图
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+2时，求tan∠RPQ的值；
(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)2
(3)−1【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数y=ax2+bx+c的表达式即可；
（2）连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，分别表示出RM、PM的长，根据正切的定义即可得到tan∠RPQ的值；
（3）分t>0和t<0两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0，0,−3，1,−4，代入y=ax2+bx+c得到
a−b+c=0c=−3a+b+c=−4，
解得a=1b=−2c=−3，
∴二次函数y=ax2+bx+c的表达式为y=x2−2x−3；
（2）如图，连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，

∵点Q的横坐标为m，
∴Qm,m2−2m−3，
∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点P与点Q关于直线x=1对称，
设点Pn,m2−2m−3，
则m−1=1−n，解得n=2−m，
∴点P的坐标为2−m,m2−2m−3，
当x=m+2时，y=x2−2x−3=m+22−2m+2−3=m2+22−2m−1−22，
即Rm+2,m2+22−2m−1−22，
则Mm+2,m2−2m−3，
∴RM=m2+22−2m−1−22−m2−2m−3=22m+2−22，
PM=m+2−2−m=2m+2−2，
∴tan∠RPQ=RMPM=22m+2−222m+2−2=22m+2−22m+2−2=2，
即tan∠RPQ的值为2；
（3）由表格可知点A−1,0、B3,0，
将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A'0,3、B'4,3，
由题意可得，二次函数y=1t(x2−2x−3)=1tx−12−4t，与线段A'B'只有一个交点，
当t>0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1tx−12−4t开口向上，顶点1,−4t在A'B'下方，
当x=4时，1t(x2−2x−3)≥yB'，
即−3t<3，
解得t≤53，
∴t≤53，
当x=0时，1t(x2−2x−3)解得t>−1，
∴0此时满足题意，
当t<0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1tx−12−4t开口向下，顶点1,−4t在A'B'上时，−4t=3，
解得t=−43，
此时满足题意，
将点A'0,3代入y=1t(x2−2x−3)得到3=−3t，解得t=−1，
将点B'4,3代入y=1t(x2−2x−3)得到3=1t(16−8−3)，解得t=53，
∴−1
综上可知， −1【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、锐角三角函数、不等式的应用等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
4.（2023·山东）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1.若点A的坐标为(−4,0)，则下列结论正确的是( )
A. 2a+b=0
B. −4a−2b+c>0
C. x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
D. 点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2>−1时，y1【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=−1，
∴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴−4a−(2b−c)<0，
即−4a−2b+c<0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于(−4,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，
∴x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2>−1时，y1>y2，故④错误，
故选：C．
根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键．
5.（2023·四川）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−2,0)，B两点，对称轴是直线x=2，下列结论中，所有正确结论的序号为( )
①a>0；
②点B的坐标为(6,0)；
③c=3b；
④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．
A. ①②B. ②③C. ②③④D. ③④
【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，①错误，
∵A、B关于对称轴x=2对称，
∴B点的横坐标为6，②正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，
∴a=−b4，
把(−2,0)代入y=ax2+bx+c，得：
4a−2b+c=0，
∴4⋅(−b4)−2b+c=0，整理得：
c=3b，③正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，抛物线取得最大值为y=4a+2b+c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
即4a+2b≥am2+bm，④正确．
∴所有正确结论的序号为②③④．
故选：C．
通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x=2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．
6.（2023·上海）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y=2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是( )
A. 开口方向相同;B. 对称轴相同;
C. 顶点的横坐标相同;D. 顶点的纵坐标相同．
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的规律．
由抛物线向下移动可得抛物线对称轴，顶点，开口方向，进而求解．
【解答】
解：把抛物线y=2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线，抛物线对称轴不变，开口方向不变，
抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0)，
∵向下平移3个单位、新抛物线为y=2x2−3，
∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(0,−3)，
∴顶点的横坐标相同，顶点的纵坐标不相同．
7．（2023·四川）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25．求点F的坐标．
【答案】(1)y=12x2+x−4
(2)1或32
(3)4,8
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵C(0,−4)，
∴c=−4，
y=ax2+bx−4，
把A(−4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c，得：16a−4b−4=04a+2b−4=0，
解得：a=12b=1，
∴抛物线的解析式为y=12x2+x−4
（2）∵直线表达式y=kx+6，
∴直线经过定点0,6，
∴将过点0,6的直线旋转观察和新图象的公共点情况
∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y=12x2+x−4，
∴新图象表达式为：−4如下图当直线y=kx+6与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，

联立y=−12x2−x+4y=kx+6，得：−12x2−x+4=kx+6，
整理得：x2+21+kx+4=0
Δ=0，
41+k2−16=0，
41+k2=16，
1+k=±2，
k=±2−1，
k1=2−1=1时，即如上图所示，符合题意，
k2=−2−1=−3时，如下图所示，经过点B，

不符合题意，故舍去，
如下图，当直线y=kx+6经过点A时，和新图象有三个公共点，

把A(−4,0)代入y=kx+6，得：−4k+6=0，
解得：k=32，
综上所述，当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，k的值为1或32
（3）∵F在抛物线上，
∴设F坐标为a,12a2+a−4，
∵OB=2，OC=4，FG⊥CH，
∴tan∠OCB=12，
tan∠FHG=2，
HG:FG=1:2，12+22=5
∴HG:FG:FH=1:2:5，
∴DF=a，DO=12a2+a−4，
DC=DO+OC=12a2+a，
DH=12DC=14a2+12a，
FH=DH−DF=14a2−12a，
HG=55FH=5514a2−12a，
∵DFHG=25，
∴a5514a2−12a=25，
214a2−12a=a，
a2−4a=0，
aa−4=0，
a1=0（舍去），
a2=4，代入12a2+a−4=8，
∴点F的坐标为4,8
【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键．
8.（2022·贵州）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx(c≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a>0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b<0．
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c<0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=cx(c≠0)在二、四象限．
故选：B．
直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
9.（2023·江苏）函数y=1x2的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：由函数y=1x2可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大．
故选：A．
函数y=1x2的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限．
考查了函数的图象，函数y=1x2的图象是双曲线，当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大．
10.（2023·湖北）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112(x−10)(x+4)，则铅球推出的距离OA=______m.
【答案】10
【解析】解：令y=0，则−112(x−10)(x+4)=0，
解得：x=10或x=−4(不合题意，舍去)，
∴A(10,0)，
∴OA=10．
故答案为：10．
令y=0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
11.（2023·湖北）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)以、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表．
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM=125 m，MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M，N)求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x=kt，y=at2+bt，
由题意得：10=2k，4a+2b=2216a+4b=40，
解得：k=5，a=−12b=12，
∴x=5t,y=−12t2+12t，
问题解决：(1)依题意，得−12t2+12t=0．
解得，t1=0(舍)，t2=24，
当t=24时，x=120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
(2)设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y=−12t2+12t+n
∵125∴125<5t<130，
∴25在y=−12t2+12t+n中，
当t=25，y′=0时，n=12.5；
当t=26，y′=0时，n=26．
∴12.5答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
【解析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：(1)令二次函数y=0代入函数解析式即可求解；
(2)设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+12t+n.结合2512.（2023·陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′=E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上.现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′=3m时，S2=12 2m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
【答案】解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6)2+4，
把O(0,0)代入得：0=a(0−6)2+4，
解得：a=−19，
∴y=−19(x−6)2+4=−19x2+43x；
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
(2)在y=−19x2+43x中，令y=3得：3=−19x2+43x；
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6(m)，
∴S1=AB⋅BC=3×6=18(m2)；
∵18>12 2，
∴S1>S2．
【解析】(1)由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
(2)令y=3可得x=3或x=9，故BC=6(m)，S1=AB⋅BC=18(m2)；再比较S1，S2的大小即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
13.(2022·北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=ax−ℎ2+k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2(填“>”“=”或“<”)．
【答案】(1)23.20 m； y=−0.05x−82+23.20
(2) <

【解析】【分析】(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出ℎ、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
(2)着陆点的纵坐标为 t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出 d1 和 d2 ，然后进行比较即可．
【详解】(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： 8,23.20 ，
∴ ℎ=8 ， k=23.20 ，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当 x=0 时， y=20.00 ，代入 y=ax−82+23.20 得：
20.00=a0−82+23.20 ，解得： a=−0.05 ，
∴函数关系关系式为： y=−0.05x−82+23.20 ．
(2)设着陆点的纵坐标为 t ，则第一次训练时， t=−0.05x−82+23.20 ，
解得： x=8+ 2023.20−t 或 x=8− 2023.20−t ，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 d1=8+ 2023.20−t ，
第二次训练时， t=−0.04x−92+23.24 ，
解得： x=9+ 2523.24−t 或 x=9− 2523.24−t ，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 d2=9+ 2523.24−t ，
∵ 2023.20−t<2523.24−t ，
∴ 2023.20−t< 2523.24−t ，
∴ d1故答案为： < ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为 t ，用t表示出 d1 和 d2 是解题的关键．
二次函数与不等式的关系：
b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
图象
与x轴交点
2个交点
1个交点
0个交点
ax2＋bx＋c>0
的解集情况
xx2
x≠−b2a
取任意实数
ax2＋bx＋c<0
的解集情况
x1无解
无解
【其它情况】
1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；
2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．
二次函数的平移变换
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
2）平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
3）二次函数图象的翻折与旋转
变换前
变换方式
变换后
口诀
y=a(x-h)²+k
绕顶点旋转180°
y= -a(x-h)²+k
a变号，h、k均不变
绕原点旋转180°
y= -a(x+h)²-k
a、h、k均变号
沿x轴翻折
y= -a(x-h)²-k
a、k变号，h不变
沿y轴翻折
y= a(x+h)²+k
a、h不变，h变号
图象特征
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
图象
a>0
a<0
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=−b2a
顶点坐标
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
(−b2a，4ac−b24a)
最值
a>0
开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−b24a）.
增
减
性
a>0
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0
在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
x
⋯
−1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
0
−3
−4
−3
0
5
⋯
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40