2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷04（人教A版2019必修第二册）

这是一份2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷04（人教A版2019必修第二册），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2．下列命题中正确的是（ ）
A. －＝B. ＋＝0
C. 0＝D. ＋＋＝
3．在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定
4．斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级（14）班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=1，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5．如图，O是的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（ ）
A. B.
C. D.
6．对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨B. 中雨
C. 大雨D. 暴雨
7．在△ABC中，已知点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于D. 的共轭复数为
10．下列说法中正确的为（ ）
A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为30°
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
12．六氟化疏，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（ ）
A. 直线与为异面直线B. 平面平面
C. 直线与为异面直线D. 八面体外接球体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，是不共线的平面向量，，，，若，，三点共线，则实数______.
14.测量塔高AB时，选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，测塔高______．
15.如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．
16．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
18．已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若满足，求的值.
19.如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若，判断的形状，并说明理由．
21．在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．
（1）求sin∠CBD；
（2）求AC的长．
22．如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域.
0~10
10~25
25~50
50~100
小雨
中雨
大雨
暴雨
期中考试全真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限；
故选：A
2．下列命题中正确的是（ ）
A. －＝B. ＋＝0
C. 0＝D. ＋＋＝
【答案】D
【解析】起点相同向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；
，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；
0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；
根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，
故选：D.
3．在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解B. 一解
C. 两解D. 解的个数不确定
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，
则或，
所以有两解．
故选：C
4．斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级（14）班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=1，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=1，DC⊥BC，∴，DC=2，
∴原来的平面图形上底长为1，下底为2，高为的直角梯形，
∴该平面图形的面积为.
故选：B
5．如图，O是的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，
则点E为BC的中点，
且
由3，得：D是BC的四等分点，
则
，
故选A．
6．对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨B. 中雨
C. 大雨D. 暴雨
【答案】B
【解析】由题可知，设圆锥形容器中积水水面半径为，所以，解得，所以积水厚度为，因此这一天的雨水属于中雨．
故选：B
7．在△ABC中，已知点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设，因为，点O在线段CD上（与点C，D不重合），所以，
所以
因为，所以.
故选：B．
8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：
，
连接，并延长交于，
由是三角形的重心，得是的中点，
，，
由重心的性质得，即，
由余弦定理得：，
，
，，
，
则，
，，，为锐角，
是钝角三角形，或为钝角，
或，
将代入得：，，，
．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】A：由题意，，正确；
B：由题意，为纯虚数，正确；
C：由题意，，其模长为1，正确；
D：由题意，，则其共轭复数为，错误.
故选：ABC
10．下列说法中正确的为（ ）
A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为30°
【答案】BD
【解析】对于：若，，，则，故错误；
对于：向量，，所以不共线，
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故正确；
对于：已知，，则，
所以：，且和不共线．
即，且
解得且，故错误；
对于：非零向量和满足，
则以为边长的三角形为等边三角形，
所以与的夹角为，故正确．
故选：．
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由正弦定理得，故，
所以，即，所以C正确；
又，故，所以，A正确，错误；
由得：，
所以，即，
又，所以，D正确，
故选:ACD.
12．六氟化疏，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（ ）
A. 直线与为异面直线B. 平面平面
C. 直线与为异面直线D. 八面体外接球体积为
【答案】BCD
【解析】连接与，设，则为正方形的中心，连接，
根据正棱锥的性质可知必过点，即，所以、、、四点共面，所以、共面，故A错误，
显然、、、四点不共面，故直线与为异面直线，即C正确；
因为，平面，平面，所以平面，
依题意，
所以，所以，即为等腰直角三角形，
所以，即四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，故B正确；
显然，则即为外接球的球心，外接球的半径，
所以外接球的体积，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，是不共线的平面向量，，，，若，，三点共线，则实数______.
【答案】10
【解析】依题意得，.
由，，三点共线知、共线，所以存在不为零的实数，使得，即，又因为，是不共线的向量，所以，所以.
故答案为：.
14.测量塔高AB时，选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，测塔高______．
【答案】
【解析】如图，线段AB是塔，在地平面内，，，，
则有，由正弦定理得：，
直角中，，则，
所以塔高.
故答案为：
15.如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】在BA上取点，使得，连接，此时，所以即为直线SA与PD所成角．
在中，，，，由余弦定理得，，
过P作，在△BHD中，，，，由余弦定理得，
在Rt△PHD中，，，所以．
在中，，，，
所以．
故答案为：.

16．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由正弦定理知：，
∵，
∴，即，
又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，
∴，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，且，
所以，则，故．
又因为，所以，
故．
（2）由（1）及条件，．
因为，所以，解得．
18．已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若满足，求的值.
【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）因为复数为纯虚数，所以满足:解得:或
（2）设，则，将其带入中得:，整理得:，，解得:，解得:
19.如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）连接OM，则，
设，，
在中，，
∴.
（2）∵，，，∴，
∴.
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1） （2）以A为的直角三角形，理由见解析
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
即，，，
所以，，
所以．
（2）因为，
由正弦定理得，
所以，即，
即，
所以，
，所以，
所以或，
所以或，
当时，；
当时，,
所以△ABC是以A为的直角三角形．
21．在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．
（1）求sin∠CBD；
（2）求AC的长．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）中，由余弦定理得，，
即，所以，
由正弦定理可得，
即.
（2）中，由正弦定理得，，
所以，
同理，中，由正弦定理得，
因为，，
所以，所以 ，
所以，
所以.
22．如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域.
【答案】（1） （2）①；②
【解析】（1）
（2）①.
设.由题意得，则
所以
因为，则
所以，则；
②设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
即.
，令
∵，则，即
∴在上单调递增，则
所以函数值域是.
0~10
10~25
25~50
50~100
小雨
中雨
大雨
暴雨