四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试（二）数学（理）试卷（Word版附解析）

这是一份四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试（二）数学（理）试卷（Word版附解析），共29页。试卷主要包含了 已知为抛物线， 质数， 已知双曲线等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 19B. 13C. 9D. 5
4. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
5. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知各项不相等的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D. 64
8. 已知函数定义域为，且满足，则“”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知双曲线：（，），为坐标原点，为的右焦点，以为圆心，为半径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
11. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心.若，，则（ ）
A. B. 2C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13. 在的展开式中，的系数为______.
14 已知数列满足，且对任意，有，则______.
15. 已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______.
16. 已知正实数，，满足，则的最小值是______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的面积范围.
18. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.

（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.
20. 已知圆：，点是圆上的动点，点是圆内一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）为直线：上的动点，、为曲线与轴的左右交点，、分别与曲线交于、两点.证明：为定值.
21. （）.
（1）当时，证明：；
（2）证明：.
请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线 过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知关于的不等式有解.
（1）求实数取值范围.
（2）若、、均为正数，为的最大值，且.求证：.使用频数
偶尔1次
30
15
5
10
每周1～3次
40
40
30
50
每周4～6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
005
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
德阳市高中2021级质量监测考试（二）
数学试卷（理工农医类）
说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】运用复数的运算求出，再利用复数模的公式即可求解.
【详解】由题，，
.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】，解得，所以.
由得，解得，所以.
所以
故选：C
3. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 19B. 13C. 9D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】画出可行域，结合图形计算可得.
【详解】根据线性约束条件，画出可行域如下所示：
目标函数可转化为，
因此，当直线在上的截距最大时，目标函数取得最大值，
由图象可得当直线过点时，在上的截距最大，
所以得最大值为.
故选：A.
4. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线定义列方程来求得的值.
【详解】根据抛物线的定义可知，.
故选：C
5. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.
【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组.
所以，，
所以.
故选：D
6. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将正四面体放置在正方体中，由正方体的内切球的体积来确定正确答案.
【详解】如图所示，正四面体在正方体中，
一个球与正四面体的六条棱都相切，则该球与正方体内切，
正四面体的棱长为，则正方体的边长为，
也即是球的直径，半径，
所以体积为.
故选：B
7. 已知各项不相等的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得.
【详解】设等比数列的公比为，，
依题意，，
两式相除得，
解得或（舍去），
所以.
故选：C
8. 已知函数的定义域为，且满足，则“”是“是奇函数”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、诱导公式、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】依题意，，
①若，则，
所以，
此时，是奇函数.
②若是奇函数，则由于的定义域是，
所以，
此时为奇函数，符合题意，
所以.
所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
9. 已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由与共线，分共线同向和共线反向讨论，并结合向量模和数量积运算求解.
【详解】因为与共线，，，
当与共线同向时，则，
所以，
，这与矛盾，
所以与共线反向时，则，
，
，即，解得，
.
故选：B.
10. 已知双曲线：（，），为坐标原点，为的右焦点，以为圆心，为半径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的面积列方程，求得的关系式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线的方程为，设其倾斜角为，为锐角，且，
由于，所以，
，所以，
所以.
故选：A
11. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数，分类讨论，结合恒成立，即可求解.
【详解】由函数，
当时，，可得，
要使得在为单调递增函数，则恒成立，
即在恒成立，即在恒成立，可得；
当时，，可得，
要使得在为单调递增函数，则恒成立，
即在恒成立，即在恒成立，可得，
综上可得，实数的取值范围.
故选：D.
12. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心.若，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明两个线面垂直“平面”和“平面”，进而得到，得到等式，并将其转化为关系式，求解即可.
【详解】连接，并延长交于点，连接，
连接，
由于三条侧棱、、两两互相垂直，易得平面，
又因为平面，平面，所以，，
因为是的垂心，所以，
因为，，且平面，平面，，
所以平面，且平面，
所以，同理可得，
因为，，且平面，平面，，
所以平面，平面，
所以，
因为，
所以，，
即，
所以，
由平面，易得，
所以，
所以.
故选：B.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13. 在的展开式中，的系数为______.
【答案】25
【解析】
【分析】分别求解展开式中含，的项，再求出展开式中含的项的系数即可.
【详解】的展开式中项为，的项为，
所以中含的项的系数为.
故答案为：25.
14. 已知数列满足，且对任意，有，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法求得.
详解】依题意，
，
，
，
，
……
，
，
上述个式子相加得.
故答案为：
15. 已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】的定义域是，
，
由于函数在处取得极大值，
所以，
且在上单调递增，
在上单调递减，
所以单调递减，
所以，
所以，构造函数，显然，
，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以是的极大值也即是最大值，
所以，也即的取值范围是.
故答案为：
16. 已知正实数，，满足，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为为正实数，
故，
即，
，
当且仅当，即，此时，
所以的最小值为.
故答案为：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的面积范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解；
（2）设的外接圆半径为，得到，再由求解.
【小问1详解】
因为，，
所以，
因为，
所以，则，
因为，
所以，又，则，
所以.
【小问2详解】
设的外接圆半径为，则，
所以，
，
，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，
所以，
所以的面积范围.
18. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望；
（3）设出事件，结合全概率公式得到答案.
【小问1详解】
列联表如下：
故，
故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
【小问2详解】
每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，
的抽取人数为，的抽取人数为，
的抽取人数为，的抽取人数为，
的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2，
其中包含两种情况，即和，故，
包含三种情况，，和，故，
包含1种情况，即，故，
故的分布列如下：
则数学期望为；
【小问3详解】
记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件，
则，，，
小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，，
故，
故小李晚餐选择低卡甜品的概率为.
19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.

（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；
（2）求平面法向量，由二面角的余弦值为和平面，解得P点坐标，可求四面体的体积.
【小问1详解】
以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
设，其中，，
若P是的中点，则，，，
于是，∴，即.
【小问2详解】
由题设知，，是平面内的两个不共线向量.
设是平面的一个法向量，
则取，得.
又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时.
设（），而，由此得点，，
∵平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，解得，从而.
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积.
20. 已知圆：，点是圆上的动点，点是圆内一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）为直线：上的动点，、为曲线与轴的左右交点，、分别与曲线交于、两点.证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，结合椭圆的定义进行求解即可；
（2）设出相应直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合两点间距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
如图所示：连接，
由，
所以该圆的圆心坐标为，半径为，
因为线段垂直平分线交于点，
所以有，
由，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
即，
所以的方程为；
【小问2详解】
设，，
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入椭圆方程中，得
，
显然有，，
即，
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入椭圆方程中，得
，
显然有，，
即，
于是有，
，
，
，
因此为常数.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系求出相关点的坐标.
21. （）.
（1）当时，证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）放缩得到，构造，得到函数的奇偶性，二次求导，得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，证明出结论；
（2）由（1）知，令，且放缩得到，再由得到，从而得到，相加后得到结论.
【小问1详解】
当时，，
令，，
故为偶函数，
，
令，，
故为奇函数，
其中恒成立，
故在上单调递增，
其中，故在恒成立，
故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，
结合为偶函数，故在上恒成立，
故在上恒成立；
【小问2详解】
由（1）知，，
即，当且仅当时，等号成立，
令，且，所以，
故，
即，
由（1）可知，当时，，当且仅当时，等号成立，
当且时，，
故，故，即，
所以，
故
.
【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线 过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值.
【答案】（1）；.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知方程即可求出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）求出直线的倾斜角，将的参数方程代入曲线的极坐标方程并化简，结合韦达定理即可求出的值.
【小问1详解】
由题意，
在（为参数）中，
，即：，
在中，，
∵
∴，
∴曲线的直角坐标方程为：
【小问2详解】
由题意，，
在中，直线 过点，
∴，解得：，
∴，，
将的参数方程代入曲线的极坐标方程，并化简得，
∴
设点对应的参数为，
∴.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知关于的不等式有解.
（1）求实数的取值范围.
（2）若、、均为正数，为的最大值，且.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由绝对值不等式可得，再将不等式有解转化为，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可知，再由柯西不等式代入计算，即可证明.
【小问1详解】
由题意可得，，即
令，
当时，，
当时，，
当，
所以的最大值为5，
关于的不等式有解等价于，
当时，不等式转化为，即，解得，所以，
当时，不等式转化为，即，解集，所以，
综上所述，实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）可知，的取值范围为，且为的最大值，所以，
则，即，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，
所以，即.
【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法，
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
使用频数
偶尔1次
30
15
5
10
每周1～3次
40
40
30
50
每周4～6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2