2024年江苏省南通市中考数学模拟预测题（A卷）（原卷版+解析版）

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1. 下列选项中，比—2℃低的温度是( )
A. —3℃B. —1℃C. 0℃D. 1℃
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的方法进行比较即可.
【详解】A、∵|-3|=3，|-2|=2，∴-3<-2，故A选项符合题意；
B、∵|-1|=1，|-2|=2，∴-1>-2，故B选项不符合题意；
C、-2<0，故C选项不符合题意；
D、1>-2，故D选项不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.
2. 2023年5月21日，40个重大项目集中签约，计划总投资约41800000000元，将41800000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．根据科学记数法的表示方法求解即可；
【详解】，
故选：．
3. 已知=3，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得出，即，整体代入原式，计算可得.
【详解】 ，
，
，
则原式.
故选：.
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.
4. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A. （x+4）2＝﹣7B. （x+4）2＝9C. （x+4）2＝23D. （x+4）2＝﹣9
【答案】B
【解析】
【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项．
【详解】解：x2+8x+7＝0，
x2+8x＝﹣7，
x2+8x+16＝﹣7+16，
（x+4）2＝9，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
5. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A 1B. C. ﹣1D. ＋1
【答案】B
【解析】
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用三角形相似的性质结合，可得，根据面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. 如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或，即不等式的解集为或，
故选：C．
7. 已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解；
【详解】解：当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，
是关于的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
8. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么sin∠BAC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CM⊥AB于M，利用等面积法求出CM，然后利用正弦是定义求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB于M，
由题意得，
，
，
即，
解得，
．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据翻折的性质可得∠BCA＝∠ECA，再根据矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC＝∠BCA，从而得到∠ECA＝∠DAC，设AD与CE相交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF和△DEF相似，设DF＝x，则AF＝FC＝3x，在Rt△CDF中，利用勾股定理列式求出CD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【详解】∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BCA＝∠ECA，AE＝AB＝CD，EC＝BC＝AD，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠ECA＝∠DAC，
设AD与CE相交于F，则AF＝CF，
∴AD﹣AF＝CE﹣CF，即DF＝EF，
∴，
又∵∠AFC＝∠DFE，
∴△ACF∽△DEF，
∴=，
设DF＝x，则AF＝FC＝3x，
在Rt△CDF中，CD＝＝2x＝AB，
又∵BC＝AD＝AF+DF＝4x，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
10. 的最小值是（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式把原式变形是解题关键；根据完全平方公式，把原式变形，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
的最小值是2．
故选：．
二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】x-1
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：根据分式有意义的条件可知，
x+10，
解得x-1，
故答案为：x-1．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，当分式的分母不等于0时，分式有意义．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法解答，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
13. 知点在x轴上，则点P的坐标是___________．
【答案】(4，0)．
【解析】
【分析】根据x轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m-4=0，解得：m=2，所以m+2=4，所以点P的坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的坐标特征是解题的关键．
14. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；
【详解】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：，
故答案为：；
15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可；
【详解】关于x的一元二次方程有实数根，
且，
且；
故答案为：且．
16. 《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步．
【答案】1255
【解析】
【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长．
【详解】解：根据题意得步，步，步，步，
，
，
，即①，
，
，
，即②，
由①②得，
即，
，
，
，
，
（步），
即山峰的高度为1255步．
故答案为：1255．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长．
17. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为____．
【答案】1+.
【解析】
【详解】试题分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中，，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN=，OM=AN=，
∴OD=+，OD=BD=﹣，
∴B（+，﹣），
∴双曲线y=（x＞0）同时经过点A和B，
∴（+）•（﹣）=k，
整理得：k2﹣2k﹣4=0，
解得：k=1±（负值舍去），
∴k=1+．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】作辅助线,先利用勾股定理求出AB的长,接下来证明△AFM∽△ABC，得 ,代入线段长即可求出FM的长,最后利用折叠的性质即可解题.
【详解】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，（勾股定理）
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴ ,即
解得，FM＝，
由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，
∴PM＝，
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理,垂线段最短等知识，难度较大,解题的关键是正确找到点P位置．
三、解答题（本大题共有8小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）化简：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，解一元二次方程：
（1）先把被除数的分式分子分母分解因式，再把除法变成乘法，然后约分化简即可得到答案；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
20. 如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段的中点，连接．若．求k的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；设A点坐标为，C点坐标为，根据线段中点坐标公式可得B点坐标为，利用点在反比例函数图象可得，再根据三角形面积公式即可求出k；
【详解】解：设A点坐标为，C点坐标为，
B恰为线段的中点，
点坐标为，
B在反比例函数图象上，
，
，
，
，
，
；
21. 为了落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．
（1）从四门课程中随机选一门，选中趣味数学的概率等于_______；
（2）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果是，再找到两次抽取卡片上的数字之积为偶数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有四门课程，每一门课程被选择的概率相同，
∴从四门课程中随机选一门，选中趣味数学的概率等于，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中2种符合题意，
∴他俩第二次同时选课程A或B的概率是．
22. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知，当，y的取值范围是，求a，m的值．
【答案】（1）直线
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式：
（1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可；
（2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线对称轴为直线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴
∵，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵当，y的取值范围是，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴，
解得或（舍去）．
23. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）若AB＝10，BC＝12，求△DFC的面积；
（2）若tan∠C＝2，AE＝6，求BG长．
【答案】（1）△DFC的面积＝8.64；（2）BG＝．
【解析】
【分析】（1）连接AD，由AB是⊙O直径，得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到DF⊥AC，根据射影定理得到CD2＝CF•AC，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）连接BE，由AB是⊙O的直径，得到BE⊥AC，根据已知条件得到BE＝2DF，设CF＝EF＝x，则DF＝2x，得到BE＝4x，AB＝AC＝6+2x，根据勾股定理列方程得到AB＝10，BE＝8，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝10，
∴DF⊥AC，
∵BD＝CD＝6，
∵DF⊥AC，
∴由射影定理得，CD2＝CF•AC，
∴62＝10•CF，
∴CF＝3.6，
∴DF＝＝4.8，
∴△DFC的面积＝CF•DF＝3.6×4.8＝8.64；
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，tan∠C＝2，
∴BE∥DF，DF＝2CF，
∵BD＝CD，
∴CF＝EF，
∴BE＝2DF，
设CF＝EF＝x，则DF＝2x，
∴BE＝4x，AB＝AC＝6+2x，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴（6+2x）2＝62+（4x）2，
∴x＝2，x＝0（舍去），
∴AB＝10，BE＝8，
∵BE∥FG，
∴△ABE∽△AGF，
∴，
∴，
∴BG＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的是作出辅助线是解题的关键．
24. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【答案】（1）；
（2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
【小问3详解】
解：依题意剩余利润为元，
捐款后每天剩余利润不低于2200元，
，即，
由得或，
，，
捐款后每天剩余利润不低于2200元，，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是．
25. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．
（1）求的大小；
（2）过点C作，垂足为G，连接．
①求证：；
②连接，若，求的值．
【答案】（1）
（2）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）连接，根据点A关于直线的对称点为点F，得到，，从而得到，即可求出，，根据正方形得到，即可得到答案；
（2）①连接，，根据正方形性质得到，，根据得到，从而得到点A，点D，点G，点C四点共圆，即可得到证明；②连接，，根据四边形是正方形得到，，结合（1）可得和均为等腰直角三角形，易得，从而得到，结合三角函数即可得到答案；
【小问1详解】
解：如图1，连接，
∵点A关于直线的对称点为点F，
∴，，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：如图2，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴，
由（1）知，
∴，
∴；
②解：如图3，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，
由①知：，
∵，，
∴，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A关于直线的对称点为点F，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
；
【点睛】本题主要考查正方形的性质与折叠，三角形全等的判定与性质，三角函数的应用，解题的关键是作辅助线根据性质找到相等关系量．
26. 如图1，抛物线：（）与x轴交于A、B两点（在的左侧），与y轴交于点．
（1）求、、三点的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）当时，若点是抛物线上一点，且，求所有满足条件的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若将抛物线沿着x轴向右平移m（）个单位后得到抛物线，如图2，与原直线交于、两点（在的左侧），且，求m的值．
【答案】（1）A（，0）；B（，0）；C（0，）
（2）P（，）或P（，）
（3）
【解析】
【分析】（1）把和分别代入y=ax2+10ax+16a即可得出A、B、C三个点的坐标；
（2）先根据，求出点C的坐标，求出a的值，得出函数的关系式，分点P在AC上方和点P在AC下方两种情况进行讨论即可；
（3）过点M作ME⊥x轴于点E，NF⊥y轴于点F，先求出BC的解析式，设出点N的坐标，用n表示出CF，证明，根据相似三角形的性质，表示出点M的坐标，根据平移写出抛物线的关系式，联立得：，整理得出关于x的一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系，列出关于m、n的方程组，解方程组得出m的值即可．
【小问1详解】
解：把代入y=ax2+10ax+16a得：y=16a，
∴点C的坐标为（0，16a），
把代入y=ax2+10ax+16a得：ax2+10ax+16a=0，
∵a≠0，
∴x2+10x+16=0，
解得：，，
∴点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（-2，0）．
【小问2详解】
，
∴OC=，
∴点的坐标为（0，-4），
，
解得：，
∴函数关系式为：；
当点PAC下方时，如图所示：
，
∴轴，
点P的纵坐标与C点的纵坐标相同，
把代入得：，
解得：，，
∴此时点P的坐标为：（-10，-4）；
当点P在AC上方时，PC与x轴交于点D，如图所示：
，
，
设点D的坐标为（），
，，
，
解得：，
，
设的关系式为，把代入得：，
∴的关系式为，
联立，解得：，，
∴此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：（-10，-4）或．
【小问3详解】
过点M作ME⊥x轴于点E，NF⊥y轴于点F，如图所示：
设BC的关系式为，把代入得：，解得：，
的关系式为，
设点N的坐标为：（n＞0），则，
∵轴，
，
，
，
，
，，
点的坐标为，
抛物线关系式为：
向右平移m个单位后，关系式为：
联立得：，
整理得：，
、N两点横坐标为方程的两个解，
由①得：，
把代入②得：，
解得：，（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定和性质和一元二次方程根与系数的关系，并注意分类讨论，是解题的关键．