四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是( )
A. 菱形的对角线相等B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的四个角相等D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
3.由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是( )
A. 主视图的面积最小
B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小
D. 三个方向看的视图面积相等
4.若，且，则值为( )
A. 10B. 4C. D.
5.如图，阳光通过窗口AE射到室内，在地面上留下3米宽的亮区BC，已知亮区BC到窗口下的墙脚的距离米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度DE为( )
A. 2米
B. 米
C. 3米
D. 4米
6.对于反比例函数，下列说法错误的是( )
A. 图象经过点B. 图象位于第二、四象限
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，y随x的增大而增大
7.下列所给的方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
8.某大型超市今年1月的营业额100万元，按计划第一季度的总营业额要达到331万元，若该超市2月、3月营业额的月均增长率相同且设为x，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
9.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的积是6的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
10.如图，点B、D在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点A，轴于点E，且，若，则k的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知关于x的一元二次方程有一个根为2，则c的值为______.
12.如图，四边形OABC是菱形，，，则顶点A坐标是______.
13.如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为______.
14.如图，AB和CD表示两根直立于地面的木桩，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD的交点为已知，，则点M离地面的高度______.
15.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，过点C的反比例函数的图象交AB于点若，平行四边形OABC的面积为18，则k的值为______.
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
解方程：
；
17.本小题9分
已知m，n是一元二次方程的两个实数根.
求的值？
求的值？
18.本小题9分
如图在正方形网格直角坐标系中每个小方格的边长为1，的各个顶点坐标分别是，，
请在网格图中以点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为2：要求与在P点同一侧；
请根据作图直接写出、、的坐标；
求的周长.
19.本小题8分
某学校在每周下午开展的球类课外活动中，成立了以下四个社团：足球，篮球，排球，乒乓球；并且每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中B所占扇形的圆心角为请结合图中所给信息解答下列问题：
这次被调查的学生共有______人；
请将条形统计图补充完整；
若该校共有1200学生加入了社团，请你估计这1200名学生中有多少人参加了篮球社团；
在乒乓球社团中，甲、乙、丙、丁、戊、这五人在平时的活动中表现非常优秀，而且这五位同学中恰好有三名是男同学，两名是女同学；现决定从这五人中任选两名参加全县乒乓球大赛，请用画树状图或列表的方式求恰好选中一男一女的概率.
20.本小题9分
如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象相交于，两点.
求反比例函数和一次函数的解析式；
根据图象直接写出不等式的解集；
求面积.
21.本小题8分
如图所示，矩形ABCD中，，，点E在线段DA上运动，方向由D向A每秒走4cm，点F在线段CD上运动，方向由C向D每秒走2cm，当两点之一到达终点则停止运动；请问它们同时出发多少秒时，以D、E、F为顶点的三角形与相似？
22.本小题8分
利用方程解决实际问题：某大型百货商场将进货价为40元的水杯以50元售出，平均每月能售出500个，调查表明：售价在50元至70元范围内，这种水杯的售价每上涨5元，其销售量就将减少50个.为了实现平均每月8000元的销售利润，这种水杯的售价应定为多少？这时应进水杯多少个？
23.本小题9分
在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法并利用灯光下的影子长来测量一路灯高度；如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点B处时，乙测得甲直立时身高BE的影子AB长是，然后甲从B出发沿AC方向继续向前走到点D处时，乙测得甲直立时身高DF的影子CD长是；已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度
24.本小题10分
如图，正方形ABCD中，点F在边BC上，点E是DF的中点，连接AE、
求证：
将CE绕点E顺时针旋转，使点C的对应点落在BD上，连接当点F在边BC上运动时点F不与B，C重合，判断的形状，并说明理由.
在的条件下，已知，当时，求CF的长.
25.本小题12分
【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交y轴于点D，轴交x轴于点C，则______；______； CD与AB的位置关系：______.
【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当A，B是双曲线同一支上任意两点，过A、B分别向y轴、x轴作垂线，交y轴于点D，交x轴于点C，连接AC、
①试探究与面积的关系并说明理由.
②试探究CD与AB之间的位置关系并说明理由.
【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点A，B在反比例函数的图象上，且，B是反比例函数第三象限内图象上的一动点，过点A作轴，过点B作轴，垂足分别分为D、C，若四边形ABCD的面积为45，求点B的坐标.
【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点C是此函数第二象限内图象上的动点点C在点B的右侧，直线BC分别交于y轴、x轴于点D、G，连接AC分别交y轴、x轴于点E、若，求的值？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：当时，方差不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：因为菱形的对角线互相垂直，所以A选项错误，不符合题意；
B.因为矩形的对角线相等，所以B选项错误，不符合题意；
C.正方形、矩形的四个角相等，所以C选项错误，不符合题意．
D.因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以D选项正确，符合题意；
故选：
根据正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知：
正视图：5个小正方形；
俯视图：3个小正方形；
左视图：5个小正方形；
则俯视图的面积最小．
故选：
先得出三视图：正视图为5个小正方形；俯视图为3个小正方形；左视图为5个小正方形；再求其面积，比较大小即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握．三视图的定义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
故选：
先利用等比性质得到，然后利用可是出值．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：，
∽，
，
米，米，米，
米，米，
，
解得，米．
故选：
根据光沿直线传播的道理可知，则∽，根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、把代入得，，则在图象上，选项正确，不符合题意；
B、图象位于第二、四象限，选项正确，不符合题意；
C、当时，y随x的增大而增大，选项错误，符合题意；
D、当时，y随x的增大而增大，选项正确，不符合题意．
故选：
根据反比例函数的性质即可直接作出判断．
本题考查了反比例函数的性质：
反比例函数的图象是双曲线；
当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
7.【答案】D
【解析】解：，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B.，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C.，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D.，则方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：
先分别计算出4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断各方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8.【答案】D
【解析】解：设该公司1、2两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程，
故选：
用增长后的量=增长前的量增长率即可表示出1月与2月的营业额，根据第一季度的总营业额要达到9100万元，即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为
9.【答案】A
【解析】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两次取出小球标号的积是6的倍数的结果数为4种，
所以两次取出小球标号的积是6的倍数的概率
故选：
画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次取出小球标号的积是6的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
10.【答案】A
【解析】解：轴于点C，
四边形OABC是矩形，
，
，，
，
将代入得：
，
，
，
，
，，由勾股定理得：
即，
解得，
反比例函数图象在第四象限，
故选：
四边形OABC是矩形，，可得，利用勾股定理建立方程即，解出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于k的方程是解答本题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
，
；
故答案为：
将代入方程即可求出c的值．
本题考查了一元二次方程的解，掌握代入法是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形OABC是菱形，对角线OB、AC交于点D，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：
由菱形的性质得，，，由勾股定理得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明并且正确地求出OA的长是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：弦，点C是靠近点B的黄金分割点，设，则，
，解方程得，，
点D是靠近点A的黄金分割点，设，则，
，解方程得，，
，D之间的距离为，
故答案为：
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
∽，∽，
相似三角形对应高的比等于相似比，，
，
，
故答案为：
根据已知易得∽，∽，根据相似三角形的性质可得比例式，把相关数值代入求解即可．
此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．
15.【答案】40
【解析】解：如图，作轴，轴，垂足分别为M、N，
，
，
，
，即，
设，，则，
平行四边形OABC的面积为18，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
整理得，
作轴，轴，根据比例关系得到，设，，则，由平行四边形OABC的面积为18可得，根据，推出∽，得到，求出点C、D坐标，依据反比例函数k值几何意义建立关于a、b的方程整理得到，用点的坐标之积求出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，
【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解；根据根与系数的关系得，，
所以；
是一元二次方程的根，
，
，

【解析】先利用根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算；
先根据一元二次方程根的定义得到，则看化为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
18.【答案】解：如图，为所作；
，，；
，，，
的周长
【解析】延长PA到使，延长PB到使，延长PC到使，则满足条件；
利用所画图形写出、、的坐标；
根据两点间的距离公式计算出，，，从而得到的周长．
本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
19.【答案】200
【解析】解：这次被调查的学生总数为人；
故答案为：200；
项目的人数为人，
条形统计图补充为：
人，
所以估计这1200名学生中有360人参加了篮球社团；
画树状图为：
共有20种种等可能的结果，其中一男一女的结果数为12种，
所以恰好选中一男一女的概率
从扇形统计图中可得到B项目中人数所占的百分比，然后用B项目中的人数除以这个百分比得到调查的总人数；
先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
用1200乘以样本中B项目人数即可；
画树状图展示所有20种种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体和统计图．
20.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，两点在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
根据图像，不等式的解集为：或
在函数中，令，则，
，
，

【解析】待定系数法求出两个函数解析式即可；
根据图像可直接写出不等式的解集即可；
先求出直线与y轴的交点坐标，得到，利用代入数据计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式是关键．
21.【答案】解：设点E、F运动时间为t秒，由题意得：，，
则，
四边形ABCD是矩形，，，
，，，
当∽时，，即，
解得：；
当∽时，，即，
解得：；
答：它们同时出发2秒或5秒时，以D、E、F为顶点的三角形与相似．
【解析】设点E、F运动时间为t秒，由题意得：，，则，分两种情况：当∽时，当∽时，分别根据相似三角形的性质列方程求解即可．
本题考查了矩形的性质，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，动点问题，解题关键是运用分类讨论思想解决问题．
22.【答案】解：设这种水杯的售价定为x元，则每个水杯的利润为元，平均每月的销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
个
答：这种水杯的售价应定为60元，这时应进水杯400个．
【解析】设这种水杯的售价定为x元，则每个水杯的利润为元，平均每月的销售量为个，利用总利润=每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：设，，
，，，
，
∽，∽，
，，
，，
解得，
路灯离地面的高度GH为
【解析】设，，根据，，，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，
点E是DF的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
解：是等腰直角三角形，
理由：由，
将CE绕点E顺时针旋转，点C的对应点落在BD上，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
解：延长CE交AD于点H，则，
≌，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或不符合题意，舍去，
的长为
【解析】由正方形的性质得，，因为点E是DF的中点，所以，则，即可推导出，进而证明≌，得；
由旋转得，则，所以，，则，所以，再证明，则，所以是等腰直角三角形；
延长CE交AD于点H，则，而，所以，由，，得，则，而，所以，可证明∽，得，则，由，求得，则，，于是得，即可求得CF的长为
此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25.【答案】
【解析】解：【感知】，轴，
，，
，
，轴，
，，
，
，，
直线CD的解析式为，
设直线AB的解析式为，
，
解得，
直线AB的解析式为，
，
故答案为：16，16，；
【探究】①设，，
轴，
，
轴，
，
，，
与面积相等；
②设，，
设直线AB的解析式，
，
解得，
直线AB的解析式为，
，，
直线CD的解析式为，
；
【运用】连接AC，BD，
点A在反比例函数上，
，
解得，
，
设，
，，
四边形ABCD的面积为45，
，
解得，
；
【拓展】设，，
过点C作轴交于M点，过点B作轴交于N点，过点A作轴交于H点，
，
，
，
，
，
，
点A与点B关于原点对称，
，
，
，
【感知】，，分别求出直线CD和直线AB的解析式，由k值相等可判断AB与CD平行；
【探究】①设，，则，，由此可得与面积相等；
②设，，分别求出直线CD和直线AB的解析式，由k值相等可判断AB与CD平行；
【运用】连接AC，BD，求出，设，再求，，根据四边形ABCD的面积为，求出x的值即可求B点坐标；
【拓展】设，，过点C作轴交于M点，过点B作轴交于N点，过点A作轴交于H点，则，根据平行线分线段成比例可得，则，再由点A与点B关于原点对称，求出，再根据，求出
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行线的性质和判定方法是解题的关键．