专题01 五大类解三角形题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新题型）

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【题型1 三角形周长定值及最值】
【题型2 三角形涉及长度最值问题】
【题型3 三角形涉及中线长问题】
【题型4 三角形涉及角平分线问题】
【题型5 三角形面积最值问题】
三角形周长定值及最值
：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
最值步骤如下：
第一步：先表示出周长
第二步：利用正弦定理将边化为角
第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值
已知的内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的周长．
在中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)若,且,求的周长.
在中，，且
（1）求；
（2）若，求的周长.
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的周长．
2．的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，求的周长最小值．
3．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值．
4．的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
5．在锐角中，，，
(1)求角A；
(2)求的周长l的范围.
6．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
7．设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
三角形涉及长度最值问题
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
在中，角所对的边分别为.若.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
在中，已知，且.
(1)试确定的形状；
(2)求的值．
已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围.
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为
(1)求角A的大小；
(2)当时，求的取值范围.
已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
1．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范围．
2．已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
3．在锐角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
4．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
5．记△的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的范围.
6．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
7．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若为的中点，且，求的最小值.
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．
(1)若，求的面积；
(2)若为钝角三角形，求a的取值范围．
三角形涉及中线长问题
①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）
如：在与同用求
②中线长常用方法
③已知，求的范围
∵为定值，故满足椭圆的第一定义
∴半短轴半长轴
中，，，，则边上的中线长_______.
在中，，．边上的中线，则_____．
中，，则边上中线的长为_____．
1．已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
2．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
3．在中，
(1)若，求的面积；
(2)求边上的中线的取值范围．
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)若，求边上的中线的长．
5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、．
①；②；③．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
(1)求角；
(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．
7．记的内角的对边分别为，面积为，已知.
(1)求的值；
(2)若边上的中线，求周长的最小值.
8．已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.
(1)若为中线，且，求；
(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围.
三角形涉及角平分线问题
张角定理
如图，在中，为边上一点，连接,设，
则一定有
证明过程：∵∴
同时除以得
在中，角所对的边分别为，，交于点D，且，则的最小值为________．
在中，角所对的边分别为，点在边上，，，，则的长为________．
已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ .
在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求证：；
(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．
2．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

(1)求的大小;
(2)若,求的面积.
3．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
4．在中，内角、、的对边分别为、、，若.
(1)求角的大小；
(2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值.
5．已知中，内角所对的边分别为，且.
(1)若的平分线与边交于点，求的值；
(2)若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.
6．如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
7．中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的长.
8．已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.
(1)求角C的大小；
(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.
三角形面积最值问题
：面积最值问题
技巧：正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
秒杀方法：
在中，已知,
则：
其中 分别是的系数
三角形面积公式
①
②其中分别为内切圆半径及的周长
推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式
③（为外接圆的半径）
推导：将代入可得
将代入
可得
④
⑤海伦公式（其中）
推导：根据余弦定理的推论
令，整理得
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（ ）
已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为（）
在中，角的对边分别为，已知,，则的面积最大值为_____________
中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
1．中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
2．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
3．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．
4．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
5．已知中内角，，所对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．
6．在中，角，，的对边分别是，，，满足.
(1)求角；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
8．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.