2023-2024学年河北省承德一中等校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德一中等校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若|a|= 3,|b|=2，a与b的夹角为150°，则a⋅b=( )
A. −1B. −2C. −3D. − 3
2.下列结论正确的是( )
A. 平行向量不一定是共线向量B. 单位向量都相等
C. 零向量与任一向量的数量积为0D. 两个单位向量之和不可能是单位向量
3.为了得到函数g(x)=2sin(2x+1)的图象，只需把函数f(x)=2sin2x的图象上所有的点( )
A. 向右平移1个单位长度B. 向左平移1个单位长度
C. 向右平移12个单位长度D. 向左平移12个单位长度
4.函数f(x)= 1−2csx的定义域为( )
A. [−4π3+2kπ,π3+2kπ],k∈ZB. [π3+2kπ,5π3+2kπ],k∈Z
C. [π6+2kπ,5π6+2kπ],k∈ZD. [−π3+2kπ,π3+2kπ],k∈Z
5.已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，且|2a−b|= 15，则|b−a|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,0≤ω≤6,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)=( )
A. 2sin(3x+π6)+1
B. 3sin(3x+π6)
C. 2sin(x+π6)+1
D. 2sin(5x+π3)+1
7.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|AO|=|AC|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. −34BC
8.已知函数f(x)=sin(2x−π6)−12的定义域为[m,n](mA. [π3,π]B. [π3,2π3]C. [π2,2π3]D. [π2,π]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知0<α<β<π，且csα=45，sin(β−α)=1，则( )
A. csβ=35B. sinβ=45
C. sin2α=2425D. sin(2α+β)=−44125
10.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，D为线段AC的中点，DM⊥BC，F为线段AB的中点，E为线段DM上的动点，下列结论正确的是( )
A. 若E为线段DM的中点，则EF=12DA+12MB
B. 若E为线段DM的中点，则|EF|=94
C. FM⋅FD=4
D. EF⋅AB的取值范围为[12,2]
11.已知函数f(x)=csx−1csx，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称
B. 函数h(x)=|f(x)|的最小正周期为2π
C. 函数g(x)=2f(x)+|f(x)|在(0,π2)上单调递减
D. 对于函数g(x)=2f(x)+|f(x)|，∀x∈(0,π2)，3|g(x)|=g(x+π)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1−4e2，b=ke1+2e2，若a与b共线，则k= ______．
13.已知函数f(x)=tan(2x+φ)(0<φ<π)在(−π6,π3)上单调递增，则φ= ______．
14.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于直线x=a对称，若集合{a|π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，|a+b|= 7．
(1)求a−b与a的夹角；
(2)若∀n∈R，(a−b)⊥(ma+nb)，求m的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2(x+π6)+cs2(x−π3)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[0,π]，求方程f(x)=12的解．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=14BC．
(1)用向量AB,AC表示AD；
(2)若AB⋅AC=8DA⋅DB，求ACAB的值．
18.(本小题17分)
如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π4，C是弧AB上的动点(不含点A、B)，作CE/​/OA交OB于点E，作EF⊥OA交OA于点F，同时以OA为斜边，作Rt△OAG，且∠AOG=2∠COA．
(1)求△OAG的面积的最大值；
(2)从点C出发，经过线段CE、EF、FA、AG，到达点G，求途径线段长度的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+12(ω>0)，且当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值为π．
(1)求ω的值；
(2)若f(x)在(π2−α,π2+α)上有且仅有一个x0，使得f(x0)取得最小值，求α的取值范围；
(3)若函数g(x)=[f(x)]2−a2在[π3,5π3]内有3个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为|a|= 3，|b|=2，a与b的夹角为150°，
所以a⋅b=|a||b|cs150°= 3×2×(− 32)=−3．
故选：C．
利用平面向量数量积的定义求解即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对A，平行向量又叫共线向量，A选项错误；
对B，单位向量长度相等，但方向不一定相同，B选项错误；
对C，零向量与任一向量的数量积为0，C选项正确；
对D，两个单位向量夹角为120°时，两个单位向量之和也是单位向量，D选项错误．
故选：C．
利用向量的定义和运算，逐项判断．
本题考查向量的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为g(x)=2sin(2x+1)=2sin[2(x+12)]，
为了得到到函数g(x)=2sin(2x+1)的图象，
只需把函数f(x)=2sin2x的图象上所有的点向左平移12个单位长度．
故选：D．
利用三角函数图象变换可得出结论．
本题主要考查了三角函数图象的变换，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数f(x)= 1−2csx的意义，则1−2csx≥0，即csx≤12，解得π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ,k∈Z，
所以函数f(x)= 1−2csx的定义域为[π3+2kπ,5π3+2kπ],k∈Z．
故选：B．
根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得．
本题考查的知识点：函数的定义域，三角函数的不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，且|2a−b|= 15，
则4a2−4a⋅b+b2=15，
即a⋅b=14×(4×4+1−15)=12，
则|b−a|= b2−2b⋅a+a2= 1−2×12+4=2．
故选：B．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：观察函数图象知，f(x)max=A+b=3，f(x)min=−A+b=−1，解得A=2，b=1，
即f(x)=2sin(ωx+φ)+1，由f(0)=2，得sinφ=12，而|φ|<π2，则φ=π6，
于是f(x)=2sin(ωx+π6)+1，由f(5π9)=0，得sin(5π9ω+π6)=−12，
即5π9ω+π6=−5π6+2kπ或5π9ω+π6=−π6+2kπ,k∈Z，
解得ω=−95+18k5或ω=−35+18k5,k∈Z，函数f(x)的周期为2πω，
显然有πω<5π9<2πω，解得95<ω<185，又0≤ω≤6，因此ω=3，
所以f(x)=2sin(3x+π6)+1．
故选：A．
根据给定的函数图象，由最值求出A，b，由f(0)=2求出φ，再由f(5π9)=0结合周期与区间长度的关系求出ω得解．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为2AO=AB+AC，所以BC为圆O的直径，∠BAC=90°，
又|AO|=|AC|，所以△OAC为等边三角形，所以∠ABC=30°，
所以BA在向量BC上的投影向量为|BA|cs∠ABC⋅BC|BC|= 32|BC|⋅ 32⋅BC|BC|=34BC．
故选：B．
由2AO=AB+AC，知BC为圆O的直径，进而知△OAC为等边三角形，再由投影向量的计算方法，得解．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量线性运算，投影向量的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π6)−12的周期为π，由f(x)≤0，得sin(2x−π6)≤12，
即−7π6+2kπ≤2x−π6≤π6+2kπ,k∈Z，解得−π2+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
在长为一个周期的区间[−5π6,π6]上，取k=0，得−π2≤x≤π6，当x=−π6时，f(x)min=f(−π6)=−32，
函数f(x)在[−π2,−π6]上单调递减，在[−π6,π6]上单调递增，
由f(x)在[m,n](m当m=−π2时，−π6≤n≤π6，所以π3≤n−m≤2π3，
当n=π6时，−π2≤m≤−π6，所以π3≤n−m≤2π3，
所以n−m的取值范围是[π3,2π3]．
故选：B．
根据函数f(x)的解析式，结合函数的周期性，在长为一个周期的区间内探讨使得f(x)≤0的函数性质即可得解．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：由0<α<β<π，得0<β−α<π，由sin(β−α)=1，得β−α=π2，即β=π2+α，
显然0<α<π2<β<π，而csα=45，则sinα= 1−cs2α=35，
对于A，csβ=−sinα=−35，A错误；
对于B，sinβ=csα=45，B正确；
对于C，sin2α=2sinαcsα=2425，C正确；
对于D，cs2α=2cs2α−1=725，则sin(2α+β)=sin2αcsβ+cs2αsinβ=2425×(−35)+725×45=−44125，D正确．
故选：BCD．
根据给定条件，确定α，β的关系及范围，再利用同角公式、二倍角公式、和角的正弦公式求解即得．
本题考查了同角公式、二倍角公式、和角公式，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：易知：|AD|=|CD|= 3，|DM|= 32，〈DM,AB〉=30°，
对A：EF=ED+DA+AF，且EF=EM+MB+BF，
两式相加得EF=12DA+12MB，故A正确；
对B：|EF|=12 DA2+MB2+2DA⋅MB
=12 3+254+2 3⋅52⋅cs30°= 674，故B错误；
对C：设G为线段DM的中点，则GD=−GM，
FM⋅FD=(FG+GM)⋅(FG+GD)
=FG2−GM2=( 674)2−( 34)2=4，故C正确；
对D：EF⋅AB=(ED+DA+AF)⋅AB
=ED⋅AB+DA⋅AB+AF⋅AB
=ED⋅AB+12AB2
=|ED|×2cs150°+2=2− 3|ED|，
又E为线段DM上的动点，则|ED|∈[0, 32]，
所以EF⋅AB∈[12,2]，故D正确．
故选：ACD．
利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，逐项判断即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，f(π−x)+f(x)=cs(π−x)−1cs(π−x)+csx−1csx=0，
因此f(x)的图象关于点(π2,0)对称，A正确；
对于B，h(x+π)=|cs(x+π)−1cs(x+π)|=|−csx+1csx|=h(x)，即π是h(x)的周期，B错误；
对于C，当x∈(0,π2)时，0令t=csx∈(0,1)，显然函数t=csx在(0,π2)上单调递减，而函数y=t−1t在(0,1)上单调递增，
因此函数g(x)在(0,π2)上单调递减，C正确；
对于D，由选项C知，∀x∈(0,π2)，3|g(x)|=3(1csx−csx)，
g(x+π)=2[cs(x+π)−1cs(x+π)]+|cs(x+π)−1cs(x+π)|
=2(−csx+1csx)+1csx−csx=3(1csx−csx)，因此3|g(x)|=g(x+π)，D正确．
故选：ACD．
利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D．
本题考查三角函数的性质，函数的对称性，属于中档题．
12.【答案】−12
【解析】解：由向量e1，e2不共线，得a≠0，
由向量a=e1−4e2与b=ke1+2e2共线，
得ke1+2e2=λ(e1−4e2),λ∈R，则k=λ2=−4λ，所以k=λ=−12．
故答案为：−12．
根据给定条件，利用共线向量定理求出k即得．
本题主要考查共线向量定理，属于基础题．
13.【答案】−π6
【解析】解：函数f(x)=tan(2x+φ)，由−π2<2x+φ<π2，得−π4−φ2因此函数f(x)在(−π4−φ2,π4−φ2)上单调递增，又f(x)在(−π6,π3)上单调递增，
于是(−π6,π3)⊆(−π4−φ2,π4−φ2)，即−π4−φ2≤−π6π4−φ2≥π3，解得φ=−π6．
故答案为：−π6．
求出函数f(x)的含有数0的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解即得．
本题考查正切函数的单调性，属于中档题．
14.【答案】2
【解析】解：依题意，函数f(x)图象的相邻两条对称轴间距离小于π，即f(x)的半周期πω<π，
且函数f(x)图象的间隔一条的两条对称轴间距离不小于π，即f(x)的周期2πω≥π，
解得1<ω≤2，而ω为正整数，则ω=2，
当ω=2时，f(x)=sin(2x+π3)，由2x+π3=π2+kπ,k∈Z，得x=π12+kπ2,k∈Z，
显然13π12,19π12∈(π,2π)，符合题意，所以ω=2．
故答案为：2．
根据给定条件，函数f(x)相邻两条对称轴间距离小于π，间隔一条的两条对称轴间距离不小于π，求出正整数ω并验证即得．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，|a+b|= 7，
则a2+b2+2a⋅b=7，
解得a⋅b=1，
而|a−b|= a2+b2−2a⋅b= 3，(a−b)⋅a=a2−a⋅b=3，
因此cs〈a−b,a〉=(a−b)⋅a|a−b||a|=3 3×2= 32，
即〈a−b,a〉=π6，
即a−b与a的夹角为π6；.
(2)由(1)知|a|=2,|b|=1，a⋅b=1，
由(a−b)⊥(ma+nb)，
得(a−b)⋅(ma+nb)=ma2−nb2+(n−m)a⋅b=3m=0，
解得m=0，
所以m的值为0．
【解析】(1)根据给定条件，求出a⋅b，再求出夹角的余弦即可．
(2)由(1)中信息，利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律及已知求解即得．
本题考查了垂直关系的向量表示，重点考查了数量积的运算律，属基础题．
16.【答案】解：(1)依题意，函数f(x)=sin2(x+π6)+cs2[(x+π6)−π2]=2sin2(x+π6)=−cs(2x+π3)+1，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)由(1)知，f(x)=−cs(2x+π3)+1，
由2kπ≤2x+π3≤π+2kπ,k∈Z，解得kπ−π6≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是[kπ−π6,π3+kπ](k∈Z)．
(3)由(1)知，f(x)=−cs(2x+π3)+1，由f(x)=12，得cs(2x+π3)=12，
而x∈[0,π]，即2x+π3∈[π3,7π3]，于是2x+π3=π3或2x+π3=5π3或2x+π3=7π3，
解得x=0或x=2π3或x=π，
所以方程f(x)=12的解是0或2π3或π．
【解析】(1)利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简函数f(x)，再利用余弦函数周期公式求解即得．
(2)由(1)中函数式，利用余弦函数的单调性列式求解．
(3)由(1)中函数式求出方程的解．
本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14(BA+AC)=34AB+14AC．
(2)DA⋅DB=−(34AB+14AC)⋅14(AB−AC)=−116(3AB2−AC2−2AB⋅AC)．
因为AB⋅AC=8DA⋅DB，
所以AB⋅AC=−32AB2+12AC2+AB⋅AC，
则−32AB2+12AC2=0，即|AC|2|AB|2=3，
所以ACAB= 3．
【解析】(1)用AB,AC为基底和BD=14BC 表达出AD；
(2)计算DA⋅DB得到−32AB2+12AC2=0，即可得到ACAB．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设∠AOC=θ，则0<θ<π4，∠AOG=2θ，
在Rt△OAG中，∠OGA=π2，OA=1，则OG=OAcs2θ=cs2θ，
AG=OAsin2θ=sin2θ，
所以S△OAG=12OG⋅AG=12cs2θsin2θ=14sin4θ，
因为0<θ<π4，则0<4θ<π，
当4θ=π2时，即当θ=π8时，△OAG的面积取最大值，且最大值为14．
(2)过点C作CH⊥OA，垂足为点H，
因为CE/​/OA，EF⊥OA，CH⊥OA，则四边形CEFH为矩形，
所以EF=CH=OCsinθ=sinθ，OH=OCcsθ=csθ，
因为EF⊥OA，∠AOE=π4，则△OEF为等腰直角三角形，则OF=EF=sinθ，
所以CE=FH=OH−OF=csθ−sinθ，AF=OA−OF=1−sinθ，AG=sin2θ，
所以CE+EF+FA+AG=(csθ−sinθ)+sinθ+(1−sinθ)+sin2θ=sin2θ+(csθ−sinθ)+1，
令t=csθ−sinθ= 2( 22csθ− 22sinθ)= 2cs(θ+π4)，
因为0<θ<π4，则π4<θ+π4<π2，则0所以t= 2cs(θ+π4)∈(0,1)，t2=(csθ−sinθ)2=1−2sinθcsθ=1−sin2θ，
所以sin2θ=1−t2，
所以sin2θ+(csθ−sinθ)+1=(1−t2)+t+1=−t2+t+2=−(t−12)2+94，
故当t=12时，CE+EF+FA+AG取最大值94，
因此，从点C出发，经过线段CE、EF、FA、AG，到达点G，求途径线段长度的最大值为94．
【解析】(1)设∠AOC=θ，则0<θ<π4，∠AOG=2θ，求出OG、AG的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得△OAG的面积的最大值；
(2)计算出线段CE、EF、FA、AG的长，令t=(csθ−sinθ)∈(0,1)，可得出sin2θ=1−t2，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值．
本题考查了三角函数应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)函数的定义域为R，最大值为32，最小值为−12，
当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值为π．
得函数f(x)的周期T=2π，所以ω=2πT=1．
(2)由(1)知，函数f(x)=sin(x+π6)+12的周期2π，
由f(x)在(π2−α,π2+α)上有且仅有一个x0，使得f(x0)取得最小值，得0<2α≤2π，解得0<α≤π，
由x+π6=−π2+2kπ,k∈Z，即x=−2π3+2kπ,k∈Z，得f(x)min=−12，
显然−π2≤π2−α<π2,π2<π2+α≤3π2，因此4π3∈(π2−α,π2+α),10π3∉(π2−α,π2+α)，
则π2−α<4π3<π2+α≤10π3，解得5π6<α≤17π6，于是5π6<α≤π，
所以α的取值范围是5π6<α≤π．
(3)由(1)知，函数f(x)=sin(x+π6)+12，由g(x)=0，得a=f(x)或a=−f(x)，
由函数g(x)在[π3,5π3]内有3个零点，得直线y=a与函数y=f(x)，y=−f(x)在[π3,5π3]上的图象有3个公共点，
当x∈[π3,5π3]时，x+π6∈[π2,11π6]，则函数y=f(x)在[π3,4π3]上递减，函数值从32减小到−12，
在[4π3,5π3]上递增，函数值从−12增大到0；函数y=−f(x)在[π3,4π3]上递增，函数值从−32增大到12，
在[4π3,5π3]上递减，函数值从12减小到0，
在同一坐标系内作出直线y=a与函数y=f(x)，y=−f(x)在[π3,5π3]上的图象，
观察图象知，当−12所以a的取值范围是(−12,0)∪(0,12)．
【解析】(1)根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出函数的周期，再求出ω．
(2)求出函数的最小值点，借助函数的周期求解．
(3)把函数的零点转化为直线与函数图象的交点，利用数形结合法求出范围．
本题主要考查了给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．