2024年江西省金溪县一中中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡的相应位置。错选、多选、未选均不得分．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，绝对性，根据绝对性的性质先化简，再根据相反数的定义即可求解，掌握绝对性的性质和相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的相反数是，
故选：．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a3•a2＝a6B. 2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
C. （3a2）2＝6a4D. 2a+3a＝5a
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以多项式进而分别计算得出答案．
【详解】A、，故此选项错误；
B、2a（3a-1）=6a2-2a，故此选项错误；
C、（3a2）2=9a4，故此选项错误；
D、2a+3a=5a，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的1个小正方体，则下列说法正确的是（ ）
A. 主视图一定变化B. 左视图一定变化
C. 俯视图一定变化D. 三种视图都不变化
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解:去掉最上面的小正方体，其主视图与俯视图不变，即主视图两层，看到下层三个小正方形，上层一个小正方形，俯视图依然还是看到四个正方形；变化的是左视图上层有两个，拿走一个，由两个小正方形组成长方形变为一个小正方形．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图，左视图，俯视图的定义是解题关键．
4. 若，则一次函数的图象一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过第一、三象限；时，直线必经过第二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
根据，则，或，，分别根据，或，分析一交过后象限，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，或，，
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
∴若，则一次函数的图象一定经过第一、四象限；
故选：D．
5. 实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，若mn＜0，且|m|＜|n|，则原点可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】由若mn＜0可知，m、n异号，所以原点可能是点B或点C，而又由|m|＜|n|即可根据距离正确判断．
【详解】解：∵mn＜0
∴m、n异号
∴原点可能是点B或点C
又由|m|＜|n|，观察数轴可知，原点应该是点B．
故选B．
【点睛】本题考查的是绝对值的意义，利用数形结合的思想研究绝对值会让问题更加明确清晰，是一种常用的方法．
6. 如图，在平面直角坐标系中，有两条顶点（点和点）都在轴上的抛物线、这两抛物线与在轴上方且平行轴的直线交于，，，四点，，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质和矩形的判定与性质，过作轴于点，过作轴于点，可得四边形是矩形，再根据性质得，最后根据二次函数的对称性即可求解，熟练掌握二次函数的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∵为顶点，
∴根据抛物线的对称性可知：，，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 4的算术平方根是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．依据算术平方根根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
8. 已知一粒米的质量约是，将用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 如图，是的内接三角形，是的直径，是上一点，连接，，，则的度数是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，由是的直径，得，则有，从而求出，根据同弧所对的圆周角相等即可，熟练掌握圆周角定理时解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出的值是解题的关键；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）

【答案】2.7．
【解析】
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
12. 如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，则tanA=______．
【答案】或2或1
【解析】
【分析】分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可．
【详解】分三种情况：
①如图1，
高AC=BC，
此时tanA==2；
②如图2，高BC=AC，
此时tanA==；
③如图3，
高CD=AB，
∴D为AB的中点，
∵CD⊥AB，
∴AC=BC，
此时tanA==1.
故答案为或2或1．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边上的中线与等腰三角形的判定方法，能求出符合的所有情况是解此题的关键，有一定难度，要分情况讨论．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转至处，连接，求的长．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）先进行零指数幂运算，负整数指数幂的运算，三角函数值的运算和二次根式的化简，再进行实数的运用即可；
（）先利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出是一个等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出斜边长；
本题考查了实数的混合运算，旋转的性质和勾股定理，熟练掌握运用法则，旋转的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】（）原式，
，
；
（）解：∵，，，
∴由勾股定理得，
∵绕点顺时针旋转至处，
∴，，
由勾股定理得，
14. 如图，的两个顶点，分别落在反比例函数与的图象上，边在轴上．
（1）当时，的面积是________；
（2）若的面积为，求的值．

【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）设，由四边形是平行四边形，则、两点的纵坐标相同，都是，求出，故有，然后用面积公式即可求解；
（）设，由四边形是平行四边形，则两点的纵坐标相同，都是，求出，故有，然后用面积公式即可求解；
本题考查了反比例函数与几何问题的综合，准确的表示点的坐标并转化为线段的长度并求出面积是解题的关键．
小问1详解】
当时，，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴、两点的纵坐标相同，都是，
当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
设，
∵四边形是平行四边形，
∴两点的纵坐标相同，都是，
∴当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴．
15. 你玩过“十点半”的卡牌游戏吗？这种卡牌游戏的一种玩法如下：将一副扑克中的张红心牌（规定：红心为点，红心、、分别为半点，其他牌面的数是几就是几点）洗匀后正面朝下分别放在桌面上，两个游戏的参与者轮流从这些牌中抽牌，每次抽张（不放回），每人最多抽三次，谁抽取的牌的点数和大，谁就获胜（点数和相邻不算胜），但点数和不能多于十点半，否则以点计算．第一轮，小张首先抽到红心，接着小王抽到红心，第二轮小张抽到红心，而小王抽到红心，到此小张决定放弃抽第三次．根据概率的知识请你回答以下问题：
（1）若小王也放弃抽第三次，则小张在游戏中获胜是______事件；若小王选择抽第三次，则小张在游戏中获胜是______事件；
（2）若小王选择抽第三次，求小王获胜的概率．
【答案】（1）必然，随机；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据概念即可求解；
（）根据题意列出所有可能的结果，然后计算概率即可；
本题考查了事件的分类和概率的计算，根据题意列出所有可能的结果，然后计算概率即可，熟练掌握求概率公式是解题的关键．
【小问1详解】
小张第一轮抽到红心，第二轮小张抽到红心，则点数和为六点半，
小王第一轮抽到红心，第二轮小王抽到红心，则点数和为四点半，
若小王也放弃抽第三次，则小张在游戏中获胜是必然事件，
若小王选择抽第三次，则小张在游戏中获胜是随机事件，
故答案为：必然，随机；
【小问2详解】
由于红心，，，已经被抽出，剩下张牌，
∵小张第一轮抽到红心，第二轮小张抽到红心，则点数和为六点半，
∴小王选择抽第三次时
抽到则点数和为五点半，小王不获胜，
抽到则点数和为六点半，小王不获胜，
抽到则点数和为七点半，小王获胜，
抽到则点数和为九点半，小王获胜，
抽到则点数和都大于十点半，以点计算，小王不获胜，
抽到则点数和为五点，小王不获胜，
共有种等可能结果，小王获胜的有种，
∴小王获胜的概率为．
16. 图1是某育花苗圃的木制园门，门上头是半圆，下部是长方形．现有一辆装满货物的小货车要从该木制园门（园门各部位尺寸见图）开进该苗圃，车高，宽．问：这辆小货车能否通过该苗圃的木制园门？
【答案】车能通过此门，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理得应用，结合图形信息与已知条件可知，，利用勾股定理得出的长； 然后根据求出的长即可，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】车能通过此门，理由如下：
如图，
可知，
∵车宽米，
∴车能否通过，只要比较距门中线米处的高度与车高，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴车能通过此门．
17. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（1）在图1中作的中线．
（2）在图2的的边上作点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求；
（2）取格点，，连接交于，连接，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图1所示，取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求．

理由：由图可得点E为的中点，
∴为的中线，
∵
∴点F为的中点，
∴为的中线，
∵交于O，
∴点O为重心，
∴为的中线．
【小问2详解】
解：如图2：取格点，，连接交于，连接，点即为所求；
理由： ，
∴
∴，，
，
，
，，
，
∴．
【点睛】本题考查格点作图，三角形的中线，三角形的重心，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握网格的特征，作出满足条件的图形．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某中学开展安全知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如下面的图表所示：
单位：分
（1）将上表填写完整．
（2）试问哪班的5名选手的复赛成绩更整齐？通过计算说明．
（3）复赛后如果要在两班中选出一个优胜班，你认为选哪个班更合适些？并至少列举两条理由说明．
（方差计算公式：）
【答案】（1）80，85
（2）八（2）班的5名选手的复赛成绩更整齐
（3）选八（2）班为优胜班更合适，理由见详解
【解析】
【分析】（1）平均数，众数的计算公式求解即可；
（2）计算两班的方差，通过比较方差大小即可得出结论；
（3）通过比较方差与众数（或中位数），即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
八（1）班5名同学成绩80分的人数最多，所以八（1）班的众数为80；
八（2）班5名同学成绩85分的人数最多，所以八（2）班的众数为85；
故填表如下：
【小问2详解】解：，
，
∵，
∴八（2）班的5名选手的复赛成绩更整齐．
【小问3详解】
解：选八（2）班更合适．
因为八（2）班5名选手的复赛成绩方差较小，说明整体成绩更稳定；八（2）班5名选手的复赛成绩的众数（或中位数）比八（1）班5名选手的复赛成绩的众数（或中位数）大，
所以选八（2）班为优胜班更合适．
【点睛】本题考查求平均数，众数，方差，长形统计图，利用平均数、众数、方差做决策．熟练掌握平均数、众数、方差的计算公式是解题的关键．
19. 某农村中学八年级两个班各为本校一名重病学生捐款元，已知班的人数比班的人数少班比班人均捐款多元，请你根据上述信息，分别以其中一班的“人数”，“人均捐款”为未知数列出相应的两个分式方程，并求出这两个班级的“人数”和“人的捐款”的钱数．
【答案】A班的人数50人，A的人均捐款为36元，B班的人数为45人，B班的人均捐款为40元．
【解析】
【分析】设A班的人数x人，A的人均捐款为y元，则B班的人数为（1-10%）x，B班的人均捐款为（y+4）元，然后根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设A班的人数x人，A的人均捐款为y元，则B班的人数为（1-10%）x，B班的人均捐款为（y+4）元，
由题意得：，，
解得，
经检验，都是原方程的解，
∴B班的人数为（1-10%）×50=45人，B班的人均捐款为36+4=40元．
答：A班的人数50人，A的人均捐款为36元，B班的人数为45人，B班的人均捐款为40元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系求解．
20. 请你观察下列四个等式；
①；②；③；④
写出一个只含的整数）表示上面规律的等式，并给予证明；
我们知道，如果能构成直角三角形的三条边长的三个整数，称为勾股数．(如：)现一直角边为的直角三角形三边是否为勾股数?若能请利用第问中的等式算出这组勾股数．若不能说明其理由；
第问中表示上面规律的等式．是表达所有勾股数的关系式吗?若是请利用该关系式再写由另外两组勾股数，若不是请举一个例子，说明．
【答案】（1），证明见解析（2）存在；（3）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可；
（2）∵，根据上述规律得出，即可得出结论；
（3）如9，12，15不能满足上述规律，解答即可．
【详解】解：（1）由题中等式的规律可得：
，
等式左边=
等式右边；
（2）存在，理由如下：
∵，
把代入上式得：，
即，
∴勾股数存在，为；
（3）不表示所有勾股数，
如9，12，15，，
9，12，15是勾股数，但并不满足上面规律的等式，
故上面规律的等式不能表达所有勾股数．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21 探索发现
（1）数学课上，老师出了一道题：如图1，在中，，．试探索的度数．
学以致用1
（2）如图2，四边形是一张边长为2的正方形纸片，，分别为，的中点，将该纸片沿过点的直线翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，请运用（1）中的结论求的度数和的长．
学以致用2
（3）若矩形纸片按如图3所示的方式折叠，，两点恰好重合于对角线上的一点（如图4），则当时，求的长．
【答案】（）；（），；（）．
【解析】
分析】（）中，根据，即可证明；
（）求出的度数，利用翻折变换的性质可求出的度数, 在求得出，在中可求出，利用翻折变换的性质可得出的长度；
（）先判断出，得出，，从而求出的长度，根据翻折变换的性质可得出，在中求出，继而得出，同理可求出，即可得出答案；
本题考查了翻折变换的知识，涉及了含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）解：中， ，，
∴，
∴；
（）∵正方形边长为，为的中点，
∴，
∵沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠落在处，
∴，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则；
（）∵折叠后两点恰好重合于一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
在中，，
则 ，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
同理. ，
∴．
22. 教材回顾
如图1，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面的面积．
解答过程：．
．

问题分析：纸扇是由含同一个圆心角，半径不同的两个扇形组成的，本题已知的三个条件扇形的圆心角和两个扇形的半径．
新编问题
如图1、扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为．，
（1）求扇面的面积．
形成规律
（2）如图1．扇形纸扇完全打开后，扇面的长为，，，求证：扇面的面积．
问题延伸
（3）如图2、若要从矩形中剪出符合“教材回顾”题干中要求的扇面，求矩形的两边长度的最小值．

【答案】（1）
（2）见解析
（3）和．
【解析】
【分析】（1）根据弧长公式求出、的长，再根据扇形面积公式，由计算即可；
（2）设，根据弧长公式求出、的长，再根据，然后把，、的长代入计算即可得出结论；
（3）连接，过点A作于N，延长交于T，交于M，求出，的长即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（2）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∵，
∴，
即．
（3）连接，过点A作于N，延长交于T，交于M，

∵矩形，
∴
由题意得，，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∴
由（1）知：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形OPQR的两边长度的最小值为和．
【点睛】本题考查扇形面积与弧长的计算公式，垂径定理，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．熟练掌握扇形面积与弧长的计算公式是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23. 已知一系列抛物线，，，，，，（为非负整数）．抛物线与轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．
（1）抛物线的顶点坐标是________，与轴的交点，的坐标分别是________．
（2）①通过该系列抛物线所有顶点的图象是___________，其函数解析式是__________；
②抛物线的解析式是________________．
（3）探究下列结论：
①若轴于点，求的值．
②将抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，点，的对应点分别为，．
Ⅰ．直接写出抛物线的解析式；
Ⅱ．设四边形的面积是，求与的关系式．
【答案】（1），，；
（2）一条直线；；；
（3）；．
【解析】
【分析】（）观察规律及根据二次函数的性质即可求解；
（）的顶点坐标是，的顶点坐标是，的顶点坐标是，的顶点坐标是，的顶点坐标是，观察可得通过该列抛物线所有顶点的图象是一条直线然后用待定系数法即可求解，
观察这列抛物线的顶点坐标，由规律可知的顶点坐标是，即可求出抛物线的解析式是；
（）由（）可知，求出，可得，把点)的坐标代入到的解析式即可求解；
令，即，解得：，，则，，然后用面积求解即可；
本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【小问1详解】
∵，
∴抛物线顶点坐标是，
令，即，
解得：，，
∵点在点的左边，
∴，，
故答案为：，，；
【小问2详解】
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
观察可得通过该列抛物线所有顶点的图象是一条直线，
设该直线的解析式为，
将，和，代入直线解析式，得：，
解得：，
∴直线的解析式是，
故答案为：一条直线；；
观察这列抛物线的顶点坐标，由规律可知的顶点坐标是，
∴抛物线的解析式是，
故答案为：；
【小问3详解】
由（）可知：，
∴，
∵轴，
∴，
把点)的坐标代入到 的解析式得：
，
解得；
∵顶点坐标为是旋转得到抛物线，
∴；
．令，即，
解得：，，
∴，
∵，
由（）可知，
∴，
由题意可知四边形平行四边形，
∴
整理得：．
班别
平均数
中位数众数
众数
八（1）班
80
八（2）班
85
85
班别
平均数
中位数
众数
八（1）班
85
80
80
八（2）班
85
85
85