四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（二）数学（文科）试题（原卷版+解析版）

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本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A 2B. C. D.
4. 已知函数若，则m的值为（ ）
A. B. 2C. 9D. 2或9
5. 如下图，在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，，则图形面积的估计值为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在的图象大致为
A. B. C. D.
7. 已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A 2B. 2或4C. 1或2D. 1
8. 设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知数列满足且，则（ ）
A. 3B. C. -2D.
10. 设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
11. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. _______．
14. 直线与圆交于两点，则_____________.
15. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________．
16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，.已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则_________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；
由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
18. 在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.
（1）求；
（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.
19. 已知球内接正四棱锥高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20. 已知椭圆C：离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
21. 已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）当时，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点P的极坐标为，直线l与曲线相交于E，F两点，直线l与曲线相交于A，B两点，且，求实数m的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，函数的最小值为，若，，均为正数，且，求的最大值．
年龄
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间
3
35
3.5
4