四边形证明题-中考数学专题复习

这是一份四边形证明题-中考数学专题复习，共25页。试卷主要包含了如图，四边形是平行四边形，；，如图①，菱形纸片，等内容，欢迎下载使用。

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，，时，求的长．
2．如图，四边形是平行四边形，；

(1)如图①，当与相切时，求证：四边形是菱形．
(2)如图②，当与相交于点E时．
（Ⅰ）若，，求的半径．
（Ⅱ）连接，交于点F，若，则的度数是 °．
3．如图，在矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交边边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求四边形的面积．
4．如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．

(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求四边形的面积．
6．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
7．如图①，菱形纸片，．对其进行如下操作：
把翻折，使点A与点D重合，折痕为；把翻折，使点C与点D重合，折痕为（如图），连接，．设两条折痕的延长线交于点O．

(1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数；
(2)四边形是菱形吗？请说明理由．
8．在四边形中，已知，，于点E，于点F．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的周长．
9．如图，在 中，点分别为的中点，连接并延长至点，使 ，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，四边形是何特殊平行四边形? 请说明理由．
10．如图，在四边形中，，对角线交于点O，且点O是的中点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点E、F分别在线段和上，连接，且．当是以为腰的等腰三角形时，求点E到边的距离．
11．如图1，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
12．已知在平行四边形中，点F在边上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长．
13．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为菱形；
(3)在（2）的条件下，若，，求菱形的面积．
14．如图，在平行四边形中，、为对角线上两点，，连接、、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：四边形为菱形；
(3)在（2）的条件下，连接交于点，若．求证：四边形为正方形．
15．如图1，在中，，点是的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，作的平分线交于点，延长到，使．

(1)求证：；
(2)连接，．
①如图2，判断四边形的形状，并证明；
②如图3，若为等边三角形，其他条件不变，已知等边的边长为4，求的面积．
参考答案：
1．（1）证明：∵中，，分别是，的中点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作于，

∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（1）解：连接并延长，交于点M，连接，如图所示：
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
（2）解：（Ⅰ）连接并延长，交于点P，连接、，，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：．
即圆的半径为．
（Ⅱ）连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
3．（1）
证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵O是的中点
∴
在和中，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）
∵
∴四边形是菱形
设，则
∴，
∵四边形是矩形
∴，
在中，勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
4．
证明：四边形是平行四边形，
，，
点、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形．
5．（1）证明：∵，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（3）∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
6．1）证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为．
7．1）解：如图，延长，交于点，

四边形是菱形，，
，，，
把翻折，使得点与点重合，折痕为；把翻折，使得点与点重合，折痕为，
，，，，，，
，
；
（2）证明：，，
，且，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，且，，
，
，
四边形是菱形．
8．（1）
证明：∵，
，
，
，
∴，
又∵，
四边形是平行四边形；
（2）
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为．
9．（1）证明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
10．（1）证明：∵点O是的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，，
∴，
当时，如图，点E与O重合，过E作于M，则，
∵，
∴，
∴，又，
∴；
当时，如图，则，
过E作于M，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
综上，点E到边的距离为或．
11．（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
12．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作交于点，交于点，
，
由（1）可得：，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，即，
，
由解得：，
，
．
13．1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图，作于点H，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积．
14．（1）
证明：如图，连接交于点，
在中，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）
证明：在中，，
是菱形，
，
，
平行四边形是菱形．
（3）
证明：在（2）的条件下，
，
设，则，，
由勾股定理得，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
四边形是正方形．
15．（1）证明：∵在中，，点是的中点，
∴
根据作图可得，是的角平分线，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①四边形是菱形，
证明：如图2，∵，，则垂直平分，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
②如图3，为等边三角形，等边的边长为4，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．