2023-2024学年甘肃省武威三中教研联片八年级（下）第一次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威三中教研联片八年级（下）第一次质检数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. 18+ 2=2 5B. 18− 2=4
C. 18× 2=36D. 18÷ 2=3
2.若 (5−x)2=x−5，则x的取值范围是( )
A. x<5B. x≤5C. x≥5D. x>5
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 6，8，10
4.若x=2− 3，则代数式x2−4x+7的值为( )
A. 7B. 6C. −6D. −7
5.下列各式计算正确的是( )
A. 2−2 2=− 2B. a2b=ab
C. (−4)×(−9)= −4× −9D. 6÷ 3= 3
6.如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH=( )
A. 3+1B. 5C. 3D. 52
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形
C. 当▱ABCD是正方形时，AC=BD
D. 当▱ABCD是菱形时，AB=AC
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 2B. 1C. 4D. 52
9.若直角三角形两条直角边的边长分别为 15cm和 12cm，那么此直角三角形斜边长是( )
A. 3 2cmB. 3 3cmC. 9cmD. 27cm
10.如图，∠BAC=90°，四边形ADEB、BFGC、CHIA均为正方形，若S四边形ADEB=6，S四边形BFGC=18，四边形CHIA的周长为( )
A. 4 6B. 8 3C. 12 2D. 8 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算： 3× 5=______．
12.如果y= 7−x+3 x−7+2，那么xy=______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则AB的长为______．
14.如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为______．
15.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式 c2−a2−b2+|a−b|=0，则△ABC的形状为______．
16.若 8与最简二次根式 a−1可以合并，则a= ______．
17.如图，从一个大正方形中可以裁去面积为8cm2和32cm2的两个小正方形，则大正方形的边长为 ．
18.某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要______元．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
(1)|1− 3|− 9+3−8；
(2)( 3+ 2)( 3− 2).
(3)( 12− 13)× 3；
(4) 12−( 3−2)2+(−12)−2．
20.(本小题6分)
如图是单位长度为1的正方形网格．
(1)在图1中画出一条长度为 10的线段AB；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
21.(本小题5分)
已知a=2+ 3，b=2− 3，求a2b+ab2的值．
22.(本小题6分)
已知|x−3|+ x−y+1=0，求 x2y+xy2+14y3的值．
23.(本小题7分)
如图，住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．
(1)求这块空地的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15．
求：(1)CD的长；
(2)AD的长．
25.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2 2，DA=1，CD=3.求四边形ABCD的面积．
26.(本小题10分)
问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4.点M，N是边AB，BC上两点，且BM=CN=1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．

(1)探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
(3)拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC=45°，请直接写出线段PM的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 18+ 2=3 2+ 2=4 2，原计算错误，不符合题意；
B、 18− 2=3 2− 2=2 2，原计算错误，不符合题意；
C、 18× 2= 36=6，原计算错误，不符合题意；
D、 18÷ 2=3 2÷ 2=3，正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．
本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查二次根式的性质与化简： a2=a(a≥0)， a2=−a(a≤0).因为 a2=−a(a≤0)，由此性质求得答案即可．
【解答】
解：∵ (5−x)2=x−5，
∴5−x≤0
∴x≥5．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、82+62=102，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
4.【答案】B
【解析】解：∵x=2− 3，
∴x−2=− 3，
∴(x−2)2=3，
∴x2−4x+4=3，即x2−4x=−1，
∴x2−4x+7=−1=7=6．
故选：B．
先移项得到x−2=− 3，两边平方得到x2−4x=−1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
5.【答案】A
【解析】解：A、 2−2 2=− 2，故该选项计算正确，符合题意；
B、 a2b=|a| b，故该选项计算错误，不符合题意；
C、 (−4)×(−9)= 4×9= 4× 9，故该选项计算错误，不符合题意；
D、 6÷ 3= 6÷3= 2，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：A．
根据二次根式的性质和运算法则和逐项求解判断即可．
本题考查二次根式的运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则并正确选择是解答的关键．
6.【答案】B
【解析】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD/​/AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，∠CHF=∠AGQ CH=AG ∠FCH=∠QAG ，
∴△FCH≌△QAG(ASA)，
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2−1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= EM2+QM2= 22+12= 5，
即EG+QG=EG+FH= 5．
故选：B．
先过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，先判定△FCH≌△QAG(ASA)，得出AQ=CF=2，FH=QG，然后判定四边形ADEM是矩形，再在Rt△EMQ中，根据勾股定理求得EQ= 5，即可得到EG+QG=EG+FH即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解．
7.【答案】D
【解析】解：A、当∠ABC=90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
B、当AC⊥BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
C、当▱ABCD是正方形时，由正方形的对角线可得AC=BD，故该选项不符合题意；
D、当▱ABCD是菱形时，可得AB=BC=CD=DA，不能得到AB=AC，故该选项符合题意；
故选：D．
根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个判断即可．
本题考查了对矩形、菱形、正方形的判定和性质的应用，能正确运用判定定理和性质定理进行判断是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/AB，DE=12AB=5，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×6=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=10，根据三角形中位线定理得到DE/​/AB，DE=12AB=5，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，得到DF=AD，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得：此直角三角形斜边长= ( 15)2+( 12)2=3 3；
故选：B．
利用勾股定理进行计算即可求解．
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理的内容是关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ADEB、BFGC均为正方形，S四边形ADEB=6，S四边形BFGC=18，
∴AB2=6，BC2=18，
∵∠BAC=90°，
∴AC2=18−6=12，
∴AC= 12=2 3，
∴四边形CHIA的周长=4×2 3=8 3，
故选：B．
由正方形的面积易求其边长AB2，BC2的长，再由勾股定理可求出AC的长，进而可求出四边形CHIA的周长．
本题考查了勾股定理的运用以及正方形的性质，熟记勾股定理的内容是解题的关键．
11.【答案】 15
【解析】解：原式= 3×5= 15，
故答案为： 15
原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解本题的关键．
12.【答案】49
【解析】解：由题意可知：7−x≥0x−7≤0，
∴x=7，
∴y=2，
∴原式=72=49，
故答案为：49．
根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
13.【答案】2 5
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，
∴AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
故答案为：2 5．
直接根据勾股定理进行计算即可．
本题考查了勾股定理和二次根式的运算，题目较为基础，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
14.【答案】7 1313
【解析】解：∵S△ABC=3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=72，AB= 22+32= 13，
∴点C到AB边的距离=2S△ABCAB=7 1313．
故答案为：7 1313．
利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离．
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C到AB边的距离是解题的关键．
15.【答案】等腰直角三角形
【解析】解：∵ c2−a2−b2+|a−b|=0，
∴c2−a2−b2=0，且a−b=0，
∴c2=a2+b2，且a=b，
则△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得出c2=a2+b2，且a=b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C为直角，进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形．
此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质.熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解： 8=2 2，
依题意得：a−1=2，
解得a=3，
故答案为：3．
先计算 8=2 2，再根据题意得a−1=2，进而可求解．
本题考查了同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握基础知识是解题的关键．
17.【答案】6 2cm
【解析】解：由题意知：AB2=32，BC2=8，
∴AB= 32=4 2，BC= 8=2 2．
∴AC=AB+BC
=4 2+2 2
=6 2(cm)．
故答案为：6 2cm．
先求出两个小正方形的边长，再求出大正方形的边长．
本题主要考查了二次根式的应用，掌握正方形的面积公式和二次根式的加法法则是解决本题的关键．
18.【答案】420
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用.正确计算地毯的长度是解决本题的关键．
根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱．
【解答】
解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，
价格是14×30=420元．
故答案为420．
19.【答案】解：(1)原式= 3−1−3−2
= 3−6；
(2)原式=3−2
=1；
(3)原式= 36− 1
=6−1
=5；
(4)原式=2 3−3+4 3−4+4
=6 3−3．
【解析】(1)先计算绝对值和化简，再计算加减即可；
(2)利用平方差公式计算即可；
(3)利用乘法分配律计算即可；
(4)先利用完全平方公式和负整数指数幂，再计算加减即可．
本题考查了实数的运算，平方差公式，完全平方公式和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是关键．
20.【答案】解：(1)如图1所示，AB即为所求；
(2)如图2所示，正方形即为所求．

【解析】(1)根据勾股定理作出以1和3直角边的三角形的斜边即可；
(2)利用勾股定理作以 5为边的正方形即可．
本题考查了勾股定理，是基础题，熟练掌握网格结构以及勾股定理的应用是解题的关键．
21.【答案】解：∵a=2+ 3，b=2− 3
∴a+b=2+ 3+2− 3=4，
ab=(2+ 3)(2− 3)=1
∴a2b+ab2=ab(a+b)=4．
【解析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
首先求得a+b与ab的值，根据a2b+ab2=ab(a+b)代入即可求解．
22.【答案】解：∵|x−3|+ x−y+1=0，
∴x−3=0，x−y+1=0，
解得：x=3，y=4，
∵ x2y+xy2+14y3
= y(x2+xy+14y)
= y(x+12y)2
=|x+12y| y，
∴当x=3，y=4时，
原式=|3+12×4|× 4
=5×2
=10．
【解析】根据非负数的意义求出x、y的值，再把 x2y+xy2+14y3进行变形，最后把x、y的值代入计算即可求出值．
本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，连接AC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC= CD2+AD2= 32+42=5，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块空地的面积=S△ABC−S△ACD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×5×12−12×4×3=24(米 ​2)；
(2)24×200=4800(元)，
答：总共需投入4800元．
【解析】(1)根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，再根据S△ABC−S△ACD即可求解．
(2)根据面积乘以单价求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 202+152=25，
∵CD⊥AB，
∴S，
∴CD==12；
(2)在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD= BC2−CD2= 152−122=9，
AD=25−9=16．
【解析】(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的长，再根据等面积法即可求出CD的长；
(2)直接由勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25.【答案】解：∵∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2 2，
∴BC= 2，
∴AB= AC2−BC2= (2 2)2−( 2)2= 6，
又∵DA=1，CD=3，AC=2 2，
∴DA2+AC2=12+(2 2)2=1+8=9=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=12AD⋅AC+12AB⋅BC=12×1×2 2+12× 6× 2= 2+ 3．
【解析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．
本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．
26.【答案】解：(1)CM=DN，且DN⊥CM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，
∵BM=CN，
∴△BCM≌△CDN(SAS)，
∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD=90°，
∴∠CDN+∠MCD=90°，
∴∠COD=90°，
∴DN⊥CM，
∴线段CM和DN的关系为：CM=DN，且DN⊥CM；
(2)连接CE并延长交AD于G，连接GM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=90°，BC/​/AD，
∴∠ENC=∠EDG，
∵NE=DE，∠NEC=∠DEG，
∴△CNE≌△GDE(ASA)，
∴CE=EG，GD=CN=1，
又∵MF=CF，
∴EF=12MG，
∵正方形的边长为4，BM=DG=1，
∴AM=AG=3，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2=GM2，
∴32+32=GM2，
∴GM=3 2，
∴EF=3 22；
(3)如图3，过点B作BH⊥CM于点H，

∵CM2=BC2+BM2，
∴CM= 12+42= 17，
∵12CM×BH=12BC×BM，
∴BH=4 1717，
∴CH= BC2−CH2=16 1717，
∴∠BPC=45°，
∴PH=BH=4 1717，
∴PC=PH+CH=20 1717，
∴PM=PC−CM=3 1717．
【解析】(1)证△BCM≌△CDN(SAS)，得出CM=DN，∠BCM=∠CDN，再证∠CDN+∠MCD=90°即可；
(2)连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；
(3)过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出CM= 12+42= 17，PH=BH=4 1717，PC=PH+CH=20 1717即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形CGM从而使用中位线定理、作BH⊥CM构造直角三角形PHB．