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2024年山东省聊城市莘县部分学校中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年山东省聊城市莘县部分学校中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(−0.125)2013×(−8)2014的值为( )
A. −4B. 4C. −8D. 8
3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A. 46×108B. 4.6×108C. 4.6×109D. 4.6×1010
4.一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的( )
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. 3a2+a2=4a4C. (3a2)3=9a6D. a6÷a3=a3
6.已知直线m//n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠2=78°，则∠1的度数为( )
A. .30°
B. .33°
C. .35°
D. .22°
7.南开中学对操场跑道进行翻新，甲、乙施工小组同时施工，如果乙比甲每小时多翻新10米，那么甲翻新120米跑道所用时间是乙翻新150米跑道所用时间的1.2倍，求甲、乙施工小组每小时各翻新多少米？设甲每小时翻新x米，则可列方程为( )
A. 120x=150x+10×1.2B. 120x×1.2=150x+10
C. 120x+10=150x×1.2D. 120x=150x−10×1.2
8.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为( )
A. (2 5+2)cm
B. (2 5−2)cm
C. (2 5+1)cm
D. (2 5−1)cm
9.已知反比例函数y=−a2+1x的图象上有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，且x1>x2>0>x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y3>y1>y2
10.如图，一段抛物线y=−x2+6x(0≤x≤6)，记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2020,m)在此“波浪线”上，则m的值为( )
A. −6B. 6C. −8D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若1x+1y=2，则2x−3xy+2y3x+5xy+3y= ______．
12.如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为252°的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．
13.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了______度.
14.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB点D，则∠ACD的度数等于______．
15.已知直线y=kx+b与直线y=2x−7平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线y=ax−2，则k+ba= ______．
16.如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M.作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算或化简
(1)2cs45°+| 2−3|−(13)−2+(2024−π)0；
(2)(1x+1−x−2x2−1)÷1x+1．
18.(本小题8分)
某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式.求当m为何值时，总费用最少，并确定最少费用W的值．
19.(本小题8分)
“勤能补拙，俭以养德”.我校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
(1)这次被调查的同学共有______名；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是______度；
(4)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算，我校3000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
20.(本小题8分)
如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E.(1)求证：EFEB=AECE；
(2)若EF=12，GE=4，求BE的长．
21.(本小题9分)
为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架(如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图(如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm.(厚度忽略不计)
(1)求支点C离桌面l的高度；(计算结果保留根号)
(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力.当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，∠PAC=∠ADC，且CD= 5，AD与BC交于点E．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)延长CD，AB交于点F，若OB=BF，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
已知如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积是多少？
(3)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A，D，E，F构成矩形，若存在，求出点E，F的坐标，若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
(1)【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E.在同一直线上.填空：①线段BD，CE之间的数量关系为______；②∠BEC= ______°.
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上.请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
(3)【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2 7，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE= 3，将△ADE绕点A旋转，当点B，D，E三点在同一直线上时，求点C到直线DE的距离．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查积的乘方的逆运算，正确变形是解题的关键．
根据积的乘方的逆运算变形，即可得出答案．
【解答】
解：(−0.125)2013×(−8)2014
=[(−0.125)×(−8)]2013×(−8)
=12013×(−8)
=−8，
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：4600000000=4.6×109．
故选：C．
绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由几何体的形状可知，从上面看时，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可．
此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
5.【答案】D
【解析】解：a3⋅a4=a7，故A计算错误，不符合题意；
3a2+a2=4a2，故B计算错误，不符合题意；
(3a2)3=27a6，故C计算错误，不符合题意；
a6÷a3=a3，故D计算正确，符合题意．
故选D．
根据同底数幂的乘法和除法法则，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算即可求解．
本题考查同底数幂的乘法和除法，合并同类项，积的乘方和幂的乘方．掌握各运算法则是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图：
∵m//n，
∴∠3=∠2=78°，
∵∠3=∠1+∠B，
∴∠1=∠3−∠B=78°−45°=33°，
故选：B．
设BC与n的交点为D，根据三角形的外角性质可得∠2=3=∠1+∠B=78°，解出∠1即可．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
7.【答案】A
【解析】解：设甲每小时翻新x米，
根据题意得，120x=150x+10×1.2，
故选：A．
根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲翻新120米跑道所用时间是乙翻新150米跑道所用时间的1.2倍，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，AP=4cm，
∴APAB= 5−12，
∴AB=2 5+2，
∴AB的长约为(2 5+2)cm，
故选：A．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图：y3>y1>y2，
故选D．
根据a2+1大于0可知，−(a2+1)小于0，函数图象位于二、四象限，画出草图即可解答．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由y=−x2+6x(0≤x≤6)，结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等，
又因为2020=12×168+4，
所以m的值等于x=4时的纵坐标，
所以m=−42+6×4=8．
故选：D．
根据题意可以得到：整个函数图象每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等，而2020=12×168+4，由此即可计算．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，关键在于能根据函数图象发现规律并进行计算．
11.【答案】111
【解析】解：∵1x+1y=2，
∴x+yxy=2，
∴x+y=2xy，
∴2x−3xy+2y3x+5xy+3y
=2(x+y)−3xy3(x+y)+5xy
=4xy−3xy6xy+5xy
=xy11xy
=111，
故答案为：111．
根据1x+1y=2推出x+y=2xy，再根据2x−3xy+2y3x+5xy+3y=2(x+y)−3xy3(x+y)+5xy进行求解即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确推出x+y=2xy是解题的关键．
12.【答案】7
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为：r，
由题意可得：252π×10180=2πr，
解得：r=7，
故答案为：7．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，掌握扇形的弧长等于圆锥底面周长是解题的关键．
13.【答案】200
【解析】解：设y=kx(k≠0)，
∵(0.2,500)在图象上，
∴k=500×0.2=100，
∴函数解析式为：y=100x，
当x=0.25时，y=1000.25=400，
当x=0.5时，y=1000.5=200，
∴度数减少了400−200=200(度)，
故答案为：200．
由已知设y=kx，则有图象知点(0.2,500)满足解析式，代入求k=100，则解析式为：y=100x，令x=0.25，x=0.5时，分别求y的值后作差即可．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．
14.【答案】50°
【解析】解：如图，作点D关于AC的对称点E，则点E在⊙O上，连接AE，由翻折的性质可知，AE=AD，CD=CE，∠CAE=∠CAD=20°，
∴CE=CB，
∴CD=CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=20°，
∴∠B=∠BDC=90°−20°=70°，
∴∠ACD=∠BDC−∠BAC
=70°−20°
=50°．
故答案为：50°．
根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．
15.【答案】52
【解析】解：根据题意知，直线y=kx+b、直线y=2x−7平行与直线y=ax−2相互平行，则k=a=2．
∵将直线y=kx+b向下平移5个单位后得到直线y=kx+b−5，将y=kx+b直线向下平移5个单位后得到直线y=ax−2，
∴b−5=−2．
∴b=3．
∴k+ba=2+32=52．
故答案为：52．
利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时一次项系数相同，即可得出k，b，a的值，再代入所求代数式中求值即可．
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2且b1≠b2．
16.【答案】(325,245)
【解析】解：连接CP，如图，
∵AB=10，BC=6，AC=8，
∴BC2+AC2=36+64=100，AB2=100，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴四边形MPNC为矩形，
∴MN=CP．
∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y=MN取得最小值．
过点C作CP⊥AB于点P，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△ACP∽△ABC，
∴ACAB=CPBC=APAC，
∴810=CP6=AP8，
∴CP=245，AP=325．
∴当t=325时，y取得最小值为245．
∴函数图象最低点E的坐标为(325,245).
故答案为：(325,245).
连接CP，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线相等得到MN=CP，再利用垂线段最短的性质得到当CP⊥AB时，MN取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2cs45°+| 2−3|−(−13)−2+(2024−π)0
=2× 22+3− 2−9+1
= 2+3− 2−9+1
=−5；
(2)(1x+1−x−2x2−1)÷1x+1
=[1x+1−x−2(x+1)(x−1)]⋅(x+1)
=1x+1⋅(x+1)−x−2(x+1)(x−1)⋅(x+1)
=1−x−2x−1
=(x−1)−(x−2)x−1
=1x−1．
【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意得，
3x+2y=605x+3y=95，解得：x=10y=15，
答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
(2)由题意，得W=10m+15(100−m)=−5m+1500，
则−5m+1500≤1150m≤3(100−m)，
解得：70≤m≤75，
∵m是整数，
∴m=70，71，72，73，74，75．
∵W=−5m+1500，
∴k=−5<0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=75时，W最小=1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
【解析】(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可；
(2)根据购买费用=A，B两种奖品的费用之和即可得出W与m之间的函数关系式；根据题意可得关于m的不等式组，进而可求出m的范围，再根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的性质，正确理解题意、得出相等关系和不等关系是解题的关键．
19.【答案】1000 54
【解析】解：(1)这次被调查的学生数：400÷40%=1000(名)．
故答案为：1000；
(2)剩少量的人数：1000−400−250−150=200(名)，补全统计图如下：
(3)“剩大量”对应的扇形的圆心角是：360°×1501000=54°．
故答案为：54；
(4)3000×2001000=600(人)，
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供600人食用一餐．
(1)从统计图中可以得到“没有剩”的有400人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
(2)用总人数减去其它类型的人数，求出“剩少量”的人数，从而补全统计图；
(3)用360°乘以“剩大量”的人数所占的百分比即可；
(4)1000人浪费的食物可供200人使用一餐，可求出9000人浪费的食物可供多少人使用一餐．
此题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，样本估计总体是统计常用的方法．
20.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴EFEB=AECE．
(2)解：∵AB//CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴EBGE=AECE，
由(1)知EFEB=AECE，
∴EBGE=EFEB，
∴EB2=EF×GE，
∵EF=12，GE=4，
∴EB2=12×4，
∴EB=4 3或EB=−4 3(舍)，
∴EB=4 3．
【解析】(1)根据三角形相似即可得证；
(2)由AB//CD得△ABE∽△CGE，进而可知EBGE=AECE，由(1)知EFEB=AECE，从而得出EBGE=EFEB，代入即可求得．
本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．
由题意得：∠BAF=90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF=AB=2cm，∠ABM=90°．
∵∠ABC=150°，
∴∠MBC=60°．
∵BC=18cm，
∴CM=BC⋅sin60°=18× 32=9 3(cm)．
∴CF=CM+MF=(9 3+2)cm．
答：支点C离桌面l的高度为(9 3+2)cm；
(2)过点C作CN//l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC=90°．
∵DE=24cm，CD=6cm，
∴CE=18cm．
当∠ECH=30°时，EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；
当∠ECH=70°时，EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；
∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
【解析】(1)过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF=AB=2cm，∠ABM=90°，所以∠MBC=60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
(2)过点C作CN//l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA=∠A的对边斜边．
22.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠PAC=∠ADC，∠ABC=∠ADC，
∴∠PAC=∠ABC，
∴∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，
∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)解：连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，
∴∠ODA=∠BAD，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∵OB=BF=r，CD= 5，
∴OF=2r，AF=AO+OF=r+2r=3r，
∴DFCD=OFAO=2rr=2，
∴DF=2CD=2× 5=2 5，
∴CF=CD+DF= 5+2 5=3 5，
∵∠FDB+∠BDC=180°，∠FAC+∠BDC=180°，
∴∠FDB=∠FAC，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAC，
∴BFCF=DFAF，
∴AF⋅BF=DF⋅CF，
∴3r2=2 5×3 5，
∴r= 10或r=− 10(不符合题意，舍去)，
∴⊙O的半径长为 10．
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，而∠PAC=∠ABC=∠ADC，则∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，即可证明PA是⊙O的切线；
(2)连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，所以∠ODA=∠BAD，由CD=BD，得∠CAD=∠BAD，则∠ODA=∠CAD，所以OD//AC，则DFCD=OFAO=2rr=2，所以DF=2CD=2 5，再证明△FDB∽△FAC，得BFCF=DFAF，则AF⋅BF=DF⋅CF，所以3r2=2 5×3 5，求得r= 10．
此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵OA=OC=3，
∴抛物线y=x2+bx+c经过点A(−3,0)，C(0,−3)，
∴将其分别代入抛物线解析式，得9−3b+c=0c=−3，
解得b=2c=−3．
故此抛物线的函数表达式为：y=x2+2x−3；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A(−3,0)，C(0,−3)代入，得−3k+t=0t=−3，
解得k=−1t=−3，
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
∵y=x2+2x−3，令y=0得x2+2x−3=0，
解得x=−3或1，
∴B(1,0)，
过点N作直线NM//y轴，交AC于点M，
设N的坐标为(n,n2+2n−3)，则M(n,−n−3)，
∴MN=−n−3−(n2+2n−3)=−n2−3n，
∴S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN=12AB⋅OC+12MN⋅OA=12×4×3+12×3(−n2−3n)=−32(n+32)2+758，
把n=−32代入抛物线得：y=(−32)2+2×(−32)−3=−154，
∴N的坐标为(−32,−154)，
∴存在一点N(−32,−154)，使四边形ABCN的面积最大，最大面积是758；
(3)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴D(−1,−4)，
设E(0,m)，
∵点A，D，E，F构成矩形，
∴△ADE是直角三角形，
∴AD2=(3−1)2+42=20，
AE2=32+m2，
DE2=(m+4)2+12，
①当以AD为斜边时，AD2=DE2+AE2，
(m+4)2+12+32+m2=20，解得m=−1或−3，
∴点E的坐标为(0,−1)或(0,−3)，
∴点F的坐标为(−4,−3)或(−4,−1)；
②当以AE为斜边时，AE2=DE2+AD2，
32+m2=(m+4)2+12+20，解得m=−278，
∴点E的坐标为(0,−278)，
∴点F的坐标为(−2,58)；
③当以DE为斜边时，DE2=AD2+AE2，
(m+4)2+12=32+m2+20，解得m=32，
∴点E的坐标为(0,32)，
∴点F的坐标为(2,−52)；
综上所述：存在，点E的坐标为(0,−1)或(0,−3)或(0,−278)或(0,32)，点F的坐标为(−4,−3)或(−4,−1)或(−2,58)或(2,−52).
【解析】(1)把点(0,−3)，(−3,0)分别代入抛物线解析式，根据待定系数法求出此函数的关系式即可；
(2)过点N作直线NM//y轴，交AC于点M，求出直线AC的解析式，再设出M、N的坐标，把四边形ABCN的面积表示成二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
(3)根据矩形的性质，可得△ADE是直角三角形，分三种情形讨论：①以AD为斜边，②以AE为斜边，③以DE为斜边，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．
24.【答案】BD=CE 60
【解析】解：(1)①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180−60=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=120−60=60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD=CE．
②∠BEC=∠AEC−∠AED=120−60=60°；
故答案为：BD=CE；60；
(2)BD= 2CE，∠BEC=45°.证明如下：
∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∵AEAD=ACAB= 22
∴△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=180°−45°=135°，
∴∠BEC=135°−90°=45°，
∴BDCE=ADAE= 2
∴BD= 2CE；
(3)分两种情况：
情况一：如图1，由题意可知在直角△ABC和直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=60°，
AB=2 7AE= 3，
tan30°=AEDE= 3DE，
∴DE=3，
∵B，D，E共线，
∴△ABE为直角三角形，
由勾股定理得：BE= AB2−AE2= 28−3=5，
∴BD=BE−DE=5−3=2，
由(1)(2)得：△ABD∽△ACE，
.BDCE=ABAC=21，∠ABD=∠ACE，
∴CE=1；A，B，C，E四点共圆，
作CM⊥BE垂足为M，
∴∠MEC=∠BAC=60°，
在直角三角形MEC中，CE=1，∠MEC=60°，
∴CM= 32CE= 32，即点C到直线DE的距离为 32；
情况二：如图2，B，E，D共线时，
同理可得CM=2 3，即点C到直线DE的距离为2 3；
综上可得：C到直线DE的距离为 32或2 3．
(1)首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
(2)首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，DE=AE，∠ACB=∠AED=90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
(3)分两种情形：B，D，E共线，B，E，D共线，分别求解即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
1.下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(−0.125)2013×(−8)2014的值为( )
A. −4B. 4C. −8D. 8
3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A. 46×108B. 4.6×108C. 4.6×109D. 4.6×1010
4.一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的( )
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. 3a2+a2=4a4C. (3a2)3=9a6D. a6÷a3=a3
6.已知直线m//n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠2=78°，则∠1的度数为( )
A. .30°
B. .33°
C. .35°
D. .22°
7.南开中学对操场跑道进行翻新，甲、乙施工小组同时施工，如果乙比甲每小时多翻新10米，那么甲翻新120米跑道所用时间是乙翻新150米跑道所用时间的1.2倍，求甲、乙施工小组每小时各翻新多少米？设甲每小时翻新x米，则可列方程为( )
A. 120x=150x+10×1.2B. 120x×1.2=150x+10
C. 120x+10=150x×1.2D. 120x=150x−10×1.2
8.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为( )
A. (2 5+2)cm
B. (2 5−2)cm
C. (2 5+1)cm
D. (2 5−1)cm
9.已知反比例函数y=−a2+1x的图象上有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，且x1>x2>0>x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y3>y1>y2
10.如图，一段抛物线y=−x2+6x(0≤x≤6)，记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2020,m)在此“波浪线”上，则m的值为( )
A. −6B. 6C. −8D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若1x+1y=2，则2x−3xy+2y3x+5xy+3y= ______．
12.如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为252°的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．
13.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了______度.
14.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB点D，则∠ACD的度数等于______．
15.已知直线y=kx+b与直线y=2x−7平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线y=ax−2，则k+ba= ______．
16.如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M.作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算或化简
(1)2cs45°+| 2−3|−(13)−2+(2024−π)0；
(2)(1x+1−x−2x2−1)÷1x+1．
18.(本小题8分)
某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式.求当m为何值时，总费用最少，并确定最少费用W的值．
19.(本小题8分)
“勤能补拙，俭以养德”.我校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
(1)这次被调查的同学共有______名；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是______度；
(4)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算，我校3000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
20.(本小题8分)
如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E.(1)求证：EFEB=AECE；
(2)若EF=12，GE=4，求BE的长．
21.(本小题9分)
为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架(如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图(如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm.(厚度忽略不计)
(1)求支点C离桌面l的高度；(计算结果保留根号)
(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力.当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，∠PAC=∠ADC，且CD= 5，AD与BC交于点E．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)延长CD，AB交于点F，若OB=BF，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
已知如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积是多少？
(3)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A，D，E，F构成矩形，若存在，求出点E，F的坐标，若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
(1)【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E.在同一直线上.填空：①线段BD，CE之间的数量关系为______；②∠BEC= ______°.
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上.请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
(3)【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2 7，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE= 3，将△ADE绕点A旋转，当点B，D，E三点在同一直线上时，求点C到直线DE的距离．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查积的乘方的逆运算，正确变形是解题的关键．
根据积的乘方的逆运算变形，即可得出答案．
【解答】
解：(−0.125)2013×(−8)2014
=[(−0.125)×(−8)]2013×(−8)
=12013×(−8)
=−8，
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：4600000000=4.6×109．
故选：C．
绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由几何体的形状可知，从上面看时，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可．
此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
5.【答案】D
【解析】解：a3⋅a4=a7，故A计算错误，不符合题意；
3a2+a2=4a2，故B计算错误，不符合题意；
(3a2)3=27a6，故C计算错误，不符合题意；
a6÷a3=a3，故D计算正确，符合题意．
故选D．
根据同底数幂的乘法和除法法则，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算即可求解．
本题考查同底数幂的乘法和除法，合并同类项，积的乘方和幂的乘方．掌握各运算法则是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图：
∵m//n，
∴∠3=∠2=78°，
∵∠3=∠1+∠B，
∴∠1=∠3−∠B=78°−45°=33°，
故选：B．
设BC与n的交点为D，根据三角形的外角性质可得∠2=3=∠1+∠B=78°，解出∠1即可．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
7.【答案】A
【解析】解：设甲每小时翻新x米，
根据题意得，120x=150x+10×1.2，
故选：A．
根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲翻新120米跑道所用时间是乙翻新150米跑道所用时间的1.2倍，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，AP=4cm，
∴APAB= 5−12，
∴AB=2 5+2，
∴AB的长约为(2 5+2)cm，
故选：A．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图：y3>y1>y2，
故选D．
根据a2+1大于0可知，−(a2+1)小于0，函数图象位于二、四象限，画出草图即可解答．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由y=−x2+6x(0≤x≤6)，结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等，
又因为2020=12×168+4，
所以m的值等于x=4时的纵坐标，
所以m=−42+6×4=8．
故选：D．
根据题意可以得到：整个函数图象每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等，而2020=12×168+4，由此即可计算．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，关键在于能根据函数图象发现规律并进行计算．
11.【答案】111
【解析】解：∵1x+1y=2，
∴x+yxy=2，
∴x+y=2xy，
∴2x−3xy+2y3x+5xy+3y
=2(x+y)−3xy3(x+y)+5xy
=4xy−3xy6xy+5xy
=xy11xy
=111，
故答案为：111．
根据1x+1y=2推出x+y=2xy，再根据2x−3xy+2y3x+5xy+3y=2(x+y)−3xy3(x+y)+5xy进行求解即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确推出x+y=2xy是解题的关键．
12.【答案】7
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为：r，
由题意可得：252π×10180=2πr，
解得：r=7，
故答案为：7．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，掌握扇形的弧长等于圆锥底面周长是解题的关键．
13.【答案】200
【解析】解：设y=kx(k≠0)，
∵(0.2,500)在图象上，
∴k=500×0.2=100，
∴函数解析式为：y=100x，
当x=0.25时，y=1000.25=400，
当x=0.5时，y=1000.5=200，
∴度数减少了400−200=200(度)，
故答案为：200．
由已知设y=kx，则有图象知点(0.2,500)满足解析式，代入求k=100，则解析式为：y=100x，令x=0.25，x=0.5时，分别求y的值后作差即可．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．
14.【答案】50°
【解析】解：如图，作点D关于AC的对称点E，则点E在⊙O上，连接AE，由翻折的性质可知，AE=AD，CD=CE，∠CAE=∠CAD=20°，
∴CE=CB，
∴CD=CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=20°，
∴∠B=∠BDC=90°−20°=70°，
∴∠ACD=∠BDC−∠BAC
=70°−20°
=50°．
故答案为：50°．
根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．
15.【答案】52
【解析】解：根据题意知，直线y=kx+b、直线y=2x−7平行与直线y=ax−2相互平行，则k=a=2．
∵将直线y=kx+b向下平移5个单位后得到直线y=kx+b−5，将y=kx+b直线向下平移5个单位后得到直线y=ax−2，
∴b−5=−2．
∴b=3．
∴k+ba=2+32=52．
故答案为：52．
利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时一次项系数相同，即可得出k，b，a的值，再代入所求代数式中求值即可．
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2且b1≠b2．
16.【答案】(325,245)
【解析】解：连接CP，如图，
∵AB=10，BC=6，AC=8，
∴BC2+AC2=36+64=100，AB2=100，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴四边形MPNC为矩形，
∴MN=CP．
∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y=MN取得最小值．
过点C作CP⊥AB于点P，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△ACP∽△ABC，
∴ACAB=CPBC=APAC，
∴810=CP6=AP8，
∴CP=245，AP=325．
∴当t=325时，y取得最小值为245．
∴函数图象最低点E的坐标为(325,245).
故答案为：(325,245).
连接CP，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线相等得到MN=CP，再利用垂线段最短的性质得到当CP⊥AB时，MN取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2cs45°+| 2−3|−(−13)−2+(2024−π)0
=2× 22+3− 2−9+1
= 2+3− 2−9+1
=−5；
(2)(1x+1−x−2x2−1)÷1x+1
=[1x+1−x−2(x+1)(x−1)]⋅(x+1)
=1x+1⋅(x+1)−x−2(x+1)(x−1)⋅(x+1)
=1−x−2x−1
=(x−1)−(x−2)x−1
=1x−1．
【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意得，
3x+2y=605x+3y=95，解得：x=10y=15，
答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
(2)由题意，得W=10m+15(100−m)=−5m+1500，
则−5m+1500≤1150m≤3(100−m)，
解得：70≤m≤75，
∵m是整数，
∴m=70，71，72，73，74，75．
∵W=−5m+1500，
∴k=−5<0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=75时，W最小=1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
【解析】(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可；
(2)根据购买费用=A，B两种奖品的费用之和即可得出W与m之间的函数关系式；根据题意可得关于m的不等式组，进而可求出m的范围，再根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的性质，正确理解题意、得出相等关系和不等关系是解题的关键．
19.【答案】1000 54
【解析】解：(1)这次被调查的学生数：400÷40%=1000(名)．
故答案为：1000；
(2)剩少量的人数：1000−400−250−150=200(名)，补全统计图如下：
(3)“剩大量”对应的扇形的圆心角是：360°×1501000=54°．
故答案为：54；
(4)3000×2001000=600(人)，
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供600人食用一餐．
(1)从统计图中可以得到“没有剩”的有400人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
(2)用总人数减去其它类型的人数，求出“剩少量”的人数，从而补全统计图；
(3)用360°乘以“剩大量”的人数所占的百分比即可；
(4)1000人浪费的食物可供200人使用一餐，可求出9000人浪费的食物可供多少人使用一餐．
此题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，样本估计总体是统计常用的方法．
20.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴EFEB=AECE．
(2)解：∵AB//CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴EBGE=AECE，
由(1)知EFEB=AECE，
∴EBGE=EFEB，
∴EB2=EF×GE，
∵EF=12，GE=4，
∴EB2=12×4，
∴EB=4 3或EB=−4 3(舍)，
∴EB=4 3．
【解析】(1)根据三角形相似即可得证；
(2)由AB//CD得△ABE∽△CGE，进而可知EBGE=AECE，由(1)知EFEB=AECE，从而得出EBGE=EFEB，代入即可求得．
本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．
由题意得：∠BAF=90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF=AB=2cm，∠ABM=90°．
∵∠ABC=150°，
∴∠MBC=60°．
∵BC=18cm，
∴CM=BC⋅sin60°=18× 32=9 3(cm)．
∴CF=CM+MF=(9 3+2)cm．
答：支点C离桌面l的高度为(9 3+2)cm；
(2)过点C作CN//l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC=90°．
∵DE=24cm，CD=6cm，
∴CE=18cm．
当∠ECH=30°时，EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；
当∠ECH=70°时，EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；
∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
【解析】(1)过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF=AB=2cm，∠ABM=90°，所以∠MBC=60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
(2)过点C作CN//l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA=∠A的对边斜边．
22.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠PAC=∠ADC，∠ABC=∠ADC，
∴∠PAC=∠ABC，
∴∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，
∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)解：连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，
∴∠ODA=∠BAD，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∵OB=BF=r，CD= 5，
∴OF=2r，AF=AO+OF=r+2r=3r，
∴DFCD=OFAO=2rr=2，
∴DF=2CD=2× 5=2 5，
∴CF=CD+DF= 5+2 5=3 5，
∵∠FDB+∠BDC=180°，∠FAC+∠BDC=180°，
∴∠FDB=∠FAC，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAC，
∴BFCF=DFAF，
∴AF⋅BF=DF⋅CF，
∴3r2=2 5×3 5，
∴r= 10或r=− 10(不符合题意，舍去)，
∴⊙O的半径长为 10．
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，而∠PAC=∠ABC=∠ADC，则∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，即可证明PA是⊙O的切线；
(2)连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，所以∠ODA=∠BAD，由CD=BD，得∠CAD=∠BAD，则∠ODA=∠CAD，所以OD//AC，则DFCD=OFAO=2rr=2，所以DF=2CD=2 5，再证明△FDB∽△FAC，得BFCF=DFAF，则AF⋅BF=DF⋅CF，所以3r2=2 5×3 5，求得r= 10．
此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵OA=OC=3，
∴抛物线y=x2+bx+c经过点A(−3,0)，C(0,−3)，
∴将其分别代入抛物线解析式，得9−3b+c=0c=−3，
解得b=2c=−3．
故此抛物线的函数表达式为：y=x2+2x−3；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A(−3,0)，C(0,−3)代入，得−3k+t=0t=−3，
解得k=−1t=−3，
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
∵y=x2+2x−3，令y=0得x2+2x−3=0，
解得x=−3或1，
∴B(1,0)，
过点N作直线NM//y轴，交AC于点M，
设N的坐标为(n,n2+2n−3)，则M(n,−n−3)，
∴MN=−n−3−(n2+2n−3)=−n2−3n，
∴S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN=12AB⋅OC+12MN⋅OA=12×4×3+12×3(−n2−3n)=−32(n+32)2+758，
把n=−32代入抛物线得：y=(−32)2+2×(−32)−3=−154，
∴N的坐标为(−32,−154)，
∴存在一点N(−32,−154)，使四边形ABCN的面积最大，最大面积是758；
(3)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴D(−1,−4)，
设E(0,m)，
∵点A，D，E，F构成矩形，
∴△ADE是直角三角形，
∴AD2=(3−1)2+42=20，
AE2=32+m2，
DE2=(m+4)2+12，
①当以AD为斜边时，AD2=DE2+AE2，
(m+4)2+12+32+m2=20，解得m=−1或−3，
∴点E的坐标为(0,−1)或(0,−3)，
∴点F的坐标为(−4,−3)或(−4,−1)；
②当以AE为斜边时，AE2=DE2+AD2，
32+m2=(m+4)2+12+20，解得m=−278，
∴点E的坐标为(0,−278)，
∴点F的坐标为(−2,58)；
③当以DE为斜边时，DE2=AD2+AE2，
(m+4)2+12=32+m2+20，解得m=32，
∴点E的坐标为(0,32)，
∴点F的坐标为(2,−52)；
综上所述：存在，点E的坐标为(0,−1)或(0,−3)或(0,−278)或(0,32)，点F的坐标为(−4,−3)或(−4,−1)或(−2,58)或(2,−52).
【解析】(1)把点(0,−3)，(−3,0)分别代入抛物线解析式，根据待定系数法求出此函数的关系式即可；
(2)过点N作直线NM//y轴，交AC于点M，求出直线AC的解析式，再设出M、N的坐标，把四边形ABCN的面积表示成二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
(3)根据矩形的性质，可得△ADE是直角三角形，分三种情形讨论：①以AD为斜边，②以AE为斜边，③以DE为斜边，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．
24.【答案】BD=CE 60
【解析】解：(1)①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180−60=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=120−60=60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD=CE．
②∠BEC=∠AEC−∠AED=120−60=60°；
故答案为：BD=CE；60；
(2)BD= 2CE，∠BEC=45°.证明如下：
∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∵AEAD=ACAB= 22
∴△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=180°−45°=135°，
∴∠BEC=135°−90°=45°，
∴BDCE=ADAE= 2
∴BD= 2CE；
(3)分两种情况：
情况一：如图1，由题意可知在直角△ABC和直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=60°，
AB=2 7AE= 3，
tan30°=AEDE= 3DE，
∴DE=3，
∵B，D，E共线，
∴△ABE为直角三角形，
由勾股定理得：BE= AB2−AE2= 28−3=5，
∴BD=BE−DE=5−3=2，
由(1)(2)得：△ABD∽△ACE，
.BDCE=ABAC=21，∠ABD=∠ACE，
∴CE=1；A，B，C，E四点共圆，
作CM⊥BE垂足为M，
∴∠MEC=∠BAC=60°，
在直角三角形MEC中，CE=1，∠MEC=60°，
∴CM= 32CE= 32，即点C到直线DE的距离为 32；
情况二：如图2，B，E，D共线时，
同理可得CM=2 3，即点C到直线DE的距离为2 3；
综上可得：C到直线DE的距离为 32或2 3．
(1)首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
(2)首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，DE=AE，∠ACB=∠AED=90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
(3)分两种情形：B，D，E共线，B，E，D共线，分别求解即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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