2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学附属学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学附属学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−15的相反数是( )
A. 5B. −5C. 15D. −15
2.如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是( )
A. 球
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 长方体
3.2021年7月24日，杨倩以251.8环的成绩获得2020年东京奥运会射击女子10米气步枪项目金牌，为中国队收获东京奥运会的首枚金牌.她的其中5个成绩(单位：环)分别是：9、8、9、9、10；关于这组数据，以下结论错误的是( )
A. 众数为9B. 中位数为9C. 平均数为9D. 方差为2
4.下列运算正确的是( )
A. 2a+b=2abB. (−2x2)3=−8x5C. (−4)2=−4D. 18− 8= 2
5.不等式组x+2>03−x≥0的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，海中有一小岛A，在B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为海里．( )
A. 10 33
B. 20 33
C. 20
D. 10 3
7.如图，在⊙O中，∠BAO=70°，那么∠BCA的度数为( )
A. 20°
B. 35°
C. 40°
D. 80°
8.一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同.摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是13，估计袋中白球的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做多少个零件.设甲每小时做x个零件，则可列方程为( )
A. 100x−4=80xB. 100x=80x−4C. 100x=80x+4D. 100x+4=80x
10.按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2022个这样的小正方形需要小棒根．( )
A. 6064B. 6066C. 6067D. 6070
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.据统计，2022年全国中考报名人数约为14500000人，将14500000用科学记数法可表示为______．
12.分解因式：3a2−27=______．
13.已知反比例函数y=2k−3x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是______．
14.已知抛物线y=−(x+3)2+1上有三点A(−4,y1)B(−1,y2)，C(0,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为______.(用“<”连接)
15.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=______．
16.如图，△ABC内接于⊙O，已知AB是⊙O直径，AB=2，∠ABC=30°，点D在直径AB上方的半圆上运动，连接CD交AB于点E，则BC的长度为______，DECE的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程：x2−10x+9=0．
18.(本小题4分)
如图，AB与CD交于点E，点E是线段AB的中点，AC/​/BD，连接AC、BD.求证：AC=BD．
19.(本小题6分)
已知：A=(1−2x+2)÷x2−2xx2−4x+4．
(1)化简A；
(2)若点(x,y)与点(4,−3)关于y轴对称，求A的值．
20.(本小题8分)
初一(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表
根据以上信息解决下列问题：
(1)m=______，n=______；
(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为______°；
(3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
21.(本小题8分)
书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
(1)求毛笔和宣纸的单价；
(2)计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？
22.(本小题8分)
直线y=kx+b与反比例函数y=8x(x>0)的图象分别交于点A(m,4)和点B(8,n)，与坐标轴分别交于点C和点D．
(1)求直线AB的解析式；
(2)观察图象，当x>0时，直接写出kx+b>8x的解集；
(3)连接OA与OB，求△AOB的面积．
23.(本小题10分)
如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD∽△ACE；
②若tan∠BAC=13，求cs∠DCE的值．
24.(本小题12分)
已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1,0)
(1)求c的值；
(2)求a的取值范围；
(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当025.(本小题12分)
如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在BAD上，且不与点B，D重合)，∠ACB=∠ABD=45°
(1)求证：BD是该外接圆的直径；
(2)连结CD，求证： 2AC=BC+CD；
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
根据相反数的定义，即可解答．
【角度】
解：−15的相反数是15．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：∵主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，
∴该几何体是圆锥．
故选：C．
根据主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，即可得出该几何体是圆锥，据此即可求解．
本题考查了根据三视图还原几何体，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：五次中9出现了三次，出现的次数最多，即众数为9，故选项A不符合题意；
将五个数按从小到大的顺序排列得到第三个数为9，即中位数为9，故选项B不符合题意；
由平均数的公式得平均数=(9+8+9+9+10)÷5=9，故选项C不符合题意；
方差=15×[3×(9−9)2+(8−9)2+(10−9)2]=0.4，故选项D符合题意．
故选：D．
分别计算平均数，中位数，众数，方差后判断．
此题考查了方差，平均数，中位数，众数，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、(−2x2)3=−8x6，故此选项不符合题意；
C、 (−4)2= 16=4，故此选项不符合题意；
D、 18− 8=3 2−2 2= 2，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则、积的乘方法则、二次根式的性质与化简分别计算判断即可．
本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质与化简，积的乘方，合并同类项，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由x+2>0得x>−2，
由3−x≥0得x≤3，
所以不等式组的解集为−2故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°−30°=60°，BC=10海里，
∴AC=BC⋅tan60°=10 3(海里)，
∴此时渔船与小岛A的距离为10 3海里，
故选：D．
根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠BAO=70°，OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=70°，
∴∠O=40°，
∴∠BCA=12∠O=20°．
故选：A．
先根据等腰三角形的性质得∠O=40°，再利用圆周角定理计算即可．
本题考查圆周角定理，圆周角定理“一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设袋子中白球的个数为x个，
则x8+x=13，
解得x=4，
经检验得x=4是原方程的解，
∴估计袋中白球的个数是4个．
故选：D．
应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵甲每小时比乙多做4个，且甲每小时做x个零件，
∴乙每小时做(x−4)个零件．
根据题意得：100x=80x−4．
故选：B．
由甲、乙工作效率间的关系，可得出乙每小时做(x−4)个零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：搭2个正方形需要4+3×1=7根火柴棒；
搭3个正方形需要4+3×2=10根火柴棒；
…，
搭n个这样的正方形需要4+3(n−1)=(3n+1)根火柴棒，
搭2022个这样的正方形需要3×2022+1=6067(根)火柴棒．
故选：C．
通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律．
11.【答案】1.45×107
【解析】解：14500000=1.45×107．
故答案为：1.45×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】3(a+3)(a−3)
【解析】解：3a2−27
=3(a2−9)
=3(a+3)(a−3)．
故答案为：3(a+3)(a−3)．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
13.【答案】k<32
【解析】解：根据题意得2k−3<0，
解得k<32．
故答案是：k<32．
根据反比例函数的性质得2k−3<0，然后解不等式即可．
考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线；当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
14.【答案】y3【解析】解：∵抛物线y=−(x+3)2+1
∴开口向下，对称轴为x=−3，
∴当x>−3时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y=−(x+3)2+1上有三点A(−4,y1)B(−1,y2)，C(0,y3)，
∴点A(−4,y1)关于对称轴的对称点(−2,y1)在此抛物线上，
∵−3<−2<−1<0，
∴y3故答案为：y3根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性和对称性综合判断即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】75°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故答案为：75°．
由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
16.【答案】 3 2 33
【解析】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴BC=AB⋅cs30°= 3，
分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，
则DG/​/CF
∴△DGE∽△CFE
∴EDCE=DGCF
∵∠ABC=30°，
∴CF=12BC= 32
∴EDCE=DG 32=2 33DG，
所以当DG取最大值时，EDCE的值最大，
当点D位于AB的中点时，DG取最大值为1，
所以EDCE的值最大值为2 33．
故答案为： 3，2 33．
根据圆周角定理得出∠ACB=90°，则BC=AB⋅cs30°= 3；分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，先证明△DGE∽△CFE，得到EDCE=DGCF，再根据圆周角定理的推论，直角三角形的性质及勾股定理，求出CF的长，因此当DG取最大值时，EDCE的值最大，当点D位于AB的中点时，DG取最大值，求出DG的长，即得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
17.【答案】解：x2−10x+9=0，
(x−1)(x−9)=0，
x−1=0，x−9=0，
x1=1，x2=9．
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．
18.【答案】证明：∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
∵AC/​/BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
在△ACE和△BDE中，
∠A=∠B∠C=∠DAE=BE，
∴△ACE≌△BDE(AAS)，
∴AC=BD．
【解析】根据点E是线段AB的中点，得出AE=BE，根据AC/​/BD，得出∠A=∠B，∠C=∠D，进而证明△ACE≌△BDE(AAS)，即可求证AC=BD．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等．
19.【答案】解：(1)A=x+2−2x+2⋅(x−2)2x(x−2)
=xx+2⋅(x−2)2x(x−2)
=x−2x+2；
(2)∵点(x,y)与点(4,−3)关于y轴对称，
∴x=−4，y=−3，
∴A=−4−2−4+2
=−6−2
=3．
【解析】(1)先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分；
(2)求出x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质把分式化简．
20.【答案】(1)8，3；
(2)144；
(3)列表得：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能，
所以P( 1名男生、1名女生)=812=23．
【解析】解：(1)由两种统计表可知：总人数=4÷10%=40人，
∵3D打印项目占30%，
∴3D打印项目人数=40×30%=12人，
∴m=12−4=8，
∴n=40−16−12−4−5=3，
故答案为：8，3；
(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数=1640×360°=144°，
故答案为：144；
(3)见答案．
【分析】(1)由航模的人数和其所占的百分比可求出总人数，进而可求出3D打印的人数，则m的值可求出，从而n的值也可求出；
(2)由机器人项目的人数所占总人数的百分比即可求出所对应扇形的圆心角度数；
(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
21.【答案】解：(1)设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：40x+100y=28030x+200y=260，
解得：x=6y=0.4，
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；
(2)设可以购买m支毛笔，则购买宣纸的数量为(200−m)张，
根据题意可得：6m+0.4(200−m)≤360，
解得：m≤50，
答：学校最多可以购买50支毛笔．
【解析】(1)设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要28元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买m支毛笔，则购买宣纸的数量为(200−m)张，根据(1)中所求，结合计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200得出不等式求出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)把A(m,4)代入y=8x得：4=8m，
解得：m=2，
∴A(2,4)，
把B(8,n)代入y=8x得：n=1，
∴B(8,1)，
把A(2,4)，B(8,1)代入y=kx+b得：
4=2k+b1=8k+b，
解得：k=−12b=5，
∴直线AB的解析式为y=−12x+5；
(2)∵A(2,4)，B(8,1)，
∴由图可知，当28x．
(3)把x=0代入y=−12x+5得：y=5，
∴C(0,5)，则OC=5，
把y=0代入y=−12x+5得：0=−12x+5，
解得：x=10，
∴D(10,0)，则OD=10，
∴S△AOB=S△OCD−S△OAC−S△OBD
=12×10×5−12×5×2−12×10×1
=25−5−5
=15．
【解析】(1)先求出点A和点B的坐标，再将其代入y=kx+b，求出k和b的值即可；
(2)根据图象，找出当一次函数图象高于反比例函数图象时自变量个取值范围即可；
(3)先求出点C和点D的坐标，再根据S△AOB=S△OCD−S△OAC−S△OBD，即可求解．
本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数和反比例函数的图象和性质．
23.【答案】解：(1)如图1，△ADE就是所求的图形．
(2)①如图2，由旋转得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴ABAC=ADAE，∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如图2，延长AD交CE于点F，
在△ABC和△ADC中
AB=ADBC=DCAC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AE=AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD=90°，
设CF=m，CD=AD=x，
∵CFAF=tan∠DAC=tan∠BAC=13，
∴AF=3CF=3m，
∴DF=3m−x，
∵CF2+DF2=CD2，
∴m2+(3m−x)2=x2，
∴解关于x的方程得x=53m，
∴CD=53m，
∴cs∠DCE=CFCD=m53m=35，
∴cs∠DCE的值是35．
【解析】解：(1)如图1，作法：1.以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2.以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3.连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
在△ADE和△ABC中
AD=ABDE=BCAE=AC
∴△ADE≌△ABC(SSS)，
∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．
(2)①见答案；
②见答案．
(1)由菱形的性质可知AD=AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；
(2)①由旋转得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则ABAC=ADAE，∠BAD=∠CAE，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACE；
②延长AD交CE于点F，可证明△ABC≌△ADC，得∠BAC=∠DAC，而∠BAC=∠DAE，所以∠DAE=∠DAC，由等腰三角形的“三线合一”得AD⊥CE，则∠CFD=90°，设CF=m，CD=AD=x，则CFAF=tan∠DAC=tan∠BAC=13，所以AF=3m，DF=3m−x，由勾股定理得m2+(3m−x)2=x2，求得CD=x=53m，则cs∠DCE=CFCD=35．
此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24.【答案】(1)解：把C(0,1)代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．
(2)解：把A(1,0)代入得：0=a+b+1，
∴b=−1−a，
即ax2+(−1−a)x+1=0，
b2−4ac=(−1−a)2−4a=a2−2a+1>0，
∴a≠1，
答：a的取值范围是a>0且a≠1；
(3)证明：连接AC，
∵ax2+(−1−a)x+1=0，
∴(ax−1)(x−1)=0，
∴B点坐标是(1a,0)而A点坐标(1,0)
所以AB=1a−1=1−aa
把y=1代入抛物线得：ax2+(−1−a)x+1=1，
解得：x1=0，x2=1+aa，
即CD=1+aa，
∴S1−S2=(S△PCD+S△ACP)−(S△APB+S△ACP)
=S△ADC−S△ABC
=12×CD×1−12×AB×1
=12×1+aa×1−12×1−aa×1
=1，
即不论a为何值，
S1−S2的值都是常数．
答：这个常数是1．
【解析】(1)把C(0,1)代入抛物线即可求出c；
(2)把A(1,0)代入得到0=a+b+1，推出b=−1−a，求出方程ax2+bx+1=0，的b2−4ac的值即可；
(3)设B(b,0)，由根与系数的关系得：1+b=1+aa，b=1a，求出AB=1−aa，把y=1代入抛物线得到方程ax2+(−1−a)x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD，求出S1−S2=S△ACD−S△ACB即可．
本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．
25.【答案】解：(1)∵AB=AB，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
(2)在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
AB=AD∠ABC=∠ADEBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵AD=AD
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴ 2AC=CE，
∴ 2AC=CD+DE=CD+BC；
(3)过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF= 2AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
AF=AM∠FAB=∠MADAB=AD，
∴△ABF≌△ADM(SAS)，
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM2+MF2=BF2，
∴BM2+2AM2=DM2．
【解析】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．
(1)要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；
(2)在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可得出结论；
(3)过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰直角三角形后，可得出AM=AF，MF= 2AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．项目
男生(人数)
女生(人数)
机器人
7
9
3D打印
m
4
航模
2
2
其他
5
n
男1
男2
女1
女2
男1
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男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
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女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
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女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
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