上海市黄浦区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分100分，考试时间90分钟）
一、选择题
1. 如图中与不可能成为同位角的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据同位角的定义即可解答．
【详解】解：根据同位角的定义观察图形，选项B中∠1与∠2不可能成为同位角．故答案为B．
【点睛】本题考查了同位角的定义，熟练掌握定义是解题的关键.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
D. 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角、平行线和垂线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，选项错误，不符合题意；
B. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项错误，不符合题意；
C. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等，选项错误，不符合题意；
D. 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角、平行线、垂线的性质，解题关键是熟记相关性质，准确进行判断．
3. 以下叙述中，正确的是（ ）
A. 数轴上的点和实数一一对应；B. 一定没有偶次方根；
C. 的算术平方根是2；D. 近似数精确到万位．
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查实数，掌握基本的意义与性质是解决问题的关键．利用实数的性质、平方根、算术平方根以及近似数的意义分析判定即可．
【详解】解：A．数轴上的点和实数一一对应，正确；
B．当时，有偶次方根，故不正确；
C．的算术平方根是，故不正确；
D．近似数精确到千位，故不正确．
故选：A．
4. 学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ）
A. 3米和4米之间B. 4米和5米之间C. 5米和6米之间D. 6米和7米之间
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可．
【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，
∴个正方形的边长为米，
∵，
∴．
故选B．
5. 如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余角共有（ ）

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质以及角平分线的定义求得，再证明得到，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴与互余的角有，共5个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义以及互余的定义，由角平分线的定义及平行线的性质得出是解题关键．
二、填空题
6. 下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：3.1416，，是有理数；
，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理数．
故答案为：4．
7. 把写成幂的形式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式换算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分数指数幂的计算公式，熟练运用公式是解题关键．
8. 计算：____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：3．
9. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分数指数幂，把转化成算术平方根的形式求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
10. 计算：＝_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据积的乘方的运算法则和分数指数幂性质计算，即可得到答案．
【详解】




故答案为：．
【点睛】本题主要考查分数指数幂，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则和分数指数幂的性质．
11. 已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意列得：，
则两点间的距离为，
故答案：．
【点睛】此题考查了数轴表示两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离等于较大的数字减去减小的数字，根据题意列出正确的算式是解本题的关键．
12. 2024年，历时40天的春运（）已经结束，民航旅客运输总量达8345万人次，为历年春运最高水平．将8345万人次保留2个有效数字并用科学记数法表示为____________万人次．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解： ．
故答案为：．
13. 如图，直线、相交于点，于，，＝____________°．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，数形结合是解答本题的关键．由垂直的定义得，再根据求出，然后由对顶角相等可得答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：60．
14. 如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠7；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝180°，其中能判断的条件是：___．
【答案】②③④
【解析】
【分析】判断两条直线平行可从内错角、同位角和同旁内角三个方面来进行，①是对顶角，不行；②是内错角，可以；③是同位角，可以；④同旁内角，可以；从而得到答案．
【详解】解：①∠1＝∠7，对顶角相等，不能判定，①不符合题意；
②∠3＝∠6，可根据内错角相等，两直线平行得到，②符合题意；
③∠1＝∠8，根据对顶角，则∠1＝∠2，可由同位角相等，两直线平行得到，③符合题意；
④∠5+∠8＝180°，根据对顶角、，可得∠3+∠2＝180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到，④符合题意；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查两条直线平行的判定，熟练掌握判定直线平行的三个方面：内错角、同位角和同旁内角是解决问题的关键．
15 如图，，，，那么＝____________．
【答案】65
【解析】
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．过点C作，可得，再由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：65
16. 已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为________．
【答案】2cm或8cm
【解析】
【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．
【详解】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5-3=2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．
故答案为：2cm或8cm．
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，分类讨论是解决问题的关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
17. 根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可．
【详解】解：当输入x为36时，，
是有理数，， 是无理数，
∴当输入的为36时，输出的值是．
故答案为：．
18. 我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，正确理解新定义是解题的关键．分，，两种情况求出m的值，看是否符合题意即可．
【详解】当时，则，
解得，
∵，，且10，15，30都是整数，
∴此时满足是“完美组合数”；
当时，则，
解得，不符合题意；
综上所述，．
故答案为：．
19. 如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 ____________ °．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键．由折叠得，，根据，得到，由折叠的性质得到，再根据求出，即可求出答案．
【详解】解：如图，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，

由折叠得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
故答案为：．
三、简答题
20. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的混合运算即可求得．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】首先去括号，然后合并同类二次根式即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
22. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减可得．
【详解】解：原式
23. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】根据立方根、零次幂、平方和负整数指数幂的性质化简各数，然后计算即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题考查实数运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
24. 利用幂的运算性质进行计算：
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了分数指数幂的意义，熟练掌握分数指数指数幂的意义是解答本题的关键． 分数次幂的运算法则公式是，即先计算a的n次方，然后对结果进行开m次方根（，m、n属于正整数）．
【详解】解：原式，



．
25. 若，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：，
∴，
即的平方根是．
26. 如图，已知，，那么，什么？
解：因为 （已知），
所以（ ），
所以（ ）．
因为（ ），
所以 （ ），
即，
所以（ ），
所以（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 先根据题意得出，故可得出，再由得出，进而可得出，据此可得出结论．
【详解】解：因为 （已知），
所以（同旁内角互补，两直线平行），
所以（两直线平行，内错角相等）．
因为（已知），
所以 （等式性质），
即，
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行．
27. 如图，已知，是的角平分线，交于点，交的延长线于点，且，请说明的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出．根据平行线的性质得出，进而利用平行线的判定得出，进而解答即可．
【详解】（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
是的角平分线（已知）
（角平分线的意义）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
四、解答题
28. （1）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数” ．
阅读材料：“无理数”的由来．为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．
假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数，a与b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数．
再设，其中m是整数，就有：，
也就是：，
所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．
请你也试着用反证法，说明是无理数．
解：假设是一个有理数．
则（a、b是整数，a与b互素且），
则
两边同时平方得： ，
所以： ，
因为： ．
所以：是一个无理数．
（2）判断下面的说法是否正确．正确的打 “√”，错误的打“×”．
①任意两个无理数的和还是无理数．（ ）
②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数．（ ）
（3）如果，其中、为有理数，求、的值．
【答案】（1）；； a、b是整数，，所以为有理数．而是无理数，与前面假设矛盾
（2）① ×；②√
（3）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键．
（1）仿照题干方法进行证明即可；
（2）根据无理数的定义判断即可；
（3）整理后，根据对应部分相等列式求解即可．
【详解】解：（1）假设是一个有理数．
则（a、b是整数，a与b互素且），
则
两边同时平方得：，
所以：，
因为：a、b是整数，，所以为有理数．而是无理数，与前面假设矛盾．
所以：是一个无理数．
（2）①任意两个无理数的和还是无理数不正确，如：是有理数．
故答案为：×；
②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，正确．
故答案为：√；
（3）∵，
∴，
∴，
∴
∴．
29. 将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）
（1）①若，则的度数为 ．
②若，则的度数为 ．
（2）由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ．
（3）当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了与三角板有关的计算，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
（1）①先求得的度数，即可得到的度数；
②先求得的度数，即可得到的度数；
（2）依据，，即可得到与互补．
（3）分5种情况求解：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时．
【小问1详解】
①∵，
∴
∴
故答案为：．
②∵，
∴
∴
故答案为：．
【小问2详解】
．
理由如下：
∵，，
∴．
∵，，
∴
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
①当时，
∵，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
③当时，
∵，
∴，
∴；
④当时，
∵
∴
∴
∴
∴；
⑤当时，过点C作，
∵，，
∴，
∴∠，
∴
∴．
故答案为：．