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江苏省南京市江宁区竹山中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列运算正确的是（ ）
A. a3+a2＝a5B. 2（a+1）＝2a+1
C. （ab）2＝a2b2D. a6÷a3＝a2
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. 9D. 11
3. 若，其中、为两个连续的整数，则的值为（ ）．
A. B. C. 6D.
4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y随x的变化情况不变D. 与y轴的交点不变
6. 如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
8. 分解因式的结果是___________．
9. 已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2_____S乙2（填“>”、“=”、“<”）．
10. 如 图，在边长为3 cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为_____cm2．
11. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．
12. 如图，的顶点、、在半圆上，顶点在直径上，连接，若，则的度数为__．
13. 如图，，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，，则长为__．
14. 已知二次函数为常数），则下列结论正确有________
①抛物线开口向下；
②抛物线与轴交点坐标为；
③当时，随增大而增大；
④抛物线的顶点坐标为．
15. 如图，为⊙的直径, 为⊙上一点，弦平分，交于点,，则的长为________.
16. 如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
三、解答题
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 已知，求代数式的值．
19. 如图所示，为的边上一点，交于点，且，．
求证：．
20. 某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
（1）根据上述信息可知，甲命中环数的众数是______环，乙命中环数的中位数是______环；
（2）试通过计算甲、乙两人的方差，比较说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩方差会______（填“变大”“变小”或“不变”）．
21. 把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．
（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ；
（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
22. 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
23. 如图，在一座建筑物CM上，挂着“美丽泰兴”的宣传条幅AC，在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为30°，测得D处的俯角为45°，其中点A、B、C、D、E在同一铅垂面内，B、C、D在一条直线上， ，求宣传条幅AC长．请你从下面的三个条件：①BD＝50米；②D到AB的距离为25米；③AM＝20米．选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．
24. 如图，在中，，点D为边上一点．
（1）尺规作图：在边上找一点E，使得．
（2）在（1）条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切．
25. 为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点E在线段的延长线上．
（1）当点D在线段上时，
①设的长为x米，请用含x的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求DF的长；
（2）当点D在线段延长线上，为多少时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
26. 已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．
27. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
（1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
（2）如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
（3）如图4，在中，E为边上一点，F为边上的一点．若
，求 的值．命中环数
6
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
0
1
3
1
0
乙命中相应环数的次数
1
1
1
1
1
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a3+a2＝a5B. 2（a+1）＝2a+1
C. （ab）2＝a2b2D. a6÷a3＝a2
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. 9D. 11
3. 若，其中、为两个连续的整数，则的值为（ ）．
A. B. C. 6D.
4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y随x的变化情况不变D. 与y轴的交点不变
6. 如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
8. 分解因式的结果是___________．
9. 已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2_____S乙2（填“>”、“=”、“<”）．
10. 如 图，在边长为3 cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为_____cm2．
11. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．
12. 如图，的顶点、、在半圆上，顶点在直径上，连接，若，则的度数为__．
13. 如图，，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，，则长为__．
14. 已知二次函数为常数），则下列结论正确有________
①抛物线开口向下；
②抛物线与轴交点坐标为；
③当时，随增大而增大；
④抛物线的顶点坐标为．
15. 如图，为⊙的直径, 为⊙上一点，弦平分，交于点,，则的长为________.
16. 如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
三、解答题
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 已知，求代数式的值．
19. 如图所示，为的边上一点，交于点，且，．
求证：．
20. 某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
（1）根据上述信息可知，甲命中环数的众数是______环，乙命中环数的中位数是______环；
（2）试通过计算甲、乙两人的方差，比较说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩方差会______（填“变大”“变小”或“不变”）．
21. 把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．
（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ；
（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
22. 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
23. 如图，在一座建筑物CM上，挂着“美丽泰兴”的宣传条幅AC，在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为30°，测得D处的俯角为45°，其中点A、B、C、D、E在同一铅垂面内，B、C、D在一条直线上， ，求宣传条幅AC长．请你从下面的三个条件：①BD＝50米；②D到AB的距离为25米；③AM＝20米．选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．
24. 如图，在中，，点D为边上一点．
（1）尺规作图：在边上找一点E，使得．
（2）在（1）条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切．
25. 为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点E在线段的延长线上．
（1）当点D在线段上时，
①设的长为x米，请用含x的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求DF的长；
（2）当点D在线段延长线上，为多少时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
26. 已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．
27. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
（1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
（2）如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
（3）如图4，在中，E为边上一点，F为边上的一点．若
，求 的值．命中环数
6
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
0
1
3
1
0
乙命中相应环数的次数
1
1
1
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