福建省永安市第三中学高中校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

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学校______班级______姓名______座号_______
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．2C．D．
2．在中，，则角的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
3．已知，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：
．若，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称．如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度（ ）
图1 图2
A．米B．米C．50米D．米
6．已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
7．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
8．已知六边形为正六边形，且，以下不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若复数为纯虚数，则
B．若复数，则
C．复数的共轭复数为
D．若复数满足，则的实部与虚部至少有一个为0
10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点是的重心
C．若，则点在边的延长线上
D．若，且，则是面积的一半
11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为1，P是正八边形边上任意一点，则（ ）
图1 图2
A．与能构成一组基底
B．
C．在向量上的投影向量为
D．若在线段（包括端点）上，且，则取值范围
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．若为虚数单位，则______．
13．已知，若与的夹角为针角，则实数的取值范围是______．
14．十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知向量，且与共线．
（1）求的值；
（2）若与垂直，求实数的值．
16．（本小题15分）（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求；
（2）已知复数为纯虚数，求实数的值．
17．（本小题15分）已知在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若为的中点，的面积为，求的长．
18．（本小题17分）如图，在中，分别为的中点，．
（1）试用表示；
（2）若，求．
19．（本小题17分）已知分别是三个内角的对边，且
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围．
参考答案：
1．A
2．D 【详解】由题意知中，，
故，即，
由于，故，则或，
故的大小为或，
3．B 【详解】设与的夹角为，
因为，，
所以：．
4．D 【详解】因为，所以，
则，
5．B 【详解】
由题意可知，，
设米，则
在中，米，
在中，米．
由余弦定理可得，即，解得．
因为米，所以米．
6．B 【详解】设，其中，则，
，
，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
即为圆上动点到定点的距离，
的最大值为．
7．B 【详解】由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，所以，
因为．所以，
所以的形状为顶角为的等腰三角形．
8．C 【详解】如图，设
因为六边形为正六边形，
所以，且．
又是等腰三角形，所以，
从而可有，
则，
所以，同理有．
所以，所以选项A不符合题意；
，所以选项B不符合题意；
，所以选项C符合题意；
，所以选项D不符合题意．
9．CD 【详解】对于A，因为复数为纯虚数，所以，故错误；
对于B，因为复数，则，故错误；
对于C，因为复数，则其共轭复数为，故正确；
对于D，设，则由，可得，所以的实部与虚部至少有一个为0，故正确；
10．ABD 【详解】解：对A，，即，
即，
即点是边的中点，故A正确；
对B，设的中点为，，
即点是的重心，故B正确；
对C，，
即，
即，
即点在边的延长线上，故C错误；
对D，，且，
故，且，
设，
则，且，
故三点共线，且，
即是面积的一半，故D正确．
11．BCD 【详解】连接，因为，
因为，现，
故．
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
则，
，且，
故，
故，
所以与平行，不能构成一组基底，A错误；
，
，故，B正确；
又，所以，
即在向量上的投影向量为，C正确；
若在线段（包括端点）上，设，
所以，
由，可得，则，
所以，D正确．
12．73 【详解】因为，
所以，解得，
则．
13．
【详解】因为与的夹角为针角，所以，
解得且，即实数的取值范围是．
14．
【详解】由于，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
．
15．（1），（2）．
【详解】（1）
因为与共线，所以，
解得．
（2）由（1）知，所以．
由与垂直，得，
所以，
解得．
16．（1） （2）
【详解】（1）设，则，
依题意，，
解得，所以．
（2）依题意，
，
由为纯虚数，得，
解得，
17．【详解】（1），
由正弦定理可得，
可得，即，
所以．
因为，所以．
（2）因为的面积为，
所以，由（1）知，可得，
因为，可得：
，
解得，可得的长为
18．（1）； （2）．
【详解】解：（1）因为为的中点，
所以．
又为的中点，所以，
所以．
（2）因为，
所以．
所以．
又．
则．
故．
19．【详解】（1）由及正弦定理可得：
又，
，
整理可得：，
可得，
可得：，
，，
，．
（2）若，根据余弦定理得：，化简，
又，
，即：当且仅当时，有最大值6，
的面积．
当且仅当时，面积有最大值，最大值等于．
（3）由正弦定理，则，则，
由，可得，则，
则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
则
由，则，则．