【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题1-1直线的倾斜角与斜率-考点归纳讲练.zip

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知识点1.直线的倾斜角
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．
【解题方法点拨】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
知识点2.直线的斜率
1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定义：k＝tanα（α≠）
（2）斜率公式：k＝．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
题型一：直线的倾斜角
1．（2023秋•宝山区月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求得直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系，算出直线的倾斜角．
【解答】解：根据题意得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，考查概念的理解能力，属于基础题．
2．（2023秋•青浦区校级期末）若直线，则直线的倾斜角是
【分析】根据题意算出的值，可得直线的方程为，再根据倾斜角的概念算出答案．
【解答】解：因为，所以直线即，
根据直线的方程，可知直线与轴垂直，故直线的倾斜角是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角等知识，属于基础题．
3．（2023秋•青浦区校级期末）直线的倾斜角为 ． ．
【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角．
【解答】解：直线垂直于轴，故直线的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题．
4．（2023•闵行区校级开学）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 ．
【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可．
【解答】解：因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
直线与直线平行，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线平行的性质的应用及直线倾斜角的求法，属于基础题．
5．（2023秋•浦东新区校级期中）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为 ．
【分析】由，两点的坐标可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
【解答】解：由，，可得，
设直线的倾斜角为，且，，
所以，可得．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及倾斜角的求法，属于基础题．
6．（2023秋•浦东新区校级期中）直线的倾斜角为 120 ．
【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角．
【解答】解：由于直线的斜率为，设倾斜角为，则，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
7．（2023秋•长宁区校级期末）直线的斜率的取值范围为，，则其倾斜角的取值范围是 ，， ．
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．
【解答】解：设直线的倾斜角为，，，
设直线的斜率为，因为，，
当时，则，，
当时，则，．
故倾斜角的范围为，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．
8．（2023秋•徐汇区期末）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ．
【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小．
【解答】解：由直线经过点，可得，解之得，
设直线倾斜角为，则，
又，，则．
则直线倾斜角的大小为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
9．（2023秋•普陀区校级期中）直线的倾斜角的取值范围是 ， ．
【分析】分别讨论直线的斜率垂直和不存在两种情况，再由的范围，可得直线的斜率的范围，进而求出直线的倾斜角的范围．
【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率为，则它的倾斜角的范围为，；
当时，则直线的斜率为，则它的倾斜角的范围为，；
综上所述：直线的倾斜角的范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查分类讨论的思想及直线的倾斜角的范围的求法，属于基础题．
10．（2023春•黄浦区校级期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么 1 ．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：过、两点的直线的倾斜角为，
则，
又．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式 属于基础题．
11．（2023•黄浦区校级三模）若直线的倾斜角为，则的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，以及三角函数的恒等变换，即可求解．
【解答】解：直线的倾斜角为，
则，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，以及三角函数的恒等变换，属于基础题．
12．（2023秋•松江区校级月考）若直线的一个方向向量，则直线的倾斜角是 ． ．
【分析】由直线的方向向量可得直线的斜率，进而求出它的倾斜角的大小．
【解答】解：由直线的方向向量，可得直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率与其方向向量的关系，属于基础题．
13．（2023秋•宝山区校级期末）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ．
【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角．
【解答】解：将代入解析式得，解得，
故直线倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
14．（2023春•宝山区期末）直线的倾斜角为 ．
【分析】利用直线的性质求解．
【解答】解：直线垂直于轴，
直线的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．
15．（2023秋•虹口区校级月考）若，，且过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 ，，，， ．
【分析】利用斜率的计算公式及其意义即可得出．
【解答】解：如图示：
，，
过点的直线与线段有公共点，
或．
直线的斜率的取值范围是，，，
倾斜角的取值范围是是，．
故答案为：，，，，．
【点评】本题考查了斜率的计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（2023秋•浦东新区校级月考）若直线与直线的倾斜角相等，则实数 1 ．
【分析】首先将直线化为斜截式，依题意可得，即可得解．
【解答】解：直线即，
直线即，
因为直线与直线的倾斜角相等，
所以，即．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了直线平行的性质，是中档题．
题型二：直线的斜率
17．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，则直线的斜率为 ．
【分析】利用经过两点的直线的斜率公式加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
18．（2023秋•浦东新区校级期末）直线的斜率为，则实数的值为 ．
【分析】根据题意可得，将直线化简为斜截式，继而根据斜率为列式算出的值．
【解答】解：直线化成斜截式，可得，
因为直线的斜率为，所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程与直线的斜率等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
19．（2023春•金山区校级期末）已知直线，则直线的斜率 ．
【分析】先把直线方程化为斜截式即可求解．
【解答】解：因为，即，
则直线的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题．
20．（2023秋•奉贤区校级月考）若直线和直线斜率互为相反数，则 或0 ．
【分析】由两条直线的方程可得它们的斜率，由题意可得的值．
【解答】解：由题意可得直线的斜率，
直线的斜率，
由题意可得，整理可得：，
解得或，都符合条件．
故答案为：或0．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题．
21．（2023秋•虹口区校级月考）直线的倾斜角满足，则直线斜率为 ．
【分析】根据斜率的定义结合同角三角关系运算求解．
【解答】解：因为，，且，则，
所以直线斜率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
22．（2023春•松江区校级期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 4 ．
【分析】由线段，，不能构成三角形知，，三点共线，由求得的值．
【解答】解：因为线段，，不能构成三角形，所以，，三点共线，
显然直线的斜率存在，故，即，解得．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
23．（2023秋•奉贤区校级月考）已知经过两点，的直线的斜率为1，则的值为 6 ．
【分析】根据已知条件，结合斜率公式，即可求解．
【解答】解：经过两点，的直线的斜率为1，
，解得．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题．
24．（2023春•浦东新区校级期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是
A．B．
C．D．
【分析】由题意，根据直线的斜率公式，求出直线、的斜率，可得直线的斜率取值范围．
【解答】解：如图所示：
由于直线与线段相交，
故有或，
求得，，
可得直线的斜率取值范围是，
故选：．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
25．（2022秋•奉贤区校级月考）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ．
【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解．
【解答】解：因为直线恒过，和，
所以，，
由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示：
由图象可知，或，即或，
所以的斜率的取值范围是为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
26．（2023秋•宝山区校级月考）在线段上运动，已知，，则的取值范围是 ， ．
【分析】画出图形，求出的斜率，即可得到的取值范围．
【解答】解：如图：表示线段上的点与连线的斜率，
，，
则的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查计算能力．
27．（2023秋•徐汇区校级月考）已知线段的端点，，直线与线段相交，则的取值范围是 ．
【分析】首先求出直线恒过的定点，再利用直线的斜率关系式求出结果．
【解答】解：由于线段的端点，，直线与线段相交，
直线整理得，故直线恒过点，
由于直线与线段相交，
故直线的斜率满足．
即的取值范围满足：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
题型三：直线倾斜角和斜率的综合应用
1．（2023上·高二课时练习）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．

【答案】
【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可.
【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为，
两点之间的斜率为，
又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知，
即直线的斜率的取值范围为.
2．（2024上·上海·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案；
（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围．
【详解】（1）因为，，
所以
因为直线与线段有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或，
所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，
所以的取值范围是．
3．（2023上·高二课时练习）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由斜率与倾斜角之间的关系，并结合正切函数单调性及值域，可得斜率；
（2）当倾斜角为钝角时，斜率为负值，由正切函数值域可得.
【详解】（1）根据斜率与倾斜角之间的关系，
利用正切函数单调性可知，正切函数在上单调递增，
又，
所以时，斜率，
即斜率的取值范围是.
（2）由正切函数性质可知，时，单调递增，
且趋近于时，趋近于，易知；
所以当时，斜率，
即斜率的取值范围是
4．（2023上·高二课时练习）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可.
【详解】因为、、，
所以，
当，即，此时，，，则的斜率不存在，
此时、、三点能构成一个三角形，
当，即时，，
要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得，
综上可得实数的取值范围.
5．（2022上·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为.
(1)用分别表示直线的斜率和倾斜角；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）计算，根据和两种情况得到倾斜角.
（2），得到倾斜角范围.
【详解】（1），
当或时，，；
当时，，；
（2），所以.
一．填空题（共12小题）
1．（2023春•崇明区期末）已知直线经过点、，则它的斜率 ．
【分析】根据题意，由直线的斜率计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线经过，两点，
则的斜率．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率计算，注意直线的斜率计算公式即可，属于基础题．
2．（2023春•浦东新区期中）直线的倾斜角为 ．
【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．
【解答】解：直线的斜率为1；所以直线的倾斜角为．
故答案为．
【点评】本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．
3．（2023春•上海月考）直线的倾斜角的大小为 ．
【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．
【解答】解：由，得
，
直线的斜率为，
设其倾斜角为，
则，
．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
4．（2023秋•虹口区校级月考）直线的倾斜角范围是 ， ．
【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．
【解答】解：直线的倾斜角的范围是，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握．
5．（2023秋•浦东新区校级月考）直线的倾斜角是 （用反正切表示）．
【分析】由已知直线方程求出直线的斜率，再由反正切得答案．
【解答】解：由直线，得，
直线的斜率为，
设其倾斜角为，，，
则．
．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了反正切函数的应用，是基础题．
6．（2023春•嘉定区期末）直线x+y+2＝0的倾斜角是 ．
【分析】设直线x+y+2＝0的倾斜角是θ，可得：tanθ＝﹣1，θ∈[0，π），即可得出．
【解答】解：设直线x+y+2＝0的倾斜角是θ，可得：tanθ＝﹣1，θ∈[0，π），
解得θ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（2023春•黄浦区校级期中）过，的直线的斜率为 1 ．
【分析】由题意，利用直线的斜率公式，计算求得结果．
【解答】解：过，的直线的斜率为．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
8．（2023秋•杨浦区校级期中）直线的倾斜角的大小为 ．
【分析】由直线方程得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值，结合反正切得答案．
【解答】解：由，得，
得直线的斜率为，
设其倾斜角为，则，得．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查反正切的应用，是基础题．
9．（2023春•普陀区校级期末）已知直线经过点．直线的倾斜角是 ．
【分析】由题意，利用直线的斜率的定义和公式，求出直线的倾斜角．
【解答】解：直线经过点，设直线的倾斜角是，，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．
10．（2023春•静安区校级期中）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率1，则直线的倾斜角是 或 （结果用角度制表示）．
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的旋转求出结果．
【解答】解：直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率1，即直线的倾斜角为，
当直线按逆时针旋转时，得到直线的倾斜角为，
当直线按顺时针旋转时，得到直线的倾斜角为．
故答案为：或．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，直线的旋转，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11．（2023秋•浦东新区校级月考）直线的倾斜角为 ．
【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角．
【解答】解：由于直线，
故该直线垂直于轴，
故直线的倾斜角为．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
12．（2023春•奉贤区期末）过点、的直线的倾斜角为 ．（用反三角表示）
【分析】直接利用两点求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．
【解答】解：过点、的直线的斜率，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和直线的倾斜角的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
二．选择题（共4小题）
13．（2023春•宝山区期末）若，，则直线不经过第 象限
A．一B．二C．三D．四
【分析】由题意，把直线的方程化为斜截式，根据直线的斜率以及它在轴上的截距，确定它的位置．
【解答】解：若，，则直线即，
故直线的斜率，直线在轴上的截距，
故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：．
【点评】本题主要考查确定直线位置关系的几何要素，属于基础题．
14．（2022秋•嘉定区校级期末）下列说法正确的是
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大
B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等
C．任何一条直线都有唯一的斜率
D．任何一条直线都有唯一的倾斜角
【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可．
【解答】解：对于：直线的倾斜角，，，，所以错误；
对于：两直线的倾斜角相等为，斜率不存在，所以错误；
对于：当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；
对于：任何一条直线都有唯一的倾斜角，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，是基础题．
15．（2023秋•宝山区校级期末）直线倾斜角的范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．
【解答】解：直线倾斜角的范围是：，，
故选：．
【点评】本题考查了直线倾斜角的范围，考查倾斜角的定义，是一道基础题．
16．（2023春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可．
【解答】解：设一条直线上存在两个有理点，，，，
由于也在此直线上，
所以，当时，有为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当时，直线的斜率存在，且有，
又为无理数，而为有理数，
所以只能是，且，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为．
故选：．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
三．解答题（共5小题）
17．（2021秋•奉贤区校级月考）若求直线经过、两点．求：
（1）求直线的倾斜角关于的函数解析式；
（2）直线的倾斜角的取值范围．
【分析】（1）根据题意，求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可得答案；
（2）根据题意，分析的取值范围，结合正切函数的图象分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，直线经过、两点，
则其斜率，
则有，
（2）根据题意，由（1）的结论，，即，
而，由正切函数的图象，可得的范围为，，．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，涉及正切函数的性质，属于基础题．
18．（2022秋•浦东新区校级月考）（1）设坐标平面内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率．
【分析】（1）由已知结合直线的斜率公式即可求解；
（2）结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】解：（1）由，
即，解得或，
经检验均符合题意，故的值是1或2，
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由已知，，则直线的斜率为．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
19．（2023•浦东新区校级开学）设直线的方程是，其倾斜角为．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若将倾斜角用表示，求关于的函数关系．
【分析】（1）根据直线的倾斜角与斜率关系，函数思想即可求解；
（2）根据直线的倾斜角与斜率关系，反三角函数的定义即可求解．
【解答】解：（1），其倾斜角为，且，
，
，
，，
，，
，
，；
（2），
．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系，反三角函数的定义，函数思想，属基础题．
20．（2022秋•浦东新区校级月考）已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
（1）已知，是一组“共轭线对”，求的最小值；
（2）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标．
【分析】（1）结合已知定义，利用基本不等式即可求解；
（2）结合直线定义可分别求出，，，进而可求三条直线，联立方程可求．
【解答】解：（1）设的斜率为，则的斜率为，
则
等号成立的条件是，所以最小值为；
（2）设直线，，的斜率分别为，，，
则
得或，，，
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；
当，，时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；
故所求为或．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了直线的斜率关系的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
21．（2022秋•浦东新区校级月考）设直线的方程为，其倾斜角为．
（1）将倾斜角表示成的函数；
（2）①若，求的取值范围；
②若，求的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，分，，三种情况讨论，即可求解．
（2）①结合（1）的结论，分分，，三种情况讨论，并取并集，即可求解．
②直线的斜率，根据的取值范围，可求得的取值范围，再结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，当时，直线的斜率
若，则，
当，则，
即．
（2）①当时，，故，解得，，显然成立，
当时，，故，解得，
综上所述，的取值范围是．
②已知，
则，
又，
故的范围是．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查转化能力，属于中档题．