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    【期中复习】2023-2024学年(沪教版2020选修)高二数学下册专题1-1直线的倾斜角与斜率-考点归纳讲练.zip
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    【期中复习】2023-2024学年(沪教版2020选修)高二数学下册专题1-1直线的倾斜角与斜率-考点归纳讲练.zip

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    这是一份【期中复习】2023-2024学年(沪教版2020选修)高二数学下册专题1-1直线的倾斜角与斜率-考点归纳讲练.zip,文件包含专题1-1直线的倾斜角与斜率-考点归纳讲练原卷版docx、专题1-1直线的倾斜角与斜率-考点归纳讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。



    知识点1.直线的倾斜角
    1.定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
    2.范围:[0,π) (特别地:当直线l和x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°)
    3.意义:体现了直线对x轴正方向的倾斜程度.
    【解题方法点拨】
    直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考中多以选择填空形式出现,是高考考查的热点问题.
    知识点2.直线的斜率
    1.定义:当直线倾斜角α≠时,其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母k表示,即k=tanα.
    2.斜率的求法
    (1)定义:k=tanα(α≠)
    (2)斜率公式:k=.
    3.斜率与倾斜角的区别和联系
    (1)区别:①每条直线都有倾斜角,范围是[0,π),但并不是每条直线都有斜率.
    ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向,而斜率是从代数的角度刻画直线的方向.
    (2)联系:
    ①当α≠时,k=tanα;当α=时,斜率不存在;
    ②根据正切函数k=tanα的单调性:当α∈[0,)时,k>0且随α的增大而增大,当α∈(,π)时,k<0且随α的增大而增大.
    【解题方法点拨】
    直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考中多以选择填空形式出现,是高考考查的热点问题.
    【命题方向】
    (1)已知倾斜角范围求斜率的范围;
    (2)已知斜率求倾斜角的问题.
    (3)斜率在数形结合中的应用.
    题型一:直线的倾斜角
    1.(2023秋•宝山区月考)已知直线的方程为,则直线的倾斜角为
    A.B.C.D.
    【分析】根据题意,求得直线的斜率,然后根据斜率与倾斜角的关系,算出直线的倾斜角.
    【解答】解:根据题意得直线的斜率,
    设直线的倾斜角为,则,且,,解得.
    故选:.
    【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角及其应用,考查概念的理解能力,属于基础题.
    2.(2023秋•青浦区校级期末)若直线,则直线的倾斜角是
    【分析】根据题意算出的值,可得直线的方程为,再根据倾斜角的概念算出答案.
    【解答】解:因为,所以直线即,
    根据直线的方程,可知直线与轴垂直,故直线的倾斜角是.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角等知识,属于基础题.
    3.(2023秋•青浦区校级期末)直线的倾斜角为 . .
    【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角.
    【解答】解:直线垂直于轴,故直线的倾斜角为.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查了直线的倾斜角的求解,属于基础题.
    4.(2023•闵行区校级开学)若直线与直线平行,直线的斜率为,则直线的倾斜角为 .
    【分析】根据两直线平行,倾斜角相等即可.
    【解答】解:因为直线的斜率为,
    所以直线的倾斜角为,
    直线与直线平行,
    所以直线的倾斜角为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查直线平行的性质的应用及直线倾斜角的求法,属于基础题.
    5.(2023秋•浦东新区校级期中)已知直线经过,两点,则该直线的倾斜角为 .
    【分析】由,两点的坐标可得直线的斜率,进而求出直线的倾斜角的大小.
    【解答】解:由,,可得,
    设直线的倾斜角为,且,,
    所以,可得.
    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的斜率的求法及倾斜角的求法,属于基础题.
    6.(2023秋•浦东新区校级期中)直线的倾斜角为 120 .
    【分析】由直线的方程求得直线的斜率,再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角.
    【解答】解:由于直线的斜率为,设倾斜角为,则,,
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,属于基础题.
    7.(2023秋•长宁区校级期末)直线的斜率的取值范围为,,则其倾斜角的取值范围是 ,, .
    【分析】由斜率的定义及正切函数的性质,即可求得结果.
    【解答】解:设直线的倾斜角为,,,
    设直线的斜率为,因为,,
    当时,则,,
    当时,则,.
    故倾斜角的范围为,,.
    故答案为:,,.
    【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法,分类讨论的思想,属于基础题.
    8.(2023秋•徐汇区期末)已知直线经过点,则直线倾斜角的大小为 .
    【分析】先求得直线的斜率,进而求得直线倾斜角的大小.
    【解答】解:由直线经过点,可得,解之得,
    设直线倾斜角为,则,
    又,,则.
    则直线倾斜角的大小为.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的倾斜角,属于基础题.
    9.(2023秋•普陀区校级期中)直线的倾斜角的取值范围是 , .
    【分析】分别讨论直线的斜率垂直和不存在两种情况,再由的范围,可得直线的斜率的范围,进而求出直线的倾斜角的范围.
    【解答】解:当时,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为,
    当时,则直线的斜率为,则它的倾斜角的范围为,;
    当时,则直线的斜率为,则它的倾斜角的范围为,;
    综上所述:直线的倾斜角的范围为,.
    故答案为:,.
    【点评】本题考查分类讨论的思想及直线的倾斜角的范围的求法,属于基础题.
    10.(2023春•黄浦区校级期中)过、两点的直线的倾斜角为,那么 1 .
    【分析】根据已知条件,结合直线的斜率公式,即可求解.
    【解答】解:过、两点的直线的倾斜角为,
    则,
    又.
    故答案为:1.
    【点评】本题主要考查直线的斜率公式 属于基础题.
    11.(2023•黄浦区校级三模)若直线的倾斜角为,则的值为 .
    【分析】根据已知条件,结合直线的斜率与倾斜角的关系,以及三角函数的恒等变换,即可求解.
    【解答】解:直线的倾斜角为,
    则,
    故.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系,以及三角函数的恒等变换,属于基础题.
    12.(2023秋•松江区校级月考)若直线的一个方向向量,则直线的倾斜角是 . .
    【分析】由直线的方向向量可得直线的斜率,进而求出它的倾斜角的大小.
    【解答】解:由直线的方向向量,可得直线的斜率,
    所以直线的倾斜角为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的斜率与其方向向量的关系,属于基础题.
    13.(2023秋•宝山区校级期末)已知直线经过点,则直线倾斜角的大小为 .
    【分析】求出直线的斜率,从而得到倾斜角.
    【解答】解:将代入解析式得,解得,
    故直线倾斜角为.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角,属于基础题.
    14.(2023春•宝山区期末)直线的倾斜角为 .
    【分析】利用直线的性质求解.
    【解答】解:直线垂直于轴,
    直线的倾斜角为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的倾斜角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线性质的合理运用.
    15.(2023秋•虹口区校级月考)若,,且过点的直线与线段有公共点,则直线的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 ,,,, .
    【分析】利用斜率的计算公式及其意义即可得出.
    【解答】解:如图示:
    ,,
    过点的直线与线段有公共点,
    或.
    直线的斜率的取值范围是,,,
    倾斜角的取值范围是是,.
    故答案为:,,,,.
    【点评】本题考查了斜率的计算公式及其意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
    16.(2023秋•浦东新区校级月考)若直线与直线的倾斜角相等,则实数 1 .
    【分析】首先将直线化为斜截式,依题意可得,即可得解.
    【解答】解:直线即,
    直线即,
    因为直线与直线的倾斜角相等,
    所以,即.
    故答案为:1.
    【点评】本题考查了直线的倾斜角,考查了直线平行的性质,是中档题.
    题型二:直线的斜率
    17.(2023秋•浦东新区校级月考)已知,,则直线的斜率为 .
    【分析】利用经过两点的直线的斜率公式加以计算,即可得到本题的答案.
    【解答】解:根据题意,可得.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率公式及其应用,考查了计算能力,属于基础题.
    18.(2023秋•浦东新区校级期末)直线的斜率为,则实数的值为 .
    【分析】根据题意可得,将直线化简为斜截式,继而根据斜率为列式算出的值.
    【解答】解:直线化成斜截式,可得,
    因为直线的斜率为,所以,解得.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的方程与直线的斜率等知识,考查了概念的理解能力,属于基础题.
    19.(2023春•金山区校级期末)已知直线,则直线的斜率 .
    【分析】先把直线方程化为斜截式即可求解.
    【解答】解:因为,即,
    则直线的斜率.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查了直线的斜率公式,属于基础题.
    20.(2023秋•奉贤区校级月考)若直线和直线斜率互为相反数,则 或0 .
    【分析】由两条直线的方程可得它们的斜率,由题意可得的值.
    【解答】解:由题意可得直线的斜率,
    直线的斜率,
    由题意可得,整理可得:,
    解得或,都符合条件.
    故答案为:或0.
    【点评】本题考查直线的斜率的求法,属于基础题.
    21.(2023秋•虹口区校级月考)直线的倾斜角满足,则直线斜率为 .
    【分析】根据斜率的定义结合同角三角关系运算求解.
    【解答】解:因为,,且,则,
    所以直线斜率为.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率,属于基础题.
    22.(2023春•松江区校级期中)已知点,,,若线段,,不能构成三角形,则的值是 4 .
    【分析】由线段,,不能构成三角形知,,三点共线,由求得的值.
    【解答】解:因为线段,,不能构成三角形,所以,,三点共线,
    显然直线的斜率存在,故,即,解得.
    故答案为:4.
    【点评】本题主要考查直线的斜率公式,属于基础题.
    23.(2023秋•奉贤区校级月考)已知经过两点,的直线的斜率为1,则的值为 6 .
    【分析】根据已知条件,结合斜率公式,即可求解.
    【解答】解:经过两点,的直线的斜率为1,
    ,解得.
    故答案为:6.
    【点评】本题主要考查斜率公式的应用,属于基础题.
    24.(2023春•浦东新区校级期中)已知两点,,直线过点,若直线与线段相交,则直线的斜率取值范围是
    A.B.
    C.D.
    【分析】由题意,根据直线的斜率公式,求出直线、的斜率,可得直线的斜率取值范围.
    【解答】解:如图所示:
    由于直线与线段相交,
    故有或,
    求得,,
    可得直线的斜率取值范围是,
    故选:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率公式,属于基础题.
    25.(2022秋•奉贤区校级月考)已知线段两端点的坐标分别为和,若直线恒过,且与线段有交点,则的斜率的取值范围是 .
    【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解.
    【解答】解:因为直线恒过,和,
    所以,,
    由题意可知,直线的斜率存在且的斜率,若直线与线段有交点,如图所示:
    由图象可知,或,即或,
    所以的斜率的取值范围是为.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率公式,属于基础题.
    26.(2023秋•宝山区校级月考)在线段上运动,已知,,则的取值范围是 , .
    【分析】画出图形,求出的斜率,即可得到的取值范围.
    【解答】解:如图:表示线段上的点与连线的斜率,
    ,,
    则的取值范围是,.
    故答案为:,.
    【点评】本题考查直线的斜率的求法,考查计算能力.
    27.(2023秋•徐汇区校级月考)已知线段的端点,,直线与线段相交,则的取值范围是 .
    【分析】首先求出直线恒过的定点,再利用直线的斜率关系式求出结果.
    【解答】解:由于线段的端点,,直线与线段相交,
    直线整理得,故直线恒过点,
    由于直线与线段相交,
    故直线的斜率满足.
    即的取值范围满足:.
    故答案为:.
    【点评】本题考查的知识要点:直线的倾斜角和斜率的关系式,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
    题型三:直线倾斜角和斜率的综合应用
    1.(2023上·高二课时练习)如图,已知点、、,点是线段上任意一点,求直线的斜率的取值范围.

    【答案】
    【分析】利用点的坐标并结合图形可知,分别计算出和之间的斜率即可.
    【详解】根据题意可知,两点之间的斜率为,
    两点之间的斜率为,
    又点是线段上任意一点,由倾斜角与斜率之间的关系可知,
    即直线的斜率的取值范围为.
    2.(2024上·上海·高二假期作业)已知两点,过点的直线与线段有公共点.
    (1)求直线的斜率的取值范围;
    (2)求直线的倾斜角的取值范围.
    【答案】(1).
    (2).
    【分析】(1)由图可知要使直线与线段有公共点,只需直线的斜率满足或,从而可求得答案;
    (2)由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围.
    【详解】(1)因为,,
    所以
    因为直线与线段有公共点,
    所以由图可知直线的斜率满足或,
    所以直线的斜率的取值范围是.

    (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间,
    因为直线的倾斜角是,直线的倾斜角是,
    所以的取值范围是.
    3.(2023上·高二课时练习)根据下列直线的倾斜角的取值范围,计算斜率的取值范围.
    (1);
    (2).
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由斜率与倾斜角之间的关系,并结合正切函数单调性及值域,可得斜率;
    (2)当倾斜角为钝角时,斜率为负值,由正切函数值域可得.
    【详解】(1)根据斜率与倾斜角之间的关系,
    利用正切函数单调性可知,正切函数在上单调递增,
    又,
    所以时,斜率,
    即斜率的取值范围是.
    (2)由正切函数性质可知,时,单调递增,
    且趋近于时,趋近于,易知;
    所以当时,斜率,
    即斜率的取值范围是
    4.(2023上·高二课时练习)已知、、三点构成一个三角形,求实数的取值范围.
    【答案】
    【分析】首先求出的斜率,再分、两种情况讨论,由得到不等式,解得即可.
    【详解】因为、、,
    所以,
    当,即,此时,,,则的斜率不存在,
    此时、、三点能构成一个三角形,
    当,即时,,
    要使、、三点能构成一个三角形,则,即,解得,
    综上可得实数的取值范围.
    5.(2022上·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习)若直线经过两点,斜率为,倾斜角为.
    (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角;
    (2)求的取值范围.
    【答案】(1),或
    (2)
    【分析】(1)计算,根据和两种情况得到倾斜角.
    (2),得到倾斜角范围.
    【详解】(1),
    当或时,,;
    当时,,;
    (2),所以.
    一.填空题(共12小题)
    1.(2023春•崇明区期末)已知直线经过点、,则它的斜率 .
    【分析】根据题意,由直线的斜率计算公式计算可得答案.
    【解答】解:根据题意,直线经过,两点,
    则的斜率.
    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的斜率计算,注意直线的斜率计算公式即可,属于基础题.
    2.(2023春•浦东新区期中)直线的倾斜角为 .
    【分析】求出直线的斜率,即可得到直线的倾斜角.
    【解答】解:直线的斜率为1;所以直线的倾斜角为.
    故答案为.
    【点评】本题考查直线的有关概念,直线的斜率与直线的倾斜角的关系,考查计算能力.
    3.(2023春•上海月考)直线的倾斜角的大小为 .
    【分析】化直线的一般式方程为斜截式,求出直线的斜率,由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角.
    【解答】解:由,得

    直线的斜率为,
    设其倾斜角为,
    则,

    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的倾斜角,考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础题.
    4.(2023秋•虹口区校级月考)直线的倾斜角范围是 , .
    【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可.
    【解答】解:直线的倾斜角的范围是,,
    故答案为:,.
    【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围,考查基础知识的掌握.
    5.(2023秋•浦东新区校级月考)直线的倾斜角是 (用反正切表示).
    【分析】由已知直线方程求出直线的斜率,再由反正切得答案.
    【解答】解:由直线,得,
    直线的斜率为,
    设其倾斜角为,,,
    则.

    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了反正切函数的应用,是基础题.
    6.(2023春•嘉定区期末)直线x+y+2=0的倾斜角是 .
    【分析】设直线x+y+2=0的倾斜角是θ,可得:tanθ=﹣1,θ∈[0,π),即可得出.
    【解答】解:设直线x+y+2=0的倾斜角是θ,可得:tanθ=﹣1,θ∈[0,π),
    解得θ=.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
    7.(2023春•黄浦区校级期中)过,的直线的斜率为 1 .
    【分析】由题意,利用直线的斜率公式,计算求得结果.
    【解答】解:过,的直线的斜率为.
    故答案为:1.
    【点评】本题主要考查直线的斜率公式,属于基础题.
    8.(2023秋•杨浦区校级期中)直线的倾斜角的大小为 .
    【分析】由直线方程得直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值,结合反正切得答案.
    【解答】解:由,得,
    得直线的斜率为,
    设其倾斜角为,则,得.
    故答案为:.
    【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,考查反正切的应用,是基础题.
    9.(2023春•普陀区校级期末)已知直线经过点.直线的倾斜角是 .
    【分析】由题意,利用直线的斜率的定义和公式,求出直线的倾斜角.
    【解答】解:直线经过点,设直线的倾斜角是,,,


    故答案为:.
    【点评】本题主要考查直线的斜率的定义和公式,属于基础题.
    10.(2023春•静安区校级期中)将直线绕原点旋转得到直线,若直线的斜率1,则直线的倾斜角是 或 (结果用角度制表示).
    【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的旋转求出结果.
    【解答】解:直线绕原点旋转得到直线,若直线的斜率1,即直线的倾斜角为,
    当直线按逆时针旋转时,得到直线的倾斜角为,
    当直线按顺时针旋转时,得到直线的倾斜角为.
    故答案为:或.
    【点评】本题考查的知识要点:直线的倾斜角和斜率的关系,直线的旋转,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
    11.(2023秋•浦东新区校级月考)直线的倾斜角为 .
    【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角.
    【解答】解:由于直线,
    故该直线垂直于轴,
    故直线的倾斜角为.
    故答案为:
    【点评】本题考查的知识要点:直线的倾斜角,主要考查学生的理解能力,属于基础题.
    12.(2023春•奉贤区期末)过点、的直线的倾斜角为 .(用反三角表示)
    【分析】直接利用两点求出直线的斜率,进一步求出直线的倾斜角.
    【解答】解:过点、的直线的斜率,
    故.
    故答案为:.
    【点评】本题考查的知识要点:直线的斜率和直线的倾斜角的关系,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
    二.选择题(共4小题)
    13.(2023春•宝山区期末)若,,则直线不经过第 象限
    A.一B.二C.三D.四
    【分析】由题意,把直线的方程化为斜截式,根据直线的斜率以及它在轴上的截距,确定它的位置.
    【解答】解:若,,则直线即,
    故直线的斜率,直线在轴上的截距,
    故直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
    故选:.
    【点评】本题主要考查确定直线位置关系的几何要素,属于基础题.
    14.(2022秋•嘉定区校级期末)下列说法正确的是
    A.直线的倾斜角越大,它的斜率越大
    B.两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等
    C.任何一条直线都有唯一的斜率
    D.任何一条直线都有唯一的倾斜角
    【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
    【解答】解:对于:直线的倾斜角,,,,所以错误;
    对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误;
    对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在,所以错误;
    对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角,所以正确.
    故选:.
    【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系,是基础题.
    15.(2023秋•宝山区校级期末)直线倾斜角的范围是
    A.,B.,C.,D.,
    【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可.
    【解答】解:直线倾斜角的范围是:,,
    故选:.
    【点评】本题考查了直线倾斜角的范围,考查倾斜角的定义,是一道基础题.
    16.(2023春•闵行区校级月考)在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若为无理数,则在过点的所有直线中
    A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点
    B.恰有条直线,每条直线上至少存在两个有理点
    C.有且仅有一条直线至少过两个有理点
    D.每条直线至多过一个有理点
    【分析】根据题意,假设一条直线上存在两个有理点,由此推断满足条件的直线有多少即可.
    【解答】解:设一条直线上存在两个有理点,,,,
    由于也在此直线上,
    所以,当时,有为无理数,与假设矛盾,此时该直线不存在有理点;
    当时,直线的斜率存在,且有,
    又为无理数,而为有理数,
    所以只能是,且,
    即;
    所以满足条件的直线只有一条,且直线方程是;
    所以,正确的选项为.
    故选:.
    【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题,解题的关键是理解新定义的内容,寻找解题的途径,是难理解的题目.
    三.解答题(共5小题)
    17.(2021秋•奉贤区校级月考)若求直线经过、两点.求:
    (1)求直线的倾斜角关于的函数解析式;
    (2)直线的倾斜角的取值范围.
    【分析】(1)根据题意,求出直线的斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得答案;
    (2)根据题意,分析的取值范围,结合正切函数的图象分析可得答案.
    【解答】解:(1)根据题意,直线经过、两点,
    则其斜率,
    则有,
    (2)根据题意,由(1)的结论,,即,
    而,由正切函数的图象,可得的范围为,,.
    【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算,涉及正切函数的性质,属于基础题.
    18.(2022秋•浦东新区校级月考)(1)设坐标平面内三点、、,若直线的斜率是直线的斜率的3倍,求实数的值;
    (2)已知直线的斜率为,直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍,求直线的斜率.
    【分析】(1)由已知结合直线的斜率公式即可求解;
    (2)结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解.
    【解答】解:(1)由,
    即,解得或,
    经检验均符合题意,故的值是1或2,
    (2)设直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为,
    由已知,,则直线的斜率为.
    【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用,属于基础题.
    19.(2023•浦东新区校级开学)设直线的方程是,其倾斜角为.
    (1)若,求实数的取值范围;
    (2)若将倾斜角用表示,求关于的函数关系.
    【分析】(1)根据直线的倾斜角与斜率关系,函数思想即可求解;
    (2)根据直线的倾斜角与斜率关系,反三角函数的定义即可求解.
    【解答】解:(1),其倾斜角为,且,


    ,,
    ,,

    ,;
    (2),

    【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系,反三角函数的定义,函数思想,属基础题.
    20.(2022秋•浦东新区校级月考)已知点和非零实数,若两条不同的直线,均过点,且斜率之积为,则称直线,是一组“共轭线对”,如直线,是一组“共轭线对”,其中是坐标原点.
    (1)已知,是一组“共轭线对”,求的最小值;
    (2)已知点、点和点分别是三条直线,,上的点,,与,,均不重合),且直线,是“共轭线对”,直线,是“共轭线对”,直线,是“共轭线对”,求点的坐标.
    【分析】(1)结合已知定义,利用基本不等式即可求解;
    (2)结合直线定义可分别求出,,,进而可求三条直线,联立方程可求.
    【解答】解:(1)设的斜率为,则的斜率为,

    等号成立的条件是,所以最小值为;
    (2)设直线,,的斜率分别为,,,

    得或,,,
    当时,直线的方程为,直线的方程为,联立得,;
    当,,时,直线的方程为,直线的方程为,联立得,;
    故所求为或.
    【点评】本题以新定义为载体,主要考查了直线的斜率关系的应用,还考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于中档题.
    21.(2022秋•浦东新区校级月考)设直线的方程为,其倾斜角为.
    (1)将倾斜角表示成的函数;
    (2)①若,求的取值范围;
    ②若,求的取值范围.
    【分析】(1)根据已知条件,分,,三种情况讨论,即可求解.
    (2)①结合(1)的结论,分分,,三种情况讨论,并取并集,即可求解.
    ②直线的斜率,根据的取值范围,可求得的取值范围,再结合直线斜率与倾斜角的关系,即可求解.
    【解答】解:(1)当时,,当时,直线的斜率
    若,则,
    当,则,
    即.
    (2)①当时,,故,解得,,显然成立,
    当时,,故,解得,
    综上所述,的取值范围是.
    ②已知,
    则,
    又,
    故的范围是.
    【点评】本题主要考查直线的倾斜角,考查转化能力,属于中档题.
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