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【期中复习】2023-2024学年(沪教版2020选修)高二数学下册专题2-1圆的方程-考点归纳讲练.zip
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这是一份【期中复习】2023-2024学年(沪教版2020选修)高二数学下册专题2-1圆的方程-考点归纳讲练.zip,文件包含专题2-1圆的方程-考点归纳讲练原卷版docx、专题2-1圆的方程-考点归纳讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。
知识点1.圆的标准方程
(1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示.
(3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心、半径为r的圆.
思考:平面内确定圆的要素是什么?
[提示] 圆心坐标和半径.
知识点2.点与圆的位置关系
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=eq \r(x0-a2+y0-b2).
知识点3.圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
其中圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))),圆的半径为r=eq \f(1,2)eq \r(D2+E2-4F).
(2)对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的讨论
①D2+E2-4F>0时表示圆.
②D2+E2-4F=0时表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))).
③D2+E2-4F<0时,不表示任何图形.
思考:方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么?
[提示] A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
题型一:点与圆的位置关系
1.判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可;
(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断.
2.灵活运用
若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围.
1.(2023秋•浦东新区校级月考)若点在圆内,则实数的取值范围为 .
2.(2022秋•长宁区校级期末)已知点在圆外,则实数的取值范围为
A.B.
C.,,D.,,
3.已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系.
4.已知圆的圆心M是直线2x+y-1=0与直线x-2y+2=0的交点,且圆过点P(-5,6),求圆的标准方程,并判断点A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外?
题型二:求圆的标准方程
确定圆的标准方程的方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
1.(22·23高二上·上海浦东新·期末)以点为圆心,且与轴相切的圆的标准方程为 .
2.(23·24高二上·上海·期末)已知、,则以为直径的圆的标准方程为 .
3.(23·24高二上·上海青浦·阶段练习)已知圆心为,半径,写出圆的标准方程 .
4.(22·23高二下·上海崇明·期末)已知两点、,则以PQ为直径的圆的方程是 .
5.(23·24高二上·上海·阶段练习)以为直径端点的圆的标准方程为 .
6.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
7.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.
8.(22·23高二下·上海静安·期末)如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图,该圆弧拱跨度为,圆拱的最高点离水面的高度为,桥面离水面的高度为.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆拱所在圆的方程;
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.(结果精确到)
题型三:与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如u=eq \f(y-b,x-a)形式的最值问题,可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-eq \f(a,b) x+eq \f(l,b)截距的最值问题.
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题.
1.(23·24高二上·上海·期末)已知为圆上一点,为圆上一点,则点到点的距离的最大值为 .
2.(2023春•长宁区校级期中)已知实数,满足,则的最小值是
A.B.C.D.
3.已知x和y满足(x+1)2+y2=eq \f(1,4),试求x2+y2的最值.
题型四:圆的一般方程的认识
1.(22·23高二上·上海浦东新·期末)已知方程表示圆,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
2.(23·24高二上·上海浦东新·期中)方程表示圆,则实数a的取值范围为 .
3.(23·24高二上·上海·期末)方程表示一个圆,则实数的取值范围是 .
4.(20·21高二上·上海杨浦·期末)圆的方程为,则该圆的半径为 .
5.(23·24高二上·上海·课时练习)讨论方程(为任意实数)所表示的曲线.
6.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.
(1)2x2+y2-7y+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;
(3)x2+y2-2x-4y+10=0;
(4)2x2+2y2-5x=0.
题型五:求圆的一般方程
确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为:
(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2(r>0);
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
(3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
1.(20·21高二上·上海浦东新·期中)已知三角形的三边所在直线为,,,则三角形的外接圆方程为
2.(23·24高二上·上海·课时练习)求经过、、三点的圆的方程.
3.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为eq \r(2),求圆的一般方程.
4.已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆P的方程.
5.已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
题型六:与圆有关的轨迹问题
1.直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);
(2)列出点M 满足条件的集合;
(3)用坐标表示上述条件,列出方程;
(4)将上述方程化简;
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
2.代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标为(x,y);
(2)建立x,y与相关点的坐标x0,y0的方程;
(3)用x,y表示x0,y0;
(4)把(x0,y0)代入到相关点满足的方程;
(5)化简方程为最简形式.
1.(21·22高二上·上海奉贤·阶段练习)直角坐标平面中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足,则点P的轨迹方程是 .
2.(23·24高二上·上海青浦·阶段练习)已知两点,,动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,则点P的轨迹方程是 .
3.(23·24高二上·上海·课时练习)从定点向圆任意引一条割线交圆于、两点,求弦的中点的轨迹.
4.(23·24高二上·上海·课时练习)已知点、是距离为4的两个定点,动点满足,建立适当的平面直角坐标系,并求动点的轨迹方程.
5.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
一、填空题
1.(2023春•黄浦区校级期中)过点与半径最小的圆的方程为
2.(2022秋•闵行区校级期末)以点为圆心,且经过原点的圆的方程为 .
3.(2023春•崇明区期末)已知两点、,则以为直径的圆的方程是 .
4.(2023春•杨浦区期末)以为圆心,且经过的圆的方程是 .
5.(2023春•普陀区校级月考)圆的半径为 .
6.(2023春•浦东新区校级期中)若,求圆心坐标为 .
7.(2023春•长宁区校级期中)圆的圆心坐标是 .
8.(2023春•宝山区期末)若表示圆,则实数的值为 .
9.(2023春•普陀区校级月考)对任意实数,圆恒过定点,则其坐标为 .
二、选择题
10.(2023春•徐汇区校级期中)已知一个圆的方程满足:圆心在点,且过点原点,则它的方程为
A.B.
C.D.
11.(22·23高二下·上海黄浦·期中)已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如水滴.给出下列结论:
①“水滴”图形与轴相交,最高点记作,则点的坐标为;
②阴影部分与轴相交,最高点和最低点分别记作和,则;
③在阴影部分中任取一点,则的最大距离为3;
④“水滴”图形的面积是.
其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
三、解答题
12.(2022秋•重庆期末)在平面直角坐标系中,,,.
(1)求的面积;
(2)判断,,,四点是否在同一个圆上?并说明理由.
13.(2023春•黄浦区校级期中)已知一圆经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程.
14.(22·23高二下·上海徐汇·期中)在平面直角坐标系内,已知点P及线段l,Q是线段l上的任意一点,线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”,记为.
(1)设点,线段,求;
(2)设l是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积.
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在圆上
d=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内
d<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
知识点1.圆的标准方程
(1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示.
(3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心、半径为r的圆.
思考:平面内确定圆的要素是什么?
[提示] 圆心坐标和半径.
知识点2.点与圆的位置关系
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=eq \r(x0-a2+y0-b2).
知识点3.圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
其中圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))),圆的半径为r=eq \f(1,2)eq \r(D2+E2-4F).
(2)对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的讨论
①D2+E2-4F>0时表示圆.
②D2+E2-4F=0时表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))).
③D2+E2-4F<0时,不表示任何图形.
思考:方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么?
[提示] A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
题型一:点与圆的位置关系
1.判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可;
(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断.
2.灵活运用
若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围.
1.(2023秋•浦东新区校级月考)若点在圆内,则实数的取值范围为 .
2.(2022秋•长宁区校级期末)已知点在圆外,则实数的取值范围为
A.B.
C.,,D.,,
3.已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系.
4.已知圆的圆心M是直线2x+y-1=0与直线x-2y+2=0的交点,且圆过点P(-5,6),求圆的标准方程,并判断点A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外?
题型二:求圆的标准方程
确定圆的标准方程的方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
1.(22·23高二上·上海浦东新·期末)以点为圆心,且与轴相切的圆的标准方程为 .
2.(23·24高二上·上海·期末)已知、,则以为直径的圆的标准方程为 .
3.(23·24高二上·上海青浦·阶段练习)已知圆心为,半径,写出圆的标准方程 .
4.(22·23高二下·上海崇明·期末)已知两点、,则以PQ为直径的圆的方程是 .
5.(23·24高二上·上海·阶段练习)以为直径端点的圆的标准方程为 .
6.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
7.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.
8.(22·23高二下·上海静安·期末)如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图,该圆弧拱跨度为,圆拱的最高点离水面的高度为,桥面离水面的高度为.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆拱所在圆的方程;
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.(结果精确到)
题型三:与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如u=eq \f(y-b,x-a)形式的最值问题,可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-eq \f(a,b) x+eq \f(l,b)截距的最值问题.
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题.
1.(23·24高二上·上海·期末)已知为圆上一点,为圆上一点,则点到点的距离的最大值为 .
2.(2023春•长宁区校级期中)已知实数,满足,则的最小值是
A.B.C.D.
3.已知x和y满足(x+1)2+y2=eq \f(1,4),试求x2+y2的最值.
题型四:圆的一般方程的认识
1.(22·23高二上·上海浦东新·期末)已知方程表示圆,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
2.(23·24高二上·上海浦东新·期中)方程表示圆,则实数a的取值范围为 .
3.(23·24高二上·上海·期末)方程表示一个圆,则实数的取值范围是 .
4.(20·21高二上·上海杨浦·期末)圆的方程为,则该圆的半径为 .
5.(23·24高二上·上海·课时练习)讨论方程(为任意实数)所表示的曲线.
6.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.
(1)2x2+y2-7y+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;
(3)x2+y2-2x-4y+10=0;
(4)2x2+2y2-5x=0.
题型五:求圆的一般方程
确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为:
(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2(r>0);
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
(3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
1.(20·21高二上·上海浦东新·期中)已知三角形的三边所在直线为,,,则三角形的外接圆方程为
2.(23·24高二上·上海·课时练习)求经过、、三点的圆的方程.
3.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为eq \r(2),求圆的一般方程.
4.已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆P的方程.
5.已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
题型六:与圆有关的轨迹问题
1.直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);
(2)列出点M 满足条件的集合;
(3)用坐标表示上述条件,列出方程;
(4)将上述方程化简;
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
2.代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标为(x,y);
(2)建立x,y与相关点的坐标x0,y0的方程;
(3)用x,y表示x0,y0;
(4)把(x0,y0)代入到相关点满足的方程;
(5)化简方程为最简形式.
1.(21·22高二上·上海奉贤·阶段练习)直角坐标平面中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足,则点P的轨迹方程是 .
2.(23·24高二上·上海青浦·阶段练习)已知两点,,动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,则点P的轨迹方程是 .
3.(23·24高二上·上海·课时练习)从定点向圆任意引一条割线交圆于、两点,求弦的中点的轨迹.
4.(23·24高二上·上海·课时练习)已知点、是距离为4的两个定点,动点满足,建立适当的平面直角坐标系,并求动点的轨迹方程.
5.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
一、填空题
1.(2023春•黄浦区校级期中)过点与半径最小的圆的方程为
2.(2022秋•闵行区校级期末)以点为圆心,且经过原点的圆的方程为 .
3.(2023春•崇明区期末)已知两点、,则以为直径的圆的方程是 .
4.(2023春•杨浦区期末)以为圆心,且经过的圆的方程是 .
5.(2023春•普陀区校级月考)圆的半径为 .
6.(2023春•浦东新区校级期中)若,求圆心坐标为 .
7.(2023春•长宁区校级期中)圆的圆心坐标是 .
8.(2023春•宝山区期末)若表示圆,则实数的值为 .
9.(2023春•普陀区校级月考)对任意实数,圆恒过定点,则其坐标为 .
二、选择题
10.(2023春•徐汇区校级期中)已知一个圆的方程满足:圆心在点,且过点原点,则它的方程为
A.B.
C.D.
11.(22·23高二下·上海黄浦·期中)已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如水滴.给出下列结论:
①“水滴”图形与轴相交,最高点记作,则点的坐标为;
②阴影部分与轴相交,最高点和最低点分别记作和,则;
③在阴影部分中任取一点,则的最大距离为3;
④“水滴”图形的面积是.
其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
三、解答题
12.(2022秋•重庆期末)在平面直角坐标系中,,,.
(1)求的面积;
(2)判断,,,四点是否在同一个圆上?并说明理由.
13.(2023春•黄浦区校级期中)已知一圆经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程.
14.(22·23高二下·上海徐汇·期中)在平面直角坐标系内,已知点P及线段l,Q是线段l上的任意一点,线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”,记为.
(1)设点,线段,求;
(2)设l是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积.
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在圆上
d=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内
d<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2