【期中复习】2023-2024学年（苏教版2019选修二）高二数学下册专题02+计数原理专题训练.zip

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【考点题型一】两种计数原理综合
方法点拨：
1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；
2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；
3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
【例1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A．3种 B．504种 C．24种 D．12种
【变式1-1】（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
【变式1-2】（23-24高二下·重庆·月考）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（ ）种.
A．81 B．64 C．24 D．4
【变式1-3】（2024·江苏徐州·一模）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点题型二】排列数与组合数计算
方法点拨：
1、排列数公式：
2、组合数公式：（，且）
【例2】（23-24高二上·河南·月考）（多选）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·江苏·模拟预测）（多选）若，为正整数且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二上·陕西渭南·月考）（多选）排列数恒等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
【考点题型三】排列组合之排数问题
方法点拨：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要体现在某元素不排在某个位子上忙活某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论。
注意，排数问题的首位不能为0！
【例3】（22-23高二下·江苏扬州·期中）用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式3-1】（22-23高二下·广东广州·期末）从中任取3个数字，从中任取2个数字，则一共可以组成五位数（没有重复数字）的个数是（ ）
A．720 B．1200 C．1440 D．1728
【变式3-2】（22-23高二下·陕西西安·期中）用、、、、、这六个数字.
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数；
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数；
（3）可以组成多少个数字不重复的小于的自然数.
【变式3-3】（22-23高二下·湖北黄冈·月考）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
（1）求是这个数列的第几项；
（2）求这个数列的所有项和.
【考点题型四】排列组合之排队问题
方法点拨：
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主。
【例4】（22-23高二下·湖南邵阳·期中）某校6位同学从“乒乓球”，“篮球”等6个不同的体育项目中任意选取一种进行选修，其中甲同学和乙同学不选同一项目且均不选“乒乓球”，“篮球”的不同的选法有（ ）种
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．504种 B．432种 C．384种 D．240种
【变式4-2】（23-24高二下·辽宁·月考）甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A．128种 B．96种 C．72种 D．48种
【变式4-3】（22-23高二下·江苏连云港·月考）（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【考点题型五】排列组合之涂色问题
方法点拨：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”
在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
【例5】（23-24高二上·江西新余·月考）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【变式5-1】（23-24高二下·山东·月考）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法
A．180 B．240 C．300 D．480
【变式5-2】（22-23高二下·广东·期中）用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有 .
【变式5-3】（22-23高二下·湖北十堰·月考）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 种（用数字作答）.
【考点题型六】排列组合之分组分配问题
方法点拨：
1、解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；
2、分组方法： = 1 \* GB3 ①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘； = 2 \* GB3 ②部分均匀分组，有组元素个数相同，则分组后除以； = 3 \* GB3 ③完全非均匀分组，只要分组即可；
3、分配： = 1 \* GB3 ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； = 2 \* GB3 ②不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配； = 3 \* GB3 ③有限制条件的分配问题，采用分类求解；
【例6】（23-24高二上·山东潍坊·期末）有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
【变式6-1】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有（ ）
A．18种 B．24种 C．54种 D．60种
【变式6-2】（22-23高二下·河南·期中）将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式6-3】（2022·全国·模拟预测）将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．3160 C．3000 D．2940
【变式6-4】（23-24高二下·辽宁·开学考试）（多选）现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ）
A．全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法
B．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
【考点题型七】排列组合之定序问题
方法点拨：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解。
【例7】（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【变式7-1】（2024·湖南邵阳·一模）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A．110 B．144 C．132 D．156
【变式7-2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲､乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【变式7-3】（22-23高二上·辽宁沈阳·月考）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有 种
【考点题型八】排列组合之多面手问题
方法点拨：在处理多面手问题时，可以选定一个类型的单面首，以它的入选人数为分类标准讨论。
【例8】（2023·福建福州·模拟预测）“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ ）
A．15种 B．18种 C．19种 D．36种
【变式8-1】（22-23高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法.
【变式8-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
【变式8-3】（23-24高二上·全国·课时练习）某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？
【考点题型九】二项展开式的正用和逆用
方法点拨：运用二项式定理的解题策略
1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母时降幂，后一个字母是升幂）；
2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。
【注意】逆用二项式定理时，如果项数是正负相间的，则原式是的形式。
【例9】（23-24高二下·全国·课时练习）化简：得到 .
【变式9-1】（22-23高二下·河北·月考）若对，恒成立，其中，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【变式9-2】（23-24高二·全国·练习）（ ）.
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
【变式9-3】（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知，则的值为 ．
【考点题型十】二项展开式中的特定项
方法点拨：求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法
求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（）
（1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解；
（2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解；
（3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解；
【例10】（23-24高二下·江西景德镇·月考）在的展开式中的系数为 ．
【变式10-1】（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）已知的展开式中常数项为80，则 .
【变式10-2】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·开学考试）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24高二下·江西·开学考试）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．252 B．210 C．126 D．120
【变式10-4】（22-23高二下·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为 .
【考点题型十一】二项式系数与项的系数和问题
方法点拨：巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题
1、求二项式系数和：
（1）令，则
（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即
2、求各项系数和
（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；
（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；
（3）若，则的各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为
【例11】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知，则的值为（ ）
A．-66 B．-65 C．-63 D．-62
【变式11-1】（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（ ）
A． B．0 C．32 D．64
【变式11-2】（23-24高二下·辽宁·月考）（多选）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-4】（23-24高二下·福建南平·月考）（多选）设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型十二】二项式系数与项的系数最值
方法点拨：
1、二项式系数的最值问题
如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，
它们的二项式系数和相等且最大；
2、项的系数的最值问题：求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可
【例12】（23-24高二上·辽宁大连·期末）的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【变式12-1】（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（2022高二上·河南·专题练习）已知在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等.
（1）求的值；
（2）若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项.
【变式12-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
（1）求展开式中的系数的最小值；
（2）已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
【考点题型十三】二项式定理的应用
方法点拨：应用二项式定理解决整除问题的方法
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。
【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。
【例13】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【变式13-1】（23-24高二下·全国·课时练习）利用二项式定理，求被8除所得的余数为 .
【变式13-2】（23-24高二上·上海松江·期末）已知.
（1）求的值；
（2）设，求被6除的余数.
【变式13-3】（2023·广东深圳·模拟预测）定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．
（1） ；
（2）当为奇数时， ．
【考点题型十四】杨辉三角形的应用
方法点拨：
1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.
【例14】（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
【变式14-2】（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第12个数与第13个数之比为
【变式14-3】（23-24高二上·广东广州·期末））（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
A．第9行中从左到右第6个数是126 B．
C． D．