【期中复习】2023-2024学年（苏教版2019选修二）高二数学下册专题04+统计专题训练.zip

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【考点题型一】相关关系与函数关系辨识
方法点拨：相关关系与函数关系的异同
1、相同点：两者均是指两个变量之间的关系；
2、不同点：（1）函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种不确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；事实上，函数是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系；
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
【例1】（23-24高二上·全国·课时练习）(多选)下列结论正确的是（ ）
A．函数关系是一种确定性关系
B．相关关系是一种非确定性关系
C．回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法
D．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
【答案】ABD
【解析】函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故AB正确；
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，
故C错误，D正确．故选：ABD.
【变式1-1】（23-24高二下·全国·练习）下列两个量之间的关系是相关关系的是（ ）
A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高
C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量
【答案】C
【解析】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，故选：C
【变式1-2】（23-24高二·全国·练习）下列说法正确的是（ ）
A．中的x，y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与棱长具有相关关系
C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量
【答案】D
【解析】A，B均为函数关系，故A、B错误；C，D为相关关系，故C错，D对.故选：D
【变式1-3】（22-23高二下·上海金山·期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ）
A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
C．两种证券的收益有同向变动的倾向
D．两种证券的收益有反向变动的倾向
【答案】C
【解析】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，
那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错.故选：C.
【考点题型二】由散点图判断线性相关
方法点拨：通过散点图可以观察两个变量的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断。如果发现点的分布从整体上大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响。其中呈从左下向右上方向发展趋势的为正相关，呈左上向右下方向发展趋势的为负相关。
【例2】（2024高三·全国·专题练习）下列图形中具有相关关系的两个变量是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据散点图可知在C中，样本点成带状分布，则两个变量具有相关关系，
所以两个变量x、y具有相关关系的图是C.
A，B为函数关系，D无相关关系．故选：C.
【变式2-1】（22-23高二下·江苏·课时练习）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A中，两个变量与之间具有函数关系，不是相关关系，不符合题意；
B中，两个变量与构成的点在一条直线附近带状分布，
所以两个变量之间是线性相关关系，符合题意；
C中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，
所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意；
D中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，
所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意.故选：B.
【变式2-2】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A ，由图象可知，两个变量是确定的函数关系，不是相关关系，故A 不正确；
对于B，由散点图可知，散点呈带状分布，所以两个变量具有线性相关关系，故B正确；
对于CD，由散点图可知，散点不呈带状分布，
所以两个变量不具有线性相关关系，故CD不正确；故选：B
【变式2-3】（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）．
A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①②
【答案】C
【解析】对于图①，显然是正的线性相关，对于图②，不相关，对于图③，负的线性相关；故选：C.
【考点题型三】相关系数的计算与应用
方法点拨：
1、两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，其计算公式为，其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数．
2、相关系数r的性质
（1）；
（2）时，与呈正相关关系；时，与呈负相关关系
（3）越接近1，与的相关程度越强；越接近0，与的相关程度越弱.
通常情况下，时，认为线性相关关系显著；当时，认为几乎没有线性相关关系。
【例3】（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，
可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，
且所有样本点都在直线上，则有相关系数.故选：B.
【变式3-1】（22-23高二下·河南南阳·月考）第一组样本点为（-5，-8.9），（-4，-7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）第一组变量的线性相关系数为，第二组变量的线性相关系数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故；
观察第二组样本点，y随x的增大而减小，故.
综上：.故选：A.
【变式3-2】（22-23高二下·陕西西安·期中）对于相关系数下列描述正确的是（ ）
A．两个变量相关则 B．两个变量无关则
C．越小，表明两个变量线性相关性越弱 D．越接近于，表明两个变量线性相关性越强
【答案】D
【解析】两个变量之间的相关系数的绝对值越接近于，表示两个变量的线性相关性越强，
的绝对值越接近于，表示两个变量的线性相关性越弱，故C错误，D正确，
表示两个变量正相关，表示两个变量负相关，故A、B错误.故选：D.
【变式3-3】（2019·湖南长沙·二模）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由散点图可知第1，3图表示的正相关，
且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故；
第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，故选：B
【考点题型四】样本中心点的应用
方法点拨：样本中心点在回归方程上。
【例4】（23-24高三·陕西宝鸡·一模）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A． B． C．70 D．35
【答案】B
【解析】因为，所以，则，
即，
即，所以.故选：B.
【变式4-1】（22-23高二下·河南·月考）在一次试验中，当变量x的值取1，2，3，4时，变量y的值分别为2，3，4，5，则y与x的回归直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，变量x的值取1，2，3，4时，变量y的值分别为2，3，4，5，
可得，，即样本中心为，
结合选项，根据回归方程经过样本中心，只有回归直线适合.故选：A.
【变式4-2】（22-23高二下·河北邢台·月考）两个线性相关变量x、y满足如下关系：
则与的线性回归直线一定过其样本点的中心，其坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，其样本中心为，
则，，
所以样本中心为.故选：A.
【变式4-3】（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一组成对数据如表所示.
若该组数据的回归方程为，则 .
【答案】68
【解析】依题意，，，
而，因此，解得，所以.
【考点题型五】线性回归分析
方法点拨：线性回归模型中，的求法
称为线性回归模型，，，的估计值为，，则
其中，
【例5】（22-23高二下·四川广元·月考）某人准备投资两个新型项目，新型项目A的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）的关系式为，新型项目的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）有如下统计数据表：
（1）求新型项目中关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中所求的回归方程，若A，两个项目都投资6万元，试预测哪个项目的收益更好.
参考公式：，．
【答案】（1）；（2）B项目的收益更好
【解析】（1）由表中数据得，，
，，
所以，，
所以关于的线性回归方程为.
（2）因为新型项目A的投资额(单位:万元)与利润(单位:万元)的关系式为，
所以当A项目的投资额为6万元时，该企业所得利润的估计值为万元.
由（1）知关于的线性回归方程为，
因此当B项目的投资额为6万元时，该企业所得利润的估计值为万元.
显然，所以预测B项目的收益更好.
【变式5-1】（23-24高三上·广东广州·月考）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元?（结果保留一位小数）参考数据：，.
附：相关系数公式：，
回归直线方程的斜率，截距.
【答案】（1），线性相关程度较高；（2）回归直线方程为；至少投资亿元
【解析】（1），
，
，，
所以，所以线性相关程度较高.
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，由，得，
所以至少投资亿元.
【变式5-2】（22-23高二下·河北石家庄·月考）研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：
（1）求y对x的回归直线方程：（所有数据精确到0.01）
（2）预测水深为时水的流速是多少?（精确到0.01）
参考公式：回归方程为中，
参考数据：
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设y对x的回归直线方程为.
.
.
即y对x的回归直线方程为
（2）当水深为时，水的流速为.
【变式5-3】（22-23高二下·山东青岛·月考）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月份日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求出关于的经验回归方程，再用被选取的组数据进行检验．
（1）求选出的组数据不是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据求出关于的经验回归方程；
（3）对于月份和月份的因患感冒而就诊的人数，若根据（2）中的经验回归方程估计出的数据与表格给出的相应的数据的差的绝对值均不超过人，则认为（2）中得到的经验回归方程是理想的，试问该兴趣小组得到的经验回归方程是否理想？请说明理由.
附：在经验回归方程中，，．
【答案】（1）；（2）；（3）是理想的，理由见解析
【解析】（1）记“选出的组数据不是相邻两个月的”为事件，则.
（2）由至月份的数据可得：，，
，，
，，
关于的经验回归方程为：.
（3）当时，，
当时，，
该兴趣小组得到的经验回归方程是理想的.
【考点题型六】非线性回归分析
方法点拨：常见的非线性函数转换方法
1、幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值)：对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，该式表示u，v的线性函数.
2、指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1)：对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，该式表示u，x的线性函数.与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y.
3、反比例函数y＝ (k>0)：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数.
4、二次函数y＝ax2＋c：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数.
5、对数型函数y＝clgax：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数.
【例6】（22-23高二下·山东泰安·月考）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中．
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）；（2）；（3）；.
【解析】（1）根据散点图判断，更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
（2）令，，
由表可知：，；
所以关于的回归方程为：；
（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值为.
（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值
，
当，即时，年利润的预报值最大，
故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.
【变式6-1】（2023·河北·模拟预测）随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．
（1）根据散点图判断，与（，，，d均为常数）哪一个更适宜作为利润关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于的回归方程；
（3）该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．
参考数据：
其中，设，．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）选用作为利润关于月份的回归方程更合适；（2）；（3）
【解析】（1）散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在轴上的差距是增大的趋势．
故选用作为利润关于月份的回归方程更合适．
（2）由，取对数可得，设，所以，
，，，，
所以，
，所以，
，即．
（3）设事件为“实验车报废”，事件为“只有一车碰撞实验车”，
事件为“恰有两车碰撞实验车”，事件为“三车碰撞实验车”，
则
由已知得，
利用全概率公式得
，解得
所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．
【变式6-2】（22-23高二下·内蒙古赤峰·月考）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y（单位：万辆）的散点图如下：
记年份代码为
（1）根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程.
参考数据：
，
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，
故模型②更适合．
（2）由（1）可设回归方程为，
令，则回归方程.
因为，，
，，
，
，
故回归方程为，即.
【变式6-3】（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
经计算得：=36.33，=112.85.
（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.
（2）云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.
若，则，，
【答案】（1）；（2），成本下降3元.
【解析】（1）因为，所以，
所以，
所以，
所以.
（2）未引入云算力辅助前，，所以，
又，所以，所以.
引入云算力辅助后，，所以，
若保持产品成本不变，则，
所以
若产品质量不变，则，所以，
所以单件产品成本可以下降元.
【考点题型七】独立性检验的概念及辨析
方法点拨：
1、独立性检验是研究两个分类变量是否有关的统计方法，在独立性检验的概念中药准确分析两个分类变量；在学习中药注意其与相关关系概念的区别。
2、临界值的定义：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，概率值越小，临界值越大.
3、独立性检验：，通常称为零假设或原假设.
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.
【例7】（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，结合表格可知，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.故选：B．
【变式7-1】（23-24高二下全国·练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设，
于是，
由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知，解得，于是最小值为.故选：C
【变式7-2】（22-23高二下·黑龙江·期末）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】D
【解析】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，
并非检验二者是否是线性相关，故错误；
对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故错误；
对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性,并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误；
对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确；故选:D.
【变式7-3】（22-23高二下·江苏·课时练习）在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法正确的是（ ）
A．若，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌
B．由独立性检验可知，当有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺癌
C．通过计算得到，是指有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系
D．以上三种说法都不正确
【答案】C
【解析】若，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，
而不是在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A不正确；
99%是指吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能患有肺癌，
故B不正确，C正确，D不正确．故选：C
【变式7-4】（22-23高三上·广东东莞·月考）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】B
【解析】因为时，所以，
所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过.故选:B.
【考点题型八】独立性检验的综合应用
方法点拨：独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
【例8】（2023·四川雅安·一模）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：
（1）估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有关？
附：.
【答案】（1）;（2）列联表见解析
（3）有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关
【解析】（1）由题中表中的信息可知，在100天中，
进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为，
用频率估计概率，可得所求概率为.
（2）列出列联表如下：
（3）由（2）得 ，
所以有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关.
【变式8-1】（23-24高二下·辽宁·月考）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下频数分布表．
（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，能否判断数学成绩与性别有关；
（2）规定80分以上为优分（含80分），请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”，（，其中）
【答案】（1），，不能；（2）列联表见解析，没有
【解析】（1）由男生300名，女生200名，故共抽取了男生（人），
抽取女生（人），
，
，
故，因此不能判断数学成绩与性别有关；
（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，
“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：
则，
故没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关.
【变式8-2】（2024·河南·一模）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
（1）求的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：，其中．
临界值表：
【答案】（1）；（2）有差异
【解析】（1）由题意可得：，解得．
（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．
由已知得，如下列联表：
可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异．
【变式8-3】（2023·四川凉山·一模）2023年11月18日，世界田联精英标牌赛事——2023西昌邛海湿地马拉松赛在凉山州西昌市鸣枪起跑．来自中国、法国、英国、波兰、埃塞俄比亚、肯尼亚、韩国等10余个国家和地区的21191名选手参赛．本次大赛以“奔跑美丽西昌，追梦五彩凉山”为主题，赛事设置马拉松男女子组、半程马拉松男女子组和迷你健康跑3个项目．某中学课外田径运动兴趣小组的同学报名参加了半程马拉松和迷你健康跑两类项目，小组所有同学均参加比赛，每位同学仅选择一项．参赛人数统计如下表：
若采用分层抽样从该兴趣小组中抽取5名同学，则有男同学3名，女同学2名．
（1）求以及该兴趣小组的同学选择半程马拉松的概率；
（2）能否有的把握认为同学对比赛项目的选择与其性别有关．
附：临界值表
参考公式：．
【答案】（1），；（2）没有的把握认为同学对比赛项目的选择与其性别有关．
【解析】（1）依题意，男女同学的比例为，则，解得；
该兴趣小组的同学选择半程马拉松的概率为．
（2）由（1）完善列联表如下：
则，
没有的把握认为同学对比赛项目的选择与其性别有关．
【变式8-4】（22-23高二下·河南焦作·月考）2013年11月，青岛发生输油管道爆炸事故造成胶州湾局部污染.国家海洋局用分层抽样的方法从国家环保专家、海洋生物专家、油气专家三类专家库中抽取若干人组成研究小组赴泄油海域工作，有关数据见表1（单位：人）
表1
表2
海洋生物专家为了检测该地受污染后对海洋动物身体健康的影响，随机选取了110只海豚进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表，如表2.
（1）求研究小组的总人数；
（2）写出表2中A，B，C，D，E的值，并判断有多大的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关；
（3）若从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为环保专家的概率.
【答案】（1）12；（2），，，，，大约有99%的把握；（3）
【解析】（1）依题意可知，抽样比为，所以.
故研究小组的总人数为.
（2）由表2可知，,
，即表2如下：
假设：海豚身体不健康与受到污染无关，
，
由临界值表知，，可以断定不成立.
所以有99%的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关.
故大约有99%的把握.
（3）环保专家和海洋生物专家共有6人，这6人中随机选择2人共有种选法，
这2人中恰好有1人为环保专家的选法共有种.
根据古典概型计算公式得恰好有1人为环保专家的概率.x
2
4
5
6
8
y
2.2
4.2
4.8
6.5
7.3
18
13
10
24
34
38
投资额x（单位：万元）
1
2
3
4
5
利润y（单位：万元）
2
3
5
7
8
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11
水深x/m
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
流速y/（）
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
日期
月日
月日
月日
月日
月日
月日
昼夜温差
就诊人数个
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
月份
1
2
3
4
5
6
收入（百万元）
6.8
8.6
16.1
19.6
28.1
40.0
19.87
2.80
17.50
113.75
6.30
34
55
979
657
2805
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0.05
0.01
3.841
6.635
进口
出口
32
18
4
6
8
12
3
7
10
进口
出口
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
进口
出口
64
16
10
10
分数段






男
3
9
18
15
6
9
女
6
4
5
10
13
2
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优分
非优分
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
200
对短视频剪接成长视频的APP无需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年人
中老年人
合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求
300
250
550
对短视频剪接成长视频的APP无需求
100
350
450
合计
400
600
1000
半程马拉松
迷你健康跑
男同学
20
10
女同学
10
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
半程马拉松
迷你健康跑
总计
男同学
20
10
30
女同学
10
10
20
总计
30
20
50
相关人员数
抽取人数
环保专家
24
海洋生物专家
48
油气专家
72
6
重度污染
轻度污染
合计
身体健康
30
A
50
身体不健康
B
10
60
合计
C
D
E
重度污染
轻度污染
合计
身体健康
30
20
50
身体不健康
50
10
60
合计
80
30
110