【期中复习】2023-2024学年（苏教版2019选修二）高二数学下册模拟.zip

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1．（23-24高二上·四川成都·月考）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，且空间向量满足，∴可设，
又，∴，得．
∴，故A正确.故选：A.
2．（22-23高二下·广东东莞·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，所以；故选：B
3．（22-23高二下·陕西西安·期中）已知x与y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程必过点（ ）
A．(0.5，3)B．(1.5，0)C．(1，2)D．(1.5，4)
【答案】D
【解析】由题中数据可得：，
所以该线性回归方程必过点，故选：D
4．（22-23高二下·重庆江北·期中）用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数和偶数互不相邻的个数为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【答案】B
【解析】先排，形成三个空位，然后将排入前两个空位或者后两个空位，
所以符合题意的四位数的个数为.故选：B.
5．（22-23高二下·福建三明·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】随机变量服从正态分布，若，则
故选：B
6．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】若向量，，共面，则，其中，
即，所以，
∴解得故选：A.
7．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．300B．360C．390D．420
【答案】C
【解析】（1）当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;
（2）当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；
（3）当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；
综上不同的录取情况数共有.故选：C
8．（22-23高二下·江苏镇江·期中）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，
因为函数有两个不同的极值点，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有，解得.
因为不等式恒成立，
所以恒成立.
，
设，则，
故在上单调递增，所以，
由题意恒成立，所以.
因此实数t的取值范围是.故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】依题意，解得，
所以的分布列为：
则，则；
所以的分布列为：
则，，
所以；故选：ACD.
10．（23-24高二下·福建福州·月考）若，为正整数且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对A：，又，故A错误；
对B：
，故B正确；
对C： ，
，即，故C错误；
对D：，
，即，故D正确.故选：BD.
11．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）如图，点E是正方体的棱的中点，点M在线段上运动，则下列结论 正确的是（ ）
A．直线与直线始终是异面直线
B．存在点，使得
C．四面体的体积为定值
D．H为线段的中点，
【答案】BCD
【解析】对于A选项，连接交与，当点在点时，直线与直线相交，故A不正确；
对于C选项，连接,交于，此时，
故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故C正确；
以为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，
则，，，， ，，
对于B选项， 存在点，使得，
则，，，所
，得，故当M满足时，，故B正确；
对于D选项，连接，如下图所示：
因为H为AA1的中点，E为DD1的中点，所以
所以平面平面，
平面，所以平面，故D正确；故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（22-23高二下·江苏南通·期中）展开式中含项的系数是 .
【答案】120
【解析】，
因为的展开式的通项公式为，
不可能出现含的项，
所以展开式中含的项为，即含项的系数是120.
13．（21-22高二下·江苏常州·期中）对正方体的6个面进行涂色，有5种不同的颜色可供选择.要求每个面只涂一种颜色，且有公共棱的两个面不同色，则总的涂色方法个数为 （填写数字）
【答案】780
【解析】按上，前，右，后，下，左6个面的顺序涂色，（1）前后同色时，
①上下同色有种涂色方法，
②上下不同色有种涂色方法；
（2）前后不同色时，
①上下同色有种涂色方法，
②上下不同色有种涂色方法.
总的涂色方法个数为
14．（22-23高二下·湖北武汉·阶段练习）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为、、，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上共任意选取件产品，则次品数的数学期望为 .
【答案】
【解析】记事件选取的产品为次品，记事件此件次品来自甲生产线，
记事件此件次品来自乙生产线，记事件此件次品来自丙生产线，
由题意可得：
，
由全概率公式可得
，
从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为，
任意选取件产品，设次品数为，则，
由二项分布的期望公式可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（22-23高二下·四川眉山·期中）设求；
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，；
当时，；
（2）
.
16．（15分）（22-23高二下·湖南邵阳·期中）某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
（1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望值为.
【解析】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，
则是A，B都不达标的事件，
因此，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为.
（2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然，
因此，，，
，，
所以的概率分布为：
数学期望.
17．（15分）（22-23高二下·江苏淮安·期中）某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到22列联表如下表所示：
（1）是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
（2）用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率.
附：
参考公式：，.
【答案】（1）有的把握认为购买手机款式与性别有关；（2）
【解析】（1）由给定的的列联表，可得，
因为，所以有的把握认为购买手机款式与性别有关.
（2）从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成了4次独立重复试验，
每次选出购买款手机的人的概率均为，
设随机变量为4人中选出购买款手机的人数，则，
所以，
所以，
即不超过人的概率为.
18．（17分）（23-24高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.
（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.
【答案】（1）；（2）点为的中点
【解析】（1）如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则
于是，,
设平面的法向量为，
则故可取.设直线与平面所成角为，
则
即直线与平面所成角的正弦值是.
（2）如图，设，，则，
因，故，解得：，
则,设平面的法向量为，
则故可取.
又,设平面的法向量为，
则故可取.
设平面与平面的夹角为，
则，解得：或，
因，故，即当点为的中点时，
平面与平面的夹角的余弦值为.
19．（17分）（23-24高二下·江苏·阶段练习）（1）已知k，，且，求证：；
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）左边，
右边，所以；
（2），
而，
所以.
所以.
所以，原命题成立.
另法：，
要证，只需证.
设，
由，
两边同时求导，得
令，得，
即得证.
所以，原命题成立.
（3）由条件，设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
.x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
－1
0
2
P
0
2
P
0
1
2
3
4
P
购买A款
购买B款
总计
女
25
20
45
男
15
40
55
总计
40
60
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828