【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题01 奔驰定理与三角形“四心”（考点专练）.zip

这是一份【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题01 奔驰定理与三角形“四心”（考点专练）.zip，文件包含期中复习苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学专题01奔驰定理与三角形“四心”考点专练原卷版docx、期中复习苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学专题01奔驰定理与三角形“四心”考点专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。


一．三角形“重心”向量式
1．若所在平面内一点P满足，则P是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】设中点为D，
由可得，
即点共线，且，则P为的重心.故选：C
2．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】A
【解析】由题意，当时，如图
可知：点在边上的中线所在直线上，
∴动点的轨迹一定通过的重心，故选：A．
3．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
【答案】A
【解析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.故选：A
4．已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，是边中点，则共线且，
，
所以，D正确，
由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．故选：D．
5．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心）
【答案】重心
【解析】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示：
则，
则，则，
，又为非负实数，
故共线，也即三点共线，
又为三角形中线，故过三角形的重心.
二．三角形“垂心”向量式
6．设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
【答案】C
【解析】取BC的中点D，如图所示，
连接OD，AM，BM，CM．
因为，所以，
又，则，所以，
又由于为的外心，所以，
因此有．同理可得，，
所以点是的垂心．故选：C．
7．若是内一点，且，则为的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【答案】A
【解析】因为，
所以，
即，
则，，
即是三条高线的交点，为的垂心.故选：A.
8．已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故选：C.
9．若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【解析】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.故选：D.
10．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【解析】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，故选：D.
三．三角形“内心”向量式
11．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其它两角的平分线上，是的内心．故选：B．
12．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以
，
所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，
同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，故选：B.
13．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向为∠BAC角平分线对应的的方向．
又λ∈（0，＋∞），所以的方向与的方向相同．
而，所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过的内心．故选：B
14．已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形和三角形中，
由正弦定理得：，
由于，
所以，，
同理可得，，
.
所以，
则.故选：C
15．已知三个不共线的向量满足，则为的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】A
【解析】如图所示，在上取点，在延长线上取点，使得，
可得，以为邻边作平行四边形，则,
因为，所以平行四边形是菱形，所以，
过点作的平行线交于点，
因为，即，所以，所以点在上，
因为，所以，
由菱形的性质可得，所以，
所以为的角平分线，所以在的角平分线上，
同理可得：在的角平分线上，故在的角平分线上，
所以为的内心.故选：A.
四．三角形“外心”向量式
16．点O在ABC所在的平面内，若，则O为ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【答案】D
【解析】分别取AB的中点为D，BC的中点为E，如图所示
则，，
由得，所以，所以垂直平分线段，
由得，所以，所以垂直平分线段，
所以点O为ABC的外心.故选：D．
17．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】，
，，
，即，即，
在边的垂直平分线上，
由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心.故选：B．
18．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【解析】设线段的中点为，则、互为相反向量，
所以，，
因为，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分线段，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.故选：D.
19．已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ ）
A．B．10C．D．9
【答案】A
【解析】因为，所以，因此，
取、中点分别为、，则，，
因此，，
所以.故选：A
20．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ．
【答案】
【解析】如图，因为O是的外心，
所以，
由结论可得，
即 ，
可得，即.
因为，
所以，
所以，即，即，解得.
五．奔驰定理解决三角形面积比
21．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（ ）
A．5:6B．3:4C．2:3D．1:2
【答案】D
【解析】由O是△ABC的重心，得，而，
则，故，
所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点，
所以，，
所以△ACO与△CBP面积比为1:2.故选：D
22．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，所以，解得，
所以，，
则，
由，得，即，
所以，所以，所以.故选：D.
23．已知点O在内，且，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】先证明O在内，.
延长AO交BC于Q.显然 .
由面积关系可得：，所以.
而.
所以,
所以，即.
又由题可知，所以，
所以，所以，，从而．故选：D
24．已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
【答案】B
【解析】设的面积为，
由，得，有，
又，令，
则三点共线，且，
即点在上，且，
所以以为底，的高为的，
故，同理可得，，
所以.故选：B
25．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为与的面积之比为，易得.
故，即，
整理得.
因为，且均不共线，故，解得，故选：D
六．奔驰定理的综合应用
26．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；
对于B选项，由 ，，可知，
又，所以，
由可得，，，所以，B错；
对于C选项，若为的内心，，则，
又（为内切圆半径），所以，故，C对；
对于D选项，如下图所示，
因为为的重心，延长交于点，则为的中点，
所以，，，且，，
所以，，由“奔驰定理”可得，D对.故选：ACD.
27．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，，即，，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，，
故，
同理可得，故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
28．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ）
A．O为的外心B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】依题意，，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误；
如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，，
，，则，
又，即有，
又，因此，B正确；
由选项B知，，同理，
，
同理可得，因此，C正确；
，
同理可得，所以，D正确.故选：BCD
29．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ）

A．若，则
B．若，则为的重心
C．若为的内心，则
D．若为的外心，则
【答案】BCD
【解析】对于A项，由可得：，
而由可得：，
因两两互不共线，则必有，
则易得：，故A项错误；
对于B项，由可得①，
如图，不妨取的中点，连接，则有，
代入①式，化简得，
即三点共线，且点是的靠近点的三等分点，
同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点，故点是的重心，故B项正确；
对于C项，不妨设的内切圆半径为，
则，代入，
可得，
整理得：，故C项正确；
对于D项，不妨设的外接圆半径为，
因为的外心，
则，，，
则.
故，故D项正确.故选：BCD.
30．定理：如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则.
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
（1）点在内部，满足，求的值；
（2）点为内一点，若，设，求实数和的值；
（3）用“奔驰定理”证明推论②.
【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析
【解析】（1）因为，根据奔驰定理可得，
因此，.
（2）根据奔驰定理，得，即，
整理可得，
因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，.
（3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为，
，，，
故，同理，，
根据奔驰定理，.
即.
所以.